初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课后作业题

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学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角互补D．四个角相等
2．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=（ ）度
A．30°B．45°C．50°D．60°
3．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=3，则AB的长为（ ）
A．2B．3C．D．
4．如图，长方形ABCD的周长是12cm，分别以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 ，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．4
5．下列命题中，正确的是（ ）．
A．有一个角是的四边形是矩形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．两组邻角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
6．已知在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AD＝BCD．BC＝CD
7．过正方形的中心作两条互相垂直的直线，则以这两条直线与正方形各边交点为顶点的四边形是（ ）
A．筝形B．矩形C．菱形D．正方形
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（ ）
A．2B．C．D．
9．如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（ ）
A．1B．C．D．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正确的结论有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
二、填空题
11．如图在3×3的正方形网格中∠1+∠2﹣∠3+∠4+∠5＝___度．
12．如图，在正方形中．若以为底边向其形外作等腰直角，连接，则的长为______．
13．如图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，O是正方形ABCD的中心，则阴影部分的面积是_____．
14．如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为_____．
15．正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形是平行四边形；
②存在无数个四边形是菱形；
③存在无数个四边形是矩形；
④至少存在一个四边形是正方形．
所有正确结论的序号是_______．
三、解答题
16．如图，正方形中，点E、F分别是边上的点，且．求的度数．
17．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数．
18．已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、CH、HE．
(1)求证：四边形EFGH是矩形．
(2)若∠B＝45度，求证:四边形EFGH是正方形．
19．如图，在中，，是中线，是的中点，过点作AFBC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：；
（2）如果．试判断四边形的形状，并证明你的结论．
20．在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．
(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；
(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE＝DF；
(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．
参考答案
1．A2．B3．D4．C5．D6．D7．D8．D9．C10．B
11．135°
12．
13．1
14．45°##45度
15．①②④
16．解：∵在正方形中，
∴AD=AB，∠D=∠FAB=90°，
在和中，
，
∴（HL），
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
17.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE，
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°．
18.(1)证明∵四边形ABCD是菱形
∴ADBC，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
∴∠ABC+∠BAD=180°
∵AF⊥BC ，CH⊥AD
∴∠AFC=∠AHC=90°
∵ADBC
∴ ∠FAH=180°－∠AFC=90°
∴四边形AFCH为矩形，
∴AH=CF
∵AE＝AH，CG＝CF
∴AH＝CF＝AE＝CG，BF=BE=DH=DG
∴△AEH≌△CFG(SAS)，△BEF≌△DGH(SAS)
∴EH=FG，EF=GH
∴四边形EFGH是平行四边形
∵BE＝BF
∴△BEF是等腰三角形
∴∠BEF=∠BFE=（180°－∠ABC）=90°-∠ABC
同理可得∠AEH=∠BAD
∴∠BFE+∠AEH=（∠ABC+∠BAD）=90°
∴∠HEF=180°－（∠BFE+∠AEH）=90°
∴四边形EFGH是矩形．
(2)证明：如图，连结BD，FH，AC，设BD、AC、FH相交于点O.
∵四边形ABCD是菱形
∴ADBC，AB=BC=CD=AD， AC⊥BD
∴∠ADB=∠CBD，△ABD是等腰三角形，∠BOC==90°
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=22.5°
∴∠BCO=180°-∠CBD-∠BOC=67.5°
∵四边形AFCH为矩形
∴OF=OC，∠AFC=90°
∴△FOC是等腰三角形
∴∠OFC=∠BCO=67.5°
∴∠AFH=∠AFC-∠OFC=22.5°
∵BE＝BF
∴△BEF是等腰三角形
∴∠BEF=∠BFE=（180°－∠ABC）=90°-∠ABC=67.5°
∵AF⊥BC
∴∠AFB=90°
∴∠AFE=∠AFB-∠BFE=22.5°
∴∠EFH=∠AFE+∠AFH=45°
∵四边形EFGH是矩形
∴∠FEH=90°
∴∠EHF=180－∠FEH－∠EFH=45°
∴∠EFH=∠EHF
∴EF=EH
∴四边形EFGH是正方形．
19.(1)证明：∵AD 是中线， E 是 AD 的中点，
∴AF∥BC，
,
，
在和中，
，
)，
，
在中，，是中线，
,
；
(2)解：四边形是正方形，理由如下；
，，
四边形是平行四边形，
，是中线，
，
，
四边形是正方形．
20.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°
∵DG⊥AE，BF⊥AE
∴∠AFB＝∠DGA＝90°
∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°
∴∠BAF＝∠ADG
在△AFB和△DGA中
∵
∴△AFB≌△DGA（AAS）．
(2)证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J
由题意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD
∵BF⊥AE
∴∠AFB＝90°
∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°
∴∠DAE＝∠ABH
在△ABH和△DAE中
∵
∴△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵点E为CD的中点
∴DE＝EC＝ CD
∴AH＝DH
∴DE＝DH
∵DJ⊥BJ，DK⊥AE
∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°
∴四边形DKFJ是矩形
∴∠JDK＝∠ADC＝90°
∴∠JDH＝∠KDE
在△DJH和△DKE中
∵
∴△DJH≌△DKE（AAS）
∴DJ＝DK，JH＝EK
∴四边形DKFJ是正方形
∴FK＝FJ＝DK＝DJ
∴DF＝FJ
∴
∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ＝DF．
(3)
解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b
由（2）得△ABH≌△DAE（ASA）
∴AH＝DE
∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点
∴PD＝EH＝PH＝PE
∵PK⊥DH，PT⊥DE
∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°
∴四边形PTDK是矩形
∴PT＝DK＝b，PK＝DT
∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE
∴PT是△DEH的中位线
∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT
∴AH＝DE＝1﹣2b
∴PK＝ DE＝﹣b，QK＝DQ﹣DK＝﹣b
∴PK＝QK
∵∠PKQ＝90°
∴△PKQ是等腰直角三角形
∴∠KQP＝45°
∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形
∴QR＝DQ＝
∴点P的运动轨迹的长为．