2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期中数学学情检测模拟试题（含解析）

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．设集合，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．若方程组的解为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．命题“，使得”的否定是（ ）
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
4．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．函数f（x）=x3+2x-5的零点所在的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
6．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．<C．D．
8．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
9．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象.
给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；
④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本.
其中，正确的说法是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．函数的定义域为 .
12．若，则函数的最小值为 .
13．已知､分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则 .
14．函数在上满足若，则，求实数a的取值范围 .
15．关于函数的性质描述，正确的是 .①定义域为；②值域为；③为定义域内的增函数；④的图象关于原点对称.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．已知全集U=R，集合P={x|x（x-2）≥0}，M={x|a＜x＜a+3}．
（1）求集合∁UP；
（2）若a=1，求集合P∩M；
（3）若∁UP⊆M，求实数a的取值范围．
17．解下列关于x的不等式.
(1)；
(2).
18．已知函数.
(1)求；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(3)证明是奇函数.
19．2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥——港珠澳大桥正式通车．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函效．当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量可以达到最大？并求出最大值．（车流量指：单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）．
20．已知二次函数.
(1)若函数的零点是和1，求实数b，c的值；
(2)已知，设、关于x的方程的两根，且，求实数b的值；
(3)若满足，且关于x的方程的两个实数根分别在区间，内，求实数b的取值范围.
21．对于区间[a,b](a（1）求函数的所有“保值”区间
（2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由
1．D
【分析】由子集的定义判断.
【详解】集合，，M中的所有元素都是N中的元素，可得.
故选：D
2．B
【分析】将方程组的解代入求参数即可.
【详解】由题设.
故选：B
3．C
【分析】根据特称量词命题否定的法则即可.
【详解】对于 的否定为 ，对于 的否定为 ；
故选：C.
4．B
【分析】根据不等式的性质，对选项进行判断.
【详解】若，当时，不成立，A选项错误；
若，可知，则有，B选项正确；
若，当时，有，C选项错误；
若，当时，有，D选项错误.
故选：B
5．D
【分析】根据函数零点的判定定理验证选项中使得函数值取得正负的自变量，由此可得结论．
【详解】易知函数f（x）＝x3+2x﹣5是连续函数，
由于f（-1）＝﹣8＜0，f（0）＝﹣5＜0，f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝8+4﹣5＝7＞0，
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝x3+2x﹣5的零点所在的区间为（1，2），
故选D．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
6．A
【分析】根据充分性和必要性的定义，结合特例法进行判断即可.
【详解】因为,
所以能推出，故充分性满足，
当时，不能推出，故必要性不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选.
7．C
【分析】由题可得在上为减函数,则有,再结合偶函数的性质,即可得出结论.
【详解】∵偶函数的定义域为R,当时,是增函数,
∴x∈(-∞,0)时,是减函数,
∵为偶函数,∴.
∵在上为减函数,且,
∴,即,
故选:C.
本题考查函数奇偶性及单调性的综合应用,难度不大.
8．D
【详解】由f(x)为奇函数可知，
＝<0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以0点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内
9．D
【分析】作出图象，不妨设，，由数形结合及二次函数图象性质可得，，即可求范围.
【详解】不妨设，，如图所示，，由 ，
故，，故.
故选：D
10．C
【分析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系，再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为，
显然，，为票价.
当时，，则为固定成本.
由图象(2)知，直线向上平移，
不变，即票价不变，
变大，且，则变小，成本减小.
故①错误，②正确；
由图象(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大.
变大，即提高票价，不变，则不变，成本不变.
故③正确，④错误.
故选：C.
11．
【分析】根据函数特征，由被开方数非负且分母不为零列式计算即可求解.
【详解】
且，
函数的定义域为，
故
12．
【分析】利用基本不等式求最值,即得结果.
【详解】，则函数，
当且仅当时，取得最小值.
故答案为.
本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．
【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】依题意､分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
，
，
即.
故
14．
【分析】先确定函数单调递增，然后根据分段函数每一段递增，并且左边一段的最高点不低于右边一段的最低点列不等式求解.
【详解】，
当时，，即函数是上的单调递增函数，
解得.
故答案为.
15．①②④
【分析】由被开方式非负和分母不为零，解不等式组可得函数的定义域，可判断①；化简，讨论，，分别求出的范围，求并集可得的值域，可判断②；由，可判断③；由奇偶性的定义可判断④
【详解】解：对于①，由，解得且，所以函数的定义域为，所以①正确；
对于②，由①可得，
当时，，
当时，，
所以的值域为，所以②正确；
对于③，由，
则为定义域内的不是增函数，所以③错误；
对于④，由①可知的定义域关于原点对称，
因为，所以为奇函数，
所以的图象关于原点对称，所以④正确，
故①②④
此题考查函数的性质和应用，主要考查函数定义域和值域的求法、单调性的判断和图像的特征，考查分类思想，属于中档题
16．（1）∁UP={x|0＜x＜2} （2）P∩M={x|2≤x＜4} （3）[-1，0]
【分析】（1）先求出集合P={x|x（x-2）≥0}={x|x≤0或x≥2}，全集U=R，由此能求出集合∁UP．
（2）a=1时，M={x|a＜x＜a+3}={x|1＜x＜4}．由此能求出集合P∩M．
（3）由集合∁UP={x|0＜x＜2}．M={x|a＜x＜a+3}，∁UP⊆M，列不等式组，能求出实数a的取值范围．
【详解】（1）∵全集U=R，集合P={x|x（x-2）≥0}={x|x≤0或x≥2}，
∴集合∁UP={x|0＜x＜2}．
（2）a=1时，M={x|a＜x＜a+3}={x|1＜x＜4}．
∴集合P∩M={x|2≤x＜4}．
（3）∵集合∁UP={x|0＜x＜2}，M={x|a＜x＜a+3}，
∁UP⊆M，
∴，解得-1≤a≤0．
∴实数a的取值范围是[-1，0]．
本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．(1)##或
(2)答案见解析
【分析】由分式不等式求解方法解得即可，
由含参一元二次不等式解法解得即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以,
解得.
（2）即，则，，
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为.
18．(1)
(2)在区间上单调递减，证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用函数解析式，代入求函数值；
（2）定义法判断并证明函数的单调性；
（3）定义法证明函数的奇偶性.
【详解】（1），则；
（2）函数在区间上是减函数，证明如下，
证明：任取，且，
则.
因为，所以，
因为，所以，，，，，
所以，所以.
所以函数在区间上是减函数.
（3）证明：函数的定义域为，关于原点对称.
对于任意，因为，
所以是奇函数.
19．（1）；（2）当辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
（1）设.根据题意可得求得，即可求函数的表达式；
（2）先求出，再分和求函数的最大值，即可求解.
【详解】（1）由题意可得：当时，；
当时，设.
因为，解得
所以，
（2）由（1）得，
当时，为增函数，所以的最大值为；
当时，，则当时，的最大值为.
综上所述：当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.
关键点点睛：本题解题的关键是设，利用待定系数法求出函数的表达式，再利用分段函数的性质求出的最值.
20．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1），1为方程的两个根，把根代入方程，或利用韦达定理，求系数；
（2）由已知化简方程，由判别式得出的取值范围，已知等式结合韦达定理求实数b的值；
（3）满足，方程中消去，由二次函数的图像和性质，结合实数根所在区间，求实数b的取值范围.
【详解】（1）法1：由题可知：，1为方程的两个根，
所以，
解之得：，.
法2：由题可知：，1为方程的两个根，
由韦达定理，得，
解之得：，.
（2）因为，，所以，
因为、是关于x的方程的两根，
所以，即，
所以，
因为，所以，所以.
所以，所以或，
因为，所以.
（3）因为，所以，
设，
则有，
解得，所以b的取值范围为.
21．（1）； （2）.
【分析】（1）由已知中的保值区间的定义，结合函数的值域是，可得，从而函数在区间上单调，列出方程组，可求解；
（2）根据已知保值区间的定义，分函数在区间上单调递减和函数在区间单调递增，两种情况分类讨论，即可得到答案.
【详解】（1）因为函数 的值域是，且在的最后综合讨论结果，
即可得到值域是 ，所以，所以，从而函数在区间上单调递增，
故有，解得 .
又 ，所以.所以函数的“保值”区间为 .
（2）若函数存在“保值”区间，则有：
①若，此时函数在区间上单调递减，
所以 ，消去得，整理得 .
因为，所以 ，即.又 ，所以.
因为 ，所以.
②若 ，此时函数在区间上单调递增，
所以，消去 得，整理得.
因为，所以，即.
又 ，所以.
因为 ，所以 .
综合①、②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是.
本题主要考查了函数的单调性，函数的最值与值域等性质的综合应用，其中正确理解所给新定义，并根据新定义构造满足条件的方程（组）或不等式（组），将新定义转化为数学熟悉的数学模型求解是解答此类问题的关键，着重考查了转化思想和分类讨论思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.