2023年广东省东莞市振华中学中考数学一模试卷（含答案）

2023年广东省东莞市振华中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，从上面观察这个图形，得到的平面图形是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，点，，是上的三点，若，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  某班七个兴趣小组人数分别为，，，，，，，则这组数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，、分别是的边、的中点，若的面积为，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A. 且 B. 且 C. 且 D.

10.  如图，在中，，，，动点从点出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点从点出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  将用科学记数法表示为        ．

12.  要使式子有意义，的取值范围是        ．

13.  分解因式的结果是______．

14.  正方形网格中，如图放置，则的值为______．

15.  如图，函数的图象经过矩形的边的中点，交于点，则四边形的面积为        ．

16.  如图，直线为，过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心长为半径画弧交轴于点；再作轴交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；按此作法进行下去，点坐标为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，已知．
尺规作图：作的垂直平分线交于点；
连接，若，，求的度数．

20.  本小题分
年虎年新春，中国女足：逆转韩国，时隔年再夺亚洲杯总冠军：年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

本次被调查的学生有        名，补全条形统计图；
扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是        ；
学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？

21.  本小题分
如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接、、．
求证：四边形是菱形；
若，，连接，求的长．

22.  本小题分
如图，在的边上取一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接交于点，连接并延长，交于点．
求证：是切线；
若，，求半径；
在的条件下，若是中点，求的长．

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，．
求抛物线的解析式；
点在第四象限的抛物线上，若的面积为时，求点的坐标；
点在抛物线上，当时，求点的横坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积是的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
选项中的图形为中心对称图形，
故选：．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：从上面可以看到一排三个正方形，
可得正确的图形是．
故选：．
根据从不同方向看立体图形的得到平面图形的方法即可得到结果．
本题考查了从不同方向看立体图形得到平面图形，掌握观察位置是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，选项错误，不符合题意；
，选项错误，不符合题意；
，选项错误，不符合题意；
，选项正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方，对选项逐个求解即可．
本题考查了合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方，掌握相关运算法则是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，

，
，
，
故选：．
根据邻补角得出，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

【解答】

解：．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，，，，，，，这组数据中出现的次数最多，
这组数据的众数是，
故选：．
根据众数的概念求解即可．
本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，熟记众数的概念是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，分别是的边，的中点，
是的中位线，
，，
∽，
，
的面积为，
的面积为，
四边形的面积等于，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，证明∽，根据相似三角形的性质计算，即可得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且．
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
．
时，，图象为开口向上的抛物线；
当时，如下图所示，

，
，图象为开口向下的抛物线；
故选：．
当时，，当时，如下图所示，即可求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

11.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，得，
解得，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，解不等式可得答案．
此题主要考查的是二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
利用完全平方公式进行分解即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
根据正切定义，进行计算即可．
此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．
【解答】
解：如图，过点作于点，


由图可知，，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
设，
函数的图象经过矩形的边的中点，
，
设，
函数的图象经过矩形的边的中点，交于点，
，
，
，
，
点是的中点，
，
四边形的面积为
故答案为：．
根据反比例函数的图象经过矩形的边的中点，可得到点是的中点，进而得出，即可得到结论．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，以及矩形的性质，求出的面积是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：直线为，点，轴，
当时，，
即，
，
，，
，
以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点，
，
同理可得，，，
点的坐标为，
故答案为：．
依据直线为，点，轴，可得，同理可得，，，依据规律可得点的坐标为．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用立方根的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求．

是的垂直平分线，
，
，
，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的尺规作图求解即可；
由中垂线的性质可得，据此知，继而得，最后在中根据内角和定理求解即可．
本题主要考查线段中垂线的尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及线段中垂线的性质等知识点．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次被调查的学生人数为名．
选择“足球”的人数为名．
补全条形统计图如下：

故答案为：；
扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为 ．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有种，
甲和乙同学同时被选中的概率为．
用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以即可．
画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：点为边中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：如图，连接，过点作于点，得矩形，

，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，是的中点，
．
的长为． 

【解析】根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形；
过点作于点，得矩形，根据，，可得，，根据勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长．
本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

22.【答案】证明：连，

在和中，
，
≌，
，
与相切，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
解：连接，

设，则，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
半径为；
解：为的中点，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】连，证明≌，由全等三角形的性质得出，由切线的性质得出，则可得出，可得出结论；
设，则，由勾股定理得出，解方程求出，得出，设，则，得出，求出则可求出答案；
由直角三角形的性质得出，得出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．
本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，直角三角形的性质，证明∽是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
抛物线，当时，则，
解得，不符合题得，舍去，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
如图，作轴于点，交于点，
设，则，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为．
如图，取点中，连接，则，
，，
∽，
，
，
，
，
，
当点在轴的上方，设交轴于点，
，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
由，
得，
解得，不符合题意，舍去，
点的横坐标为；
当点在轴的下方，设交轴于点，
 直线，当时，，
，
，，，
≌，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
由，
得，
解得，不符合题意，舍去，
点的横坐标为，
综上所述，点的横坐标为或． 

【解析】将、代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可得到抛物线的解析式为；
先求得，则，再求得直线的解析式为，作轴于点，交于点，设，则，所以，可求得，由，得，解方程求出的值即可；
取点中，连接，则，可证明∽，得，再证明，则，即可证明，再分两种情况讨论，一是点在轴的上方，则，可求得直线的解析式为，进而求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标；二是点在轴的下方，可求得直线的解析式为，将其与抛物线的解析式联立方程组，即可求出此时点的横坐标．
此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．