人教版数学九年级上册 期末总复习 学案8

这是一份人教版数学九年级上册 期末总复习 学案8，共12页。学案主要包含了知识梳理，综合运用，课堂检测，课堂小结，拓展延伸等内容，欢迎下载使用。

班级：_____________姓名：__________________组号：_________
旋转
复习目标：
1．知道旋转的定义以及相关概念。
2．懂得旋转的基本性质。
3．会利用性质解决相关问题。
能够按照要求做出简单的图形旋转后的图形。
一、知识梳理
（一）旋转概念
1．旋转：把一个图形绕着平面内某一点转动一个角度。
2．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合。
知识巩固：
1．△OAB顺时针旋转一定角度得到△OEF。
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？
答：旋转中心是点O，旋转角是∠AOE。
（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
答：点Ａ到点Ｅ，点Ｂ到点Ｆ。
2．在线段、锐角、等边三角形、正方形和圆中，是中心对称图形的有线段、正方形、圆。
（二）旋转性质：
1）旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的性质。也就是旋转前后图形全等
2）对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角。
知识巩固：
1．若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法：
①对称点的连线必过对称中心；②这两个图形一定全等；③对应线段一定平行且相等；④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合。其中正确的是（ ）
A．①② B．①③
C．①②③ D．①②③④
2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=，△ABF是△ADE的旋转图形。
（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）点E所经过的路径的长。
（三）点的对称变换：
知识巩固：
1．点P（x， y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。
2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是 。
3．已知点P（-b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，则A、B的值分别是 。
（四）画旋转图形和中心对称图形：
知识巩固：
4．如图，方格纸中的每个小方格都是正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系。
（1）以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；
（2）将原来的△ABC绕着点B顺时针旋转90°得到△A2B2C2，试在图上画出△A2B2C2的图形。
二、综合运用
1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第象限，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B的对应点B′落在y轴的正半轴上，已知OB=2，∠BOA=30°。
（1）求点B和点A′的坐标；
（2）求经过点B和点B′的直线所对应的一次函数解析式，并判断点A是否在直线BB′上。
2．已知：如图，四边形ABCD中，∠D=60°，∠B=30°，AD=CD．求证：BD2=AB2＋BC2．
三、课堂检测
A组：
1．如图1，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是（ ）
A．45° B．60°
C．90° D．120°
2．点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B，那么点B的坐标是____________。
3．已知：如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC．
（1）试猜想AE与BD有何关系？说明理由；
（2）请给△ABC添加一个条件，使旋转得到的四边形ABDE为矩形，并说明理由。
A
B
O
B组：
4．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是 。
四、课堂小结
1．旋转的定义以及相关概念，旋转的基本性质。
2．会利用性质解决相关问题，能够按照要求做出简单的图形旋转后的图形。
五、拓展延伸
1．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF。
（1）如果CA=CB，求证：AE2＋BF2=EF2；
（2）如果CA＜CB，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
2．如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F。
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=_________°，猜想∠QFC=_________°；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=2，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式。
【答案】
【知识梳理】
（二）
1.D
2.解：
（1）∵△ADE逆时针旋转后能与△ABF重合， ∴旋转中心为点A；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，而△ADE逆时针旋转后能与△ABF重合，
∴∠DAB等于旋转角，
∴旋转角为90°；
（3）如图，∵△ADE逆时针旋转后能与△ABF重合，
∴AE=AF，∠EAF=∠DAB=90°，
∴△AEF为等腰直角三角形。
∵AD=1，DE=，
∴AE=AF==
（三）1.(-2，3)
2.
（四）解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求三角形，点A1的坐标是A1（6，-1）；
（2）△A2B2C2即为所求作的三角形。
【综合运用】
1．（1）在△OAB中，∵，，
∴AB=OB·
OA=OB·
∴点B的坐标为(，1)
过点A´作A´D垂直于y轴，垂足为
在Rt△ODA´中，DA´=OA´·，
OD=OA´·
∴A´点的坐标为(，)
（2）点B的坐标为(，1)，点B´的坐标为(0，2)，设所求的解析式为，
则解得，，
∴
当时，
∴A´(，)在直线BB´上。
2．证明：如图，将△ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，
∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，
又∵∠ADC=60°，
∴∠BDE=60°，
∴△DBE为等边三角形，
∴DB=BE，
又∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE
=360°-∠BCD-∠A
=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=60°+30°=90°，
∴△ECB为直角三角形，
∴EC2+BC2=BE2，
∴BD2=AB2+BC2．
【课堂检测】
1．B
2．（-1，-1）
3．答：（1）AE∥BD，且AE=BD．理由如下：
∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，∴AB=DE，∠ABC=∠DEC，
∴AB∥DE
，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，且AE=BD；
（2）AC=BC．理由如下：
∵AC=BC，
∴根据旋转的性质推知AC=BC=CE=CD，
∴AD=BE，又由（1）知，四边形ABDE是平行四边形，
∴四边形ABDE为矩形。
4．（7，3）
【课堂小结】
略
【拓展延伸】
1．（1）证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM。
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF。
∴AM=BF，MD=DF。
又DE⊥DF，
∴EF=EM。
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2
（2）成立。
证明：延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM。
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF。
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°。
又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM。
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2
2．解：（1）∠EBF=30°，∠QFC=60°；
（2）∠QFC=60°，不妨设BP＞，如图1所示，
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ，在△ABP和△AEQ中，AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，
∴△ABP≌△AEQ（SAS），
∴∠AEQ=∠ABP=90°，
∴∠BEF=30°，
∴∠QFC=30°+30°=60°；
（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=AE，由（1）得∠BEF=30°，在Rt△BGF中，BF=EF，
∴BF=2，
∴EF=2，
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE=BP=x，
∴QF=QE+EF=x+2，过点Q作QH⊥BC，垂足为H，在Rt△QHF中，（x＞0）
即y关于x的函数关系式是：y= 32(x+2)