2023-2024学年浙江省温州市乐成市公立寄宿学校环大罗山联盟高一上学期期中联考数学试题含答案

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高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域.
【详解】由题意得，解得，
故定义域为.
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.
【详解】∵，∴或．
若，解得或．
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立．
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．
综上所述，．
故选：D．
3. 已知命题若，则，则命题的否定为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题得解.
【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题得：
命题：”若，则“的否定是：”若，则“.
故选：B
4. 下列关于的关系式中，可以表示为的函数关系式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依次判断每个选项是否满足函数关系式得到答案.
【详解】A. ，当时，，不满足函数关系式；
B. ，当时，，不满足函数关系式；
C. ，当时，，不满足函数关系式；
D. ，，满足函数关系式.
故选
【点睛】本题考查了函数关系式，通过特殊值排除选项可以快速得到答案.
5. 在同一坐标系内，函数和的图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数和一次函数的图像特征，对四个选项一一判断.
【详解】对于A：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出.矛盾.故A错误；
对于B：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，所以，所以直线与y轴的交点应该在x轴上方，矛盾.故B错误；
对于C：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过一、三象限可以判断出，所以，所以直线与y轴的交点应该在x轴下方，符合题意.故C正确；
对于D：由幂函数的性质可以判断出，而由一次函数经过二、四象限可以判断出，矛盾.故D错误.
故选：C
6. 如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分点P在AB上时，点P在BC上时，点P在CD上时求得函数，再利用函数的性质来判断．
【详解】点P在AB上时,；
点P在BC上时，
；
点P在CD上时，；
所以
画出分段函数的大致图象，如图所示．
故选：A．
7. 如果，那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由指数函数和幂函数得单调性求解即可.
【详解】根据函数在上单调递增，
又因为，所以，
所以根据函数在上单调递减，所以，
而根据函数在上单调递增，
所以，所以.
故选：C.
8. 设，，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】变形得到和，构造，由函数单调性得到，求出答案.
【详解】由题意得，方程两边同除以得，
，
同理同时除以得，，即，
设，则，，
因为在R上单调递增，
故，所以.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 下列四个命题，其中不正确命题的是（ ）
A. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数
B. 函数的零点是、
C. 设、，则“，”是“”充分不必要条件
D. 和表示同一个函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】取可判断A选项；利用零点的定义可判断B选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断C选项；利用函数相等的概念可判断D选项.
【详解】对于A选项，取，则函数在上单调递增，在上单调递增，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数在上不是增函数，A错；
对于B选项，解方程得，，
所以，函数的零点是、，B错；
对于C选项，设、，当且时，，
即“，”“”，
取，则，但“，”不成立，
所以，“，”“”，
所以，“，”是“”充分不必要条件，C对；
对于D选项，函数和的定义域都为，
但，两个函数的对应关系不相同，
故函数和不是同一函数，D错.
故选：ABD
10. 对于实数a，b，c下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质和赋值法逐项判断即可.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，，则，故B正确；
对于C，若，则，所以，
所以，即，故C正确；
对于D，若，则，故D错误；
故选：ABC
11. 已知a，b为正实数，满足，则下列判断中正确的是（ ）
A. 有最小值
B. 有最小值
C. 函数的最小值为1
D. 有最大位
【答案】AD
【解析】
【分析】直接利用基本不等式即可判断A；先求得，再利用基本不等式求得其最大值，进而即可判断B；先求得，再利用基本不等式求得其最小值，注意等号取不到，进而即可判断C；先令，得到，再根据“1”的妙用得到，再结合基本不等式求得的最小值，进而即可判断D．
【详解】由a，b为正实数，满足，
对于A，，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，
所以有最大值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即或时，等号成立，但，
所以取不到最小值，故C错误；
对于D，令，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
则，即，所以有最大值，故D正确．
故选：AD．
12. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最大值可能是
B. 函数的图象一定具有对称性
C. “函数最大值为1”是“，”的必要不充分条件
D. 函数在定义域内不可能是单调函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】可判断A；讨论和时，求出的对称性可判断B；由充分条件和必要条件的定义可判断C；由单调函数的定义可判断D.
【详解】对于A，若函数的最大值是，
则恒成立，但，不符合，故A错误；
对于B，若，关于成对称中心，
若，令，其图象关于对称，
则函数图象关于对称，故B正确；
对于C，当，，，所以函数最大值为1，
所以“函数最大值为1”推不出“，”，
当，时，，令，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以函数最大值为，
故“，”能推出“函数最大值为1”，
故“函数最大值为1”是“，”的必要不充分条件，C正确；
对于D，当时，函数图象关于对称，不是单调函数，
当时，，无单调性，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以函数在定义域内不可能是单调函数，故D正确.
故选：BCD.
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图象过点，则 ____________
【答案】3
【解析】
【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算．
【详解】设，则，，即，
∴．
故答案为：3.
14. 已知函数 ， 则f（1）﹣f（3）=________
【答案】7
【解析】
【详解】由题意知,
所以
故填7
15. 已知，，，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数运算法则计算出答案.
【详解】.
故答案为：
16. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】讨论与的取值，从而化简不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】因为，
当时，，
当时，，
所以的值域为，
①若，，即
则，
，
成立，
②若，，即，
，，
所以由可得：，
即，则，解得：，
若，，即，解得：，故，
若，，即，即，
解得：，故且，
综上：实数a的取值范围是：.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
17. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】利用指数幂的运算法则和根式运算法则计算出结果.
【详解】
18. 设全集，已知集合，集合.
（1）求和；
（2）若集合（a为常数），且，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集、补集的运算求解即可；
（2）根据得出的所有可能，据此列出不等式求解即可.
【小问1详解】
因为，，所以，
又，，所以.
【小问2详解】
因为，所以可能为，
若，则，解得或；
若，则，化简得，解得；
若，则，化简得，解得；
若，则，解得.
综上，实数a的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）若为奇函数，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，试判断在上的单调性并用定义法给出证明，写出此时的值域.
【答案】（1）1 （2）单调递增，证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用函数为奇函数的性质求解即可；
（2）根据函数单调性的定义证明并利用单调性求值域.
【小问1详解】
因为，定义域为，且为奇函数，
所以，
所以，
即，解得.
【小问2详解】
由（1）知，，在上单调递增，
证明如下：
设，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
由的单调性可知，，即，
所以的值域为.
20. 杭州第19届亚运会，温州分会场场馆之一的温州体育中心，内有一块足够长的矩形场地，一面靠墙，现需要分隔出志愿者区、记者区以及运动员候场区三块区域如图，除墙外的各边界线用安全警戒带围成.现有40m长的安全警戒带材料.
（1）若运动员候场区面积是志愿者区与记者区面积之和，运动员候场区长、宽分别设计为多少时，可使其面积最大，最大面积是多少平米？
（2）在保证志愿者区和记者区面积之和是20平米的前提下，如何设计运动员候场区的长、宽，可以使得运动员候场区的面积最大？
【答案】（1）长、宽分别，最大面积为；
（2）长、宽分别为.
【解析】
【分析】（1）设运动员候场区宽为，用表示出运动员候场区的面积，再利用二次函数求出最大值即可得出结果.
（2）设志愿者区和记者区矩形的宽为，结合已知表示出运动员候场区的面积，再求出面积最大值即可得出结果.
【小问1详解】
令靠墙的一边为矩形的长，
设运动员候场区宽为，因为运动员候场区面积是志愿者区与记者区面积之和，
则志愿者区和记者区矩形的宽也为，于是运动员候场区长为，显然，
因此运动员候场区的面积，
则当时，，此时运动员候场区长为，
所以运动员候场区长、宽分别时，运动员候场区的面积最大，最大面积为.
【小问2详解】
令靠墙的一边为矩形的长，
设志愿者区和记者区矩形的宽为，则运动员候场区长为，运动员候场区宽为，
显然，解得，
于是运动员候场区的面积，
则当，即时，，此时，，
运动员候场区长、宽分别为时，运动员候场区的面积最大，最大面积为.
21. 已知定义域为R的函数满足：对于任意，，都有，，且当时，.
（1）试判断函数的奇偶性，并给出证明；
（2）设函数，请判断在上的单调性，并求不等式的解.
【答案】（1）函数奇函数.证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇、偶函数的定义证明即可；
（2）根据单调性定义可证明为R上单调递增函数，即可得的单调性，再根据单调性解不等式即可得出答案.
【小问1详解】
函数为奇函数.证明如下：
函数的定义域为R，令可得，
即，令，则，
所以函数为奇函数.
【小问2详解】
令，则，
在R上任取，则，
因为当时，，所以，，
即，所以，所以R上单调递增函数；
又，令，所以，
又当时，，得，所以当时，，
因为，所以函数的定义域为R，
任取，则
，
因为，所以，又，
所以，所以在上为单调增函数，
同理在上为单调减函数，
因为令，所以，
令，所以，
令，所以，故，
令，所以，故，
所以，，
所以，，所以，所以解集为
22. 已知函数，
（1）当时，求在区间上的最大值（用含b的式子表示）；
（2）如果方程有三个不相等的实数解，，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化函数为分段函数，结合二次函数图象分类讨论求函数最大值即可；
（2）化函数为分段函数，分类讨论可知时函数有三个根，由关于对称轴对称，化简，求出的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
如图，
由图可知当时，即时，最大值为；
当时，即时，最大值为；
当时，即时，最大值为.
所以.
【小问2详解】
，
当时，当时，方程的判别式，
可知方程无解，所以此时不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，方程有个不相等的实数根，且在上递增，
所以时，有个根，且时，有个根，
所以只需满足，解得，综上所述：取值范围是.
不妨设，则，
所以
，
因为，则，可得，
所以.
故的取值范围为.