2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.3 幂函数

这是一份2024讲与练高中数学1(必修第一册·A版)3.3 幂函数，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题， 填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( C )
A.y＝eq \r(x) B.y＝x3
C.y＝3x D.y＝x－1
解析：A选项中，y＝eq \r(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，故它是幂函数．B选项是幂函数．C选项x的系数为3，所以它不是幂函数．D选项是幂函数．
2．图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是( D )
A.eq \f(1,2)，3，－1
B.－1，3，eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2)，－1，3
D.－1，eq \f(1,2)，3
解析：由幂函数y＝xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得题图中C1对应的α＜0，C2对应的0＜α＜1，C3对应的α＞1，结合选项知，指数α的值依次可以是－1，eq \f(1,2)，3.
3．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,4)))，则f(2)＝( A )
A.eq \f(1,2) B.2
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)
解析：设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,4)))，∴eq \f(1,4)＝4α，∴α＝－1，∴y＝x－1，∴f(2)＝2－1＝eq \f(1,2).
4．已知幂函数f(x)＝x4－m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m＝( C )
A.1 B.2
C.1或3 D.3
解析：因为f(x)＝x4－m在(0，＋∞)上单调递增，所以4－m>0，所以m<4.又因为m∈N*，所以m＝1，2，3.又因为f(x)＝x4－m是奇函数，所以4－m是奇数，所以m＝1或3.
5．以下结论中，正确的为( D )
A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点
C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则在定义域内y随x的增大而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故A不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0，0)点，故B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；D正确．
二、多项选择题
6．已知函数y＝(m－1) xm2-m为函数，则该函数为( BC )
A.奇函数
B.偶函数
C.区间(0，＋∞)上的增函数
D.区间(0，＋∞)上的减函数
解析：y＝(m－1) xm2-m为幂函数，所以m－1＝1，即m＝2，y＝x2.设f(x)＝x2，定义域为R，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，在(0，＋∞)为增函数．故选BC．
7．已知幂函数f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，则( AD )
A.函数f(x)为奇函数
B.函数f(x)在定义域上为减函数
C.函数f(x)的值域为R
D.当x2>x1>0时，eq \f(f(x1)＋f(x2),2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))
解析：设幂函数为f(x)＝xα，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))代入解析式得eq \f(1,2)＝2α，故α＝－1，所以f(x)＝eq \f(1,x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝－eq \f(1,x)＝－f(x)，故函数为奇函数，故A正确；函数f(x)＝eq \f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；显然f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故C错误；当x2>x1>0时，
eq \f(f(x1)＋f(x2),2)－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \f(\f(1,x1)＋\f(1,x2),2)－eq \f(1,\f(x1＋x2,2))＝eq \f(x1＋x2,2x1x2)－eq \f(2,x1＋x2)＝
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－x2))\s\up12(2),2x1x2(x1＋x2))>0，即满足eq \f(f(x1)＋f(x2),2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))，故D正确．
三、 填空题
8．比较1.8－3，1.2－3，(eq \r(2))－3的大小，用“<”连接是1.8－3<(eq \r(2))－3<1.2－3.
解析：因为函数y＝x－3在x>0时单调递减，而1.8>eq \r(2)>1.2，故1.8－3<(eq \r(2))－3<1.2－3.
9．已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm在(0，＋∞)上是减函数，则m＝－2.
解析：由幂函数的定义可知，m2＋m－1＝1，解得m＝－2或m＝1，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则m<0，所以m＝－2.
10．已知幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则函数f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，若f(a)f(b)＝3，则实数a＋2b的最小值是6eq \r(2).
解析：设幂函数f(x)＝xα，因为函数的图象过点(9，3)，所以f(9)＝9α＝3，解得α＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,2))，又f(a)f(b)＝3，所以aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(1,2))＝3，且a>0，b>0，即ab＝9，所以a＋2b≥2eq \r(a•2b)＝6eq \r(2)，当且仅当a＝2b，即a＝3eq \r(2)，b＝eq \f(3\r(2),2)时取等号，所以a＋2b的最小值是6eq \r(2).
四、解答题
11．已知函数f(x)＝(m2＋m－1) xm2-2m-1，问当m取什么值时，函数f(x)是
(1)正比例函数；
(2)幂函数且在(0，＋∞)上为增函数．
解：(1)若f(x)是正比例函数，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋m－1≠0，,m2－2m－1＝1，))由m2－2m－1＝1得m2－2m－2＝0，解得m＝1＋eq \r(3)或m＝1－eq \r(3)，此时满足m2＋m－1≠0.故m＝1＋eq \r(3)或m＝1－eq \r(3).
(2)若f(x)是幂函数，则m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，此时m＝1或m＝－2，
当m＝1时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，舍去；
当m＝－2时，f(x)＝x7在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．故m＝－2.
12．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)－eq \f(m,5)<(5－2a)－eq \f(m,5)的a的取值范围．
解：∵幂函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减，∴3m－9<0，则m<3.
又m∈N*，所以m＝1或m＝2.
因为函数的图象关于y轴对称．
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为(a＋3)－eq \f(1,5)<(5－2a)－eq \f(1,5).
因为y＝x－eq \f(1,5)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋3>5－2a>0或5－2a解得eq \f(2,3)故实数a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a<－3，或\f(2,3)13．(多选题)已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm的定义域为R，则使得f(a)>f(b)成立的充分不必要条件可以为( BC )
A.a2>b2 B.eq \r(a)>eq \r(b)
C.ac2>bc2 D.|a|>|b|
解析：令m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，f(x)＝x－1，其定义域不为R，故舍去．当m＝3时，f(x)＝x3在R上单调递增，f(a)>f(b)等价于a>b.a＝－2，b＝1时，a2>b2，aeq \r(b)得a>b≥0，但a＝2，b＝－1时，eq \r(b)无意义，故B正确；ac2>bc2得a>b，但a>b，c＝0时，ac2＝bc2，故C正确；a＝－2，b＝1时，|a|>|b|，a14．函数f(x)＝(m2＋m－1) xm2-m-2是幂函数，g(x)为定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝f(x)是减函数，则g(x)的解析式为g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x∈(0，＋∞)，,0，x＝0，,－x－2，x∈(－∞，0))).
解析：由函数f(x)＝(m2＋m－1) xm2-m-2是幂函数，可得m2＋m－1＝1，解得m＝1或m＝－2，则f(x)＝x－2或f(x)＝x4，又当x∈(0，＋∞)时，f(x)是减函数，则f(x)＝x－2，g(x) 为定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝f(x)＝x－2，设x<0，则－x>0，则g(x)＝－g(－x)＝－(－x)－2＝－x－2，又g(0)＝0，则g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x∈(0，＋∞)，,0，x＝0，,－x－2，x∈(－∞，0).))
15．已知幂函数f(x)＝(m－1)2 xm2-4m+2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围；
(2)设F(x)＝f(x)－kx＋1－k2，且|F(x)|在[0，1]上单调递增，求实数k的取值范围．
解：(1)因f(x)＝(m－1)2xm2-4m+2是幂函数，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((m－1)2＝1，,m2－4m＋2>0，))解得m＝0，有f(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，
函数g(x)＝2x－k是R上的增函数，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)，
因p：x∈A，q：x∈B，p是q成立的必要条件，则B⊆A，显然B≠∅，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2－k≥1，,4－k≤4，))
解得0≤k≤1，
所以实数k的取值范围是[0，1]．
(2)由(1)知，F(x)＝x2－kx＋1－k2，二次函数F(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝eq \f(k,2)，
函数F(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(k,2)))上单调递减，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)，＋∞))上单调递增，因|F(x)|在[0，1]上单调递增，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)≤0，,F(0)＝1－k2≥0))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)≥1，,F(0)＝1－k2≤0，))解得－1≤k≤0或k≥2，
所以实数k的取值范围是[－1，0]∪[2，＋∞)．