2023-2024学年江苏省南京市金陵重点学校八年级上学期10月月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市金陵重点学校八年级上学期10月月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个会徽图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. 周长相等的两个锐角三角形全等B. 周长相等的两个直角三角形全等
C. 周长相等的两个等腰三角形全等D. 周长相等的两个等边三角形全等
3.如图，已知ΔABC的3条边和3个角，则能判断和ΔABC全等的是
( )
A. 甲和乙B. 乙和丙C. 只有乙D. 只有丙
4.已知△ABC≌△DEF，∠A=30∘，∠F=85∘，则∠B的度数是
( )
A. 30B. 85C. 65D. 55
5.如图，在▵ABC中，∠ABC=45∘，AC=8，F是高AD和BE的交点，则BF的长是
( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC中点，直角MDN绕点旋转，DM、DN分别与边AB，AC交于E、F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF.其中正确的是( )
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是_________．
8.自行车的支架部分采用了三角形结构，是因为三角形具有_________．
9.圆是轴对称图形，它的对称轴有_______条．
10.如图，已知AD与BC交于O点，OA=OB，要使▵AOC≌▵BOD，添加一个你认为合适的条件为_______．
11.如图，点A在DE上，▵ABC≌▵EDC，若∠BAC=55∘，则∠ACE的大小为_____．
12.如图，▵ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，若▵ABD的周长为12cm，则AB+AC=_ cm．
13.如图，将长方形纸片ABCD折叠成如图的形状，∠EGC=26∘，则∠AFG=_____．
14.如图，AD是▵ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S▵ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是____．
15.如图，▵ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的三角形叫格点三角形，在如图所示的网格中，最多能找出_________个与▵ABC全等的格点三角形．(不包括▵ABC本身)
16.如图，在▵ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6，则CF的长为___________．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
18.(本小题8.0分)
下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．
(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．
(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．
(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．
19.(本小题8.0分)
如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，图中AE，BD有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论．
20.(本小题8.0分)
在图示的方格纸中，(1)画出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；
(2)说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？
(3)在直线MN上找一点P，使得PB+PA最短．(不必说明理由)．
21.(本小题8.0分)
如图，AC、BD相交于点O，且AB=DC，AC=BD，求证：AD/​/BC．
22.(本小题8.0分)
请利用直尺与圆规作图：用两种不同的方法过点A作直线l的垂线．(不写作法，保留作图痕迹)
23.(本小题8.0分)
如图，点D、E分别在AB、AC的延长线上，AB=AC，BD=CE，BE与CD交于点F，连接AF，求证：AF平分∠DAE．
24.(本小题8.0分)
如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)求证：HC平分∠AHE；
(3)求∠CHE的度数(用含α的式子表示)．
25.(本小题8.0分)
【探索发现】
如图①，已知在△ABC中，∠ BAC= 45°，AD⊥ BC，垂足为D，BE⊥ AC，垂足为E，AD与BE相交于F．
(1)线段AF与BC的数量关系是：AF_BC，(用>，EF，判断出④错误．
【详解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠ADF=∠BDE，
在△ADF和△BDE中，
∠CAD=∠BAD=BD∠ADF=∠BDE,
∴△ADF≌△BDE(ASA)，
故③正确；
∴DE=DF、BE=AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故①正确；
∵AE=AB−BE，CF=AC−AF，
∴AE=CF，
故②正确；
∵BE+CF=AF+AE
∴BE+CF>EF，
故④错误；
综上所述，正确的结论有①②③；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
7.【答案】SSS
【解析】【分析】连接NC，MC，根据SSS证▵ONC≌▵OMC，即可推出答案．
【详解】
解：连接NC，MC，
在▵ONC和▵OMC中，
ON=OMOC=OCNC=MC
∴▵ONC≌▵OMCSSS，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线．
∴用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是SSS．
故答案为：SSS．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
8.【答案】稳定性
【解析】【分析】根据题意及三角形的特征来思考，由三条线段围成的图形叫三角形，三角形有三个角，三条边，三角形具有稳定性．
【详解】解：自行车的支架部分采用了三角形结构，是因为三角形具有稳定性，
故答案为：稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的认识，由三条线段围成的图形叫三角形，三角形有三个角，三条边，三角形具有稳定性．
9.【答案】无数
【解析】【详解】因为圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每一条经过圆心的直线都是对称轴．
故填：无数
【点睛】本题主要考查了圆的对称性，找到对称轴是解题的关键．
10.【答案】OC=OD(答案不唯一)
【解析】【分析】可以是OC=OD，根据SAS可证明▵AOC≌▵BOD，从而得到答案．
【详解】解：OC=OD，
理由是：
在▵AOC和▵BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD,
∴▵AOC≌▵BODSAS，
故答案为：OC=OD(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握证明三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL是解题的关键．
11.【答案】70∘
【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出∠E=∠BAC=55∘，CE=AC，根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求出∠ACE=180∘−∠CAE−∠E=70∘．
【详解】∵▵ABC≌▵EDC，∠BAC=55∘，
∴∠E=∠BAC=55∘，CE=AC，
∴∠CAE=∠E=55∘，
∴∠ACE=180∘−∠CAE−∠E=70∘
故答案为：70∘
【点睛】本题考查了全等三角的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
12.【答案】12
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC，然后根据三角形的周长可得AB+AD+BD=12cm，从而可得AB+AD+DC=12cm，进而可得AB+AC=12cm，即可解答．
【详解】解：∵l是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∵▵ABD的周长为12cm，
∴AB+AD+BD=12cm，
∴AB+AD+DC=12cm，
∴AB+AC=12cm，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13.【答案】103∘##103度
【解析】【分析】由折叠的性质可得：∠BGF=∠EGF，即可求出∠BGF，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可得：∠BGF=∠EGF，
∵∠BGF+∠EGF+∠EGC=180∘，∠EGC=26∘，
∴∠BGF=180∘−26∘2=77∘，
∵AD//BC，
∴∠AFG+∠BGF=180∘，
∴∠AFG=180∘−77∘=103∘；
故答案为：103∘
【点睛】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题关键．
14.【答案】3
【解析】【分析】根据角平分线的性质得出DE=DF，再利用面积求解即可．
【详解】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=12×4×2+12 AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是熟记角平分线上的点到角两边的距离相等．
15.【答案】15
【解析】【分析】利用SSS判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．
【详解】解：如图所示，

每相邻两行的六个方格上，可作4个与▵ABC全等的格点三角形，
每相邻两列的六个方格上，也可作4个与▵ABC全等的格点三角形，
∴除去▵ABC，共有4×4−1=15个全等三角形，
故答案为：15．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
16.【答案】2.4
【解析】【分析】延长AD到点G，使DG=AD，首先证明▵BDG≌▵CDASAS，然后得到∠G=∠CAD，BG=AC，然后根据等腰三角形的性质得到BG=BE=AC=4，然后根据线段的和差求解即可．
【详解】如解图，延长AD到点G，使DG=AD，
∵AD为BC边的中线，
∴BD=CD
∵∠BDG=∠CDA，DG=AD
∴▵BDG≌▵CDASAS
∴∠G=∠CAD，BG=AC
∵∠AEF=∠FAE
∴∠G=∠BEG
∴BG=BE=AC=4
∵∠AEF=∠FAE，EF=1.6
∴AF=EF=1.6
∴CF=AC−AF=2.4．
故答案为：2.4．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
17.【答案】证明见解析
【解析】【分析】如图，过点A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D，利用SAS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的对应角相等即可证得∠B=∠C．
【详解】如图，过点A作∠BAC的平分线AD，交BC于点D，则∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD,
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠B=∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18.【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析

【解析】【分析】(1)根据轴对称图形的性质作出对称轴即可；
(2)根据要求画出图形即可；
(3)根据要求画出图形即可．
【详解】(1)如图①中，直线m即为所求；
(2)如图②中，图形即为所求；
(3)如图③中，图形即为所求．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】BD=AE，BD⊥AE；证明见解析
【解析】【分析】首先根据已知可证得∠ACE=∠BCD，再根据全等三角形的判定定理SAS，即可证得▵ACE≌▵BCD，可得AE=BD，∠EAC=∠DBC，据此可证得BD⊥AE．
【详解】解：BD=AE，BD⊥AE，
理由如下：如图所示：
∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与▵BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC,
∴▵ACE≌▵BCDSAS，
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，
∵∠AHO=∠BHC，
∴∠AHO+∠EAC=∠BHC+∠DBC=90∘
∴∠AOH=180∘−∠AHO+∠EAC=90∘，
∴BD⊥AE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握和运用全等三角形的判定及性质是解决本题的关键．
20.【答案】(1)如图所示(2)向右平移6个单位，再向下平移2个单位(或向下平移2个单位，再向右平移6个单位).(3)作点B关于MN的对称点B′，连接B′A交MN于点P，即点P即为所求
【解析】【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据平移的性质结合图形解答．
(3)作点B关于MN的对称点B′，连接B′A交MN于点P即可．
【详解】(1)△A1B1C1如图所示；
(2)向右平移6个单位，再向下平移2个单位(或向下平移2个单位，再向右平移6个单位)．
(3)作点B关于MN的对称点B′，连接B′A交MN于点P，即点P即为所求：
【点睛】考查作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，坐标与图形变化−平移，掌握图形的平移和轴对称变换是解题的关键．
21.【答案】见解析
【解析】【分析】先由“SSS”证明▵ABC≌▵DCB，得到∠ACB=∠DBC，推出OB=OC，进一步得到OA=OD，∠ADO=∠DAO，根据三角形内角和定理可得∠ADO=12180∘−∠AOD，∠OBC=12180∘−∠BOC，由对顶角相等，可得∠AOD=∠BOC，即可推出∠ADO=∠OBC，即可得证．
【详解】证明：在▵ABC和△DCB中，
AB=DCBC=CBAC=DB,
∴△ABC≌△DCBSSS，
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∵AC=BD，
∴OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠ADO=12180∘−∠AOD，∠OBC=12180∘−∠BOC，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠ADO=∠OBC，
∴AD//BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
22.【答案】见解析．
【解析】【分析】方法1、以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于两个点，再分别以这两个点为圆心，大于这两个点的距离的一半为半径，画弧，相交于两点，连接这两个交点成直线即可；
方法2、以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于两个点，再分别以这两个点为圆心，大于这两个点的距离的一半为半径，画弧，相交于一个点，连接这个点与点A成直线即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查尺规作图，画经过直线上的一点，作直线的垂线，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23.【答案】见解析
【解析】【分析】由“SAS”可证得▵ABE≌▵ACD，推出∠ADC=∠AEB，即∠BDF=∠CEF，由“AAS”证得△BDF≌△CEF，推出BF=CF，再由“SSS”证得▵ABF≌▵ACF，推出∠BAF=∠CAF，即可得出结论．
【详解】证明：∵AB=AC，BD=CE，
∴AB+BD=AC+CE，即AD=AE，
在▵ABE和▵ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD,
∴▵ABE≌▵ACDSAS，
∴∠ADC=∠AEB，即∠BDF=∠CEF，
在▵BDF和△CEF中，
∠BFD=∠CFE∠BDF=∠CEFBD=CE,
∴▵BDF≌▵CEFAAS，
∴BF=CF，
在▵ABF和▵ACF中，
AB=ACAF=AFBF=CF,
∴▵ABF≌▵ACFSSS，
∴∠BAF=∠CAF，
∴AF平分∠DAE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
24.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)90°−12 α
【解析】【分析】(1)由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE；
(2)首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可得CM=CN，即可证得HC平分∠AHE；
(3)由△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，继而求得∠AHB=∠ACB=α，则可求得∠CHE的度数．
【详解】解：(1)证明：∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE,
∴CM=CN，
∴HC平分∠AHE；
(3)∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠AHB=∠ACB=α，
∴∠AHE=180°−α，
∴∠CHE=12∠AHE=90°−12 α．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
25.【答案】(1)=；(2)AF=2BD，理由见解析；(3)4
【解析】【分析】(1)先利用等角对等边得出EA=EB，再证出∠CAD=∠CBE，进而判断出△AEF≌△BEC，即可得出结论；
(2)先根据三角形的内角和求出∠C=67.5°=∠CBA，得出AC=AB，进而判断出BD=12 BC，即可得出结论；
(3)先判断出△ACD≌△CDE，得出∠ECD=∠ACD=22.5°，进而得出∠AGC=90°，再求出BC=4，最后用三角形的面积公式，即可得出结论．
【详解】解：(1)∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠EBA=90°−∠BAC=45°=∠EAB，
∴EA=EB，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°=∠AEB，
∵∠EFA=∠DFB，
∴∠CAD=∠CBE，
在△AEF和△BEC中，
∠AEF=∠CEBAE=EB∠CAD=∠CBE,
∴△AEF≌△BEC(ASA)，
∴AF=BC，
故答案为：=；
(2)AF=2BD，理由：
在△ABE中，∠CAB=45°，∠CBA=67.5°，
∴∠C=67.5°，
∴∠C=∠CBA，
∴AC=AB，
∵AD⊥BC，
∴CD=BD=12 BC，
由(1)知，AF=BC，
∴AF=2BD；
(3)如图②，延长AD至E，使DE=DA，连接CE，延长AB与CE交于点G，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC=∠CDE=90°，
在△ACD和△ECD中，
AD=DE∠ADC=∠CDECD=CD,
∴△ACD≌△CDE(SAS)，
∴∠ECD=∠ACD=22.5°，
∴∠ECA=∠BAC=45°，
∴∠AGC=90°，
∴AG⊥CE，
由(2)知，BC=2AD=4，
∴S△ABC=12 BC⋅AD=12×4×2=4．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，等角对等边，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．