2021年广东省东莞市茶山镇中考数学一模试卷

这是一份2021年广东省东莞市茶山镇中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年广东省东莞市茶山镇中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，满分30分．在下列每个小题给出的四个答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
2．（3分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）

A．1 B． C． D．
4．（3分）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（　　）
A．12 B．9 C．8 D．6
5．（3分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．3
6．（3分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
8．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
10．（3分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2
二、填空题（本大题共7个小题，每题4分，满分28分．请将答案直接填写在答题卡对应的横线上）
11．（4分）分解因式：m3﹣m＝　 　．
12．（4分）已知a+2b＝，3a+4b＝，则a+b的值为　 　．
13．（4分）已知函数y＝，则自变量x的取值范围是　 　．
14．（4分）将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　．
15．（4分）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 　 　．

16．（4分）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　 　．

17．（4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共8个题，满分0分）
18．计算：4sin60°﹣|﹣2|+20200﹣+（）﹣1．
19．先化简，再求值：，其中a＝．
20．为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．

请结合图中的信息，解决下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为 　 　人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为 　 　度；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．
22．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．

23．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
24．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝AB．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．

25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直线BD的函数解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．


2021年广东省东莞市茶山镇中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，满分30分．在下列每个小题给出的四个答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．﹣
【解答】解：﹣的相反数是，故选：C．
2．（3分）如图所示的六角螺母，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：从上面看，是一个正六边形，六边形的中间是一个圆．
故选：B．
3．（3分）如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（　　）

A．1 B． C． D．
【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴＝，
∴△DEF∽△CAB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵等边三角形ABC的面积为1，
∴△DEF的面积是，
故选：D．
4．（3分）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（　　）
A．12 B．9 C．8 D．6
【解答】解：摸到红球的频率为3÷5＝0.6，
估计袋中红球的个数是20×0.6＝12（个），
故选：A．
5．（3分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）

A．10 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
6．（3分）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m﹣n的结果可能是（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，
∴﹣2＜n＜﹣1＜0＜m＜1，
∴1＜m﹣n＜3，
∴m﹣n的结果可能是2．
故选：C．
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．
8．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
9．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【解答】解：连接OA、OB、OD，OC，
∵∠BDC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝120°，
∵AB＝DC，
∴∠AOB＝∠DOC，
∵A为的中点，
∴＝，
∴∠AOB＝∠AOD，
∴∠AOB＝∠AOD＝∠DOC＝×（360°﹣∠BOC）＝80°，
∴∠ADB＝AOB＝40°，
故选：A．
10．（3分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；
当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；
若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；
若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；
故选：C．
二、填空题（本大题共7个小题，每题4分，满分28分．请将答案直接填写在答题卡对应的横线上）
11．（4分）分解因式：m3﹣m＝　m（m+1）（m﹣1）　．
【解答】解：m3﹣m，
＝m（m2﹣1），
＝m（m+1）（m﹣1）．
故答案为：m（m+1）（m﹣1）．
12．（4分）已知a+2b＝，3a+4b＝，则a+b的值为　1　．
【解答】解：a+2b＝①，3a+4b＝②，
②﹣①得，2a+2b＝2，
解得，a+b＝1．
故答案为：1．
13．（4分）已知函数y＝，则自变量x的取值范围是　x≥﹣2且x≠3　．
【解答】解：根据题意得：x+2≥0且x﹣3≠0，
解得：x≥﹣2且x≠3．
故答案为：x≥﹣2且x≠3．
14．（4分）将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　（5，1）或（﹣1，5）　．
【解答】解：把EO绕E点顺时针（或逆时针）旋转90°得到对应点为F（或F′），如图，
则F点的坐标为（5，1）（或F′的坐标为（﹣1，5）．

故答案为（5，1）或（﹣1，5）．
15．（4分）如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 　　．

【解答】解：如图，连接AB．

∵OA＝AB＝，OB＝2，
∴OB2＝OA2+AB2，
∴∠OAB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∴sin∠AOB＝，
故答案为：．
16．（4分）如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　　．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
由题意得，＝2πr，
解得，r＝，
故答案为：．
17．（4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为　2﹣2　．

【解答】解：如图，连接BE，BD．

由题意BD＝＝2，
∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，
∴BE＝MN＝2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为2﹣2．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2﹣2确定最小值）
故答案为2﹣2．
三、解答题（本大题共8个题，满分0分）
18．计算：4sin60°﹣|﹣2|+20200﹣+（）﹣1．
【解答】解：4sin60°﹣|﹣2|+20200﹣+（）﹣1
＝4×﹣（2﹣）+1﹣2+4
＝2﹣2++5﹣2
＝3+．
19．先化简，再求值：，其中a＝．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣
＝
＝，
当a＝时，
原式＝＝1．
20．为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．

请结合图中的信息，解决下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为 　50　人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为 　144　度；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．
【解答】解：（1））∵非常满意的有18人，占36%，
∴此次调查中接受调查的人数：18÷36%＝50（人）；
故答案为：50；

（2）此次调查中结果为满意的人数为：50﹣4﹣8﹣18＝20（人）；


（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为：360°×＝144°；
故答案为：144°；

（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选择回访市民为“一男一女”的有8种情况，
∴选择回访的市民为“一男一女”的概率为：＝．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，
解得k＞﹣1．
∴k的取值范围为k＞﹣1；
（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，
﹣＝＝＝1．
22．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．
（1）求证：直线CD与⊙O相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD＝1，BC＝2．求tan∠APE的值．

【解答】（1）证明：作OE⊥CD于E，如图1所示：
则∠OEC＝90°，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣∠DAB＝90°，
∴∠OEC＝∠OBC，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCE＝∠OCB，
在△OCE和△OCB中，，
∴△OCE≌△OCB（AAS），
∴OE＝OB，
又∵OE⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）解：作DF⊥BC于F，连接BE，如图2所示：
则四边形ABFD是矩形，
∴AB＝DF，BF＝AD＝1，
∴CF＝BC﹣BF＝2﹣1＝1，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD、BC是⊙O的切线，
由（1）得：CD是⊙O的切线，
∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，
∴CD＝ED+EC＝3，
∴DF＝＝＝2，
∴AB＝DF＝2，
∴OB＝，
∵CO平分∠BCD，
∴CO⊥BE，
∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCH，
∵∠APE＝∠ABE，
∴∠APE＝∠BCH，
∴tan∠APE＝tan∠BCH＝＝．


23．某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．
【解答】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
根据题意得：，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
所以3+2＝5，
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；

（2）解法一：设建A摊位a个，建造这90个摊位的费用为y元，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：y＝5a×40+3×30（90﹣a）＝110a+8100，
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵a为整数，
∴当a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：110×22+8100＝10520；
解法二：设建A摊位a（a为整数）个，则建B摊位（90﹣a）个，
由题意得：90﹣a≥3a，
解得a≤22.5，
∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，
∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．
24．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝AB．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G．设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1＝s2．当AB＝2时，求AH的长．

【解答】（1）证明：∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵OA＝OB＝OC＝OD＝AB，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
即AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°，
∴四边形BGEF是矩形，
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE，
∴∠ADH+∠AHD＝∠AHD+∠EHG＝90°，
∴∠ADH＝∠EHG，
∵∠DAH＝∠G＝90°，
∴△ADH≌△GHE（AAS），
∴AD＝HG，AH＝EG，
∵AB＝AD，
∴AB＝HG，
∴AH＝BG，
∴BG＝EG，
∴矩形BGEF是正方形，
设AH＝x，则BG＝EG＝x，
∵s1＝s2．
∴x2＝2（2﹣x），
解得：x＝﹣1（负值舍去），
∴AH＝﹣1．

25．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直线BD的函数解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，
∴点B（3，0），点A（﹣1，0），
∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，
∴b＝﹣，c＝﹣；
（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，

∴CO∥DE，
∴，
∵BC＝CD，BO＝3，
∴＝，
∴OE＝，
∴点D横坐标为﹣，
∴点D坐标为（﹣，+1），
设直线BD的函数解析式为：y＝kx+m，
由题意可得：，
解得：，
∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；
（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），
∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，
∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，
∴点C（0，），
∴OC＝，
∵tan∠CBO＝＝，
∴∠CBO＝30°，
如图2，过点A作AK⊥BD于K，

∴AK＝AB＝2，
∴DK＝＝＝2，
∴DK＝AK，
∴∠ADB＝45°，
如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），

若∠CBO＝∠PBO＝30°，
∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，
∴PN＝，BP＝，
当△BAD∽△BPQ，
∴，
∴BQ＝＝2+，
∴点Q（1﹣，0）；
当△BAD∽△BQP，
∴，
∴BQ＝＝4﹣，
∴点Q（﹣1+，0）；
若∠PBO＝∠ADB＝45°，
∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，
当△DAB∽△BPQ，
∴，
∴，
∴BQ＝2+2
∴点Q（1﹣2，0）；
当△BAD∽△PQB，
∴，
∴BQ＝＝2﹣2，
∴点Q（5﹣2，0）；
综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．