浙江省环大罗山联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案）

这是一份浙江省环大罗山联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，函数，若，，，则等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“关于的不等式成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不
3．幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．若数据，，，的方差为，则，，的方差为（ ）
A．B．C．D．
5．为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校要安排2名大学生，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30B．60C．90D．120
6．已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③
A．这次考试成绩超过100分的约有1000人
B．这次考试分数低于70分的约有40人
C．
D．从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
7．函数，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．设定义在上的函数满足，为奇函数，当时，
，若，则（ ）
A．1011B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出：
其中，和分别是和的第个样本值，和分别是和的样本均值。
下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（ ）
A．分母中的和是和的标准差。
B．分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关。
C．样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强。
D．通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较。
10．已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在上是增函数
11．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知的展开式中的系数为80，则________．
13．已知正数，满足且有解，则实数的取值范围是________．
14．已知实数为函数的零点，为函数的零点，则________．
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数
（1）若不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，若方程的两个不相等的实根为，，求的取值范围．
16．（15分）李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好．
17．（15分）生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：
●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数．
●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值
●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即．
已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为
（1）求参数，和的值以及函数的解析式；
（2）求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长．
18．（17分）已知函数为偶函数．
（1）求的值；
（2）若，判断在的单调性，并用定义法给出证明；
（3）若在区间上恒成立，求的取值范围．
19．（17分）假设通过简单随机抽样得到和的抽样数据列联表，
课本中给出统计量计算公式如下：
此处我们把列联表中的，，，称为观察频数，记作，（例如，），
把，，，称为期望频数，记作，
即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如，）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：
（Σ表示对后面的代数式求和）
根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示：
（1）已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的、、，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率．
（2）（i）求，；
（ii）依据小概率值的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异．
参考数据：
2023学年第二学期温州环大罗山联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．B 2．A 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．BD 10．AC 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．2 13． 14．
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）【答案】（1），（2）
【详解】（1）原不等式可化为，因为该不等式的解集为，
可知的两根为和3，2分
则，即，解得；所以，．6分
（2）方程有两根，
，解得或，
又，．7分
由韦达定理：，
所以
10分
令，，
在上单调递增，所以
13分
16．（15分）解：（1）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，
则，所以走路线最多遇到次红灯的概率为．3分
（2）依题意，知的所有可能取值为0，1，2．4分
，，，
故随机变量的分布列为
分（每求对一个概率给1分）
所以．9分
（3）设选择路线遇到红灯的次数为，则，所以．12分（指出二项分布1分，算对期望2分）
若，则，，选择路线上班更好；
若，则，，此时选择路线上班更好；
若，则，此时选择路线和路线一样．15分（每答对一种情况给1分）
17．（15分）（1）根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量，2分
荷尔蒙分泌量满足关系式：
当时，分泌量达到峰值即，即
解得：4分
因此，早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为．
在下午和晚上时段，荷尔蒙分泌量满足：
所以；解得6分
所以荷尔蒙分泌量为
综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为
8分
（2）①当时，
解得，所以10分
②当时，，
，
， 13分
综上所述，14分
该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于的时长为10个小时。15分
18．（17分）（1），
由于函数为偶函数，所以，1分
即，即，
即恒成立，．3分
（2）已知函数，由于函数在上单调递增，5分
由第（1）问可得，因此
不妨设，，且
则6分
8分
因为，因此，由因为，，因此，所以故，所以函数在单调递增．10分
（3）由题得恒成立，即恒成立，
因为，所以，所以恒成立，12分
令，令，则，
因为在单调递增，
所以函数在上单调递减，故．15分
．
对任意的恒成立，且，
．
实数的取值范围是．17分
（利用根的分布求解酌情给分）
19．（17分）
解：记“传统式学习方法中成绩级别为低的同学概率”为事件A，
“传统式学习方法中成绩级别为中的同学概率”为事件B，
“传统式学习方法中成绩级别为高的同学概率”为事件C，
“传统式学习方法中参加数学兴趣小组同学的概率”为事件D．
则， ，．3分（每个1分）
6分
（2），8分
10分
ii．， ，
，，
，，
，
，
，，
，，
，，；
16分
（注：以上九个数据中，出现一个正确就给2分，出现两个正确就给4分，比较卡方的值大于9.49再给2分）
所以这三种教学方法对学生数学成绩影响存在显著差异．17分
合计
合计
教学方法\成绩级别
低
中
高
总计
传统方法
20
30
50
100
在线学习
35
45
20
100
互动式学习
25
15
60
100
总计
80
90
130
300
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
7.78
9.49
11.14
13.28
14.86
0
1
2