2023-2024学年浙江省温州中学十校联合体高一上学期期中联考数学试题含答案

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高一年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分 150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.
【详解】集合，所以.
故选：B
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定写出结论，即可判断得解.
【详解】命题“”全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定是：.
故选：B
3. 已知定义在上的幂函数，则（ ）
A. 0B. C. 1D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据常见幂函数的图象特点求解即可.
【详解】由题意函数过点，，
所以.
故选：B.
4. 已知，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数单调性结合中间值“1”分析判断.
【详解】因为在上单调递减，且，
可得，即，
又因为在上单调递增，且，
可得，
所以.
故选：A.
5. 对，恒有成立， 则的值为 （ ）
A. 1B. 2C. 4D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次方程的特点即可得到答案.
【详解】由题意得，则，所以，
故选：C.
6. 若 “”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据是的一个充分不必要条件，可得是的真子集，进而得出结论.
【详解】由题意得，
设，
则，
设，
则，
若 “”是“”的一个充分不必要条件，
即是的一个充分不必要条件，
所以是的真子集，
所以或，
所以或，
故选：C
7. 已知，y满足 则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件消去并求出的范围，再借助二次函数求出值域即可.
【详解】由消去得：，即，
解得，由，得，
函数在上单调递减，，
所以的取值范围是.
故选：D
8. 如图，将边长为的正方形 ABCD沿轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在轴时，又以B为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C滚动时的曲线方程为， 则下列说法错误的为（ ）
A. B.
C. D. 在区间内单调递增
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据正方形的运动关系得到时所对应的函数值，推出函数的周期性，可判断AB选项；当时，C点的轨迹是以为圆心，为半径的的圆，可判断C选项；根据函数的图象与周期性可判断D选项.
【详解】已知四边形为边长是的正方形，则对角线为，
由正方形的滚动轨迹可知，
当时，位于点，即；
当时，位于点，即，故A正确；
当时，位于点，即；
当时，位于点，即；
当时，位于点，即；
所以，则的周期为，
所以，故B正确；
当时，C点的轨迹是以为圆心，为半径的的圆，
此时轨迹方程为，故C错误；
由函数的图像与周期性可知在单调递增，
而，，
所以函数在区间内单调递增，故D正确.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知集合 为单元素集，则a的可能取值为（ ）
A. 0B. 2C. -1D. 4
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据集合A为单元素集，分和，利用判别式法求解.
【详解】当时，满足题意；
当时，，
即，解得或，
故选：ABC
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域为B. 函数是偶函数
C. 函数在区间上单调递增D. 函数值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数有意义求解函数的定义域，进而判断AC选项；结合函数奇偶性的定义判断B选项；结合二次函数的性质求解函数值域，进而判断D选项.
【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为，故AC错误；
对于B，由A知函数的定义域为，又，
所以函数是偶函数，故B正确；
对于D，因为，则，
所以函数值域为，故D正确.
故选：BD.
11. 以下命题为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可.
【详解】若，则同号，且，则成立，故A正确；
若，则，则，即，所以，故B正确；
若，则，故C错误；
若，则，则，故D正确
故选：ABD.
12. 已知， 则下列正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 的取值范围为
C. 的最小值为5D. 的最小值为20
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，由基本不等式，求出，A错误；B选项，先求出，从而得到；C选项，，由基本不等式“1”的妙用求出答案；D选项，举出反例即可.
【详解】A选项，因为，由基本不等式得，
，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，A错误；
B选项，因为，所以，解得，
故，故的取值范围为，B正确；
C选项，，
因为，所以由基本不等式得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故，故C正确；
D选项，不妨令，
此时，故的最小值不是20，D错误.
故选：BC
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共 20分．把答案填在题中的横线上．
13. ______________
【答案】
【解析】
【分析】利用根式及指数运算计算即得.
【详解】.
故答案为：
14. 函数的定义域为______.
【答案】且
【解析】
【分析】由根式函数和分式函数的定义域求解.
详解】由，解得且，
所以函数的定义域为且
故答案为：且
15. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求解
【详解】时，，是奇函数，
此时
故答案为：
16. 若函数 若在既有最大值，又有最小值， 则的最大值为______________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值，又有最小值，列式求解即得.
【详解】当时，函数在上单调递减，，
当时，，函数在上单调递增，函数值从1递增到2，
在上单调递减，函数值集合为，当时，由，得，
当时，由，得，
由在既有最大值，又有最小值，得，因此，
所以的最大值为3.
故答案为：3
四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合
（1）若， 求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求集合，进而可求并集；
（2）根据列式求解，注意非空集合的理解.
【小问1详解】
由题意可得：，
若，则，所以.
【小问2详解】
因为，
则，解得
所以实数的取值范围.
18. 已知
（1）若 求的值．
（2）若 求的值．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论和，带入解析式求出就即可.
（2）先换元法另，分类讨论和求出，再分类讨论和求出即可.
【小问1详解】
若时，
，
若时，
（舍）或，
综上所述或；
【小问2详解】
令，则,
当时，由已知条件得，
得，
当时，由得（舍去），
当时，由得（正值舍去），
当时，由，得（舍去），，
若，，（舍）
若，，无实数解，舍去，
综上所述.
19. 关于有不等式
（1）当时， 解不等式．
（2）若不等式仅有一解，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）4.
【解析】
【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即得.
（2）由给定条件，可得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【小问1详解】
当时，不等式，解得，
所以原不等式的解集为.
【小问2详解】
由不等式仅有一解，得，且，
于是，，由两边除b，得，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
20. 已知定义域为R 的函数 是奇函数．
（1）求实数的值．
（2）试判断的单调性，并用定义证明．
（3）解关于的不等式
【答案】（1）
（2）在R上为增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质求出即可.
（2）判断在R上是增函数，利用函数单调性的定义证明即可.
（3）利用奇函数的性质和单调性将不等式进行转化，解指数不等式即可求得.
【小问1详解】
因为函数是定义域为R的奇函数，
所以，
即恒成立，
所以．
【小问2详解】
在R上为增函数，证明如下：
由于，
任取且，
则．
因为，所以，又，
所以，
所以函数在R上为增函数.
【小问3详解】
由（2）得，奇函数在R上为增函数，
，
即，
令，
则，
可得，
即
可得不等式的解集为．
21. 电动出租车司机小李到商场里充电，充电费用由电费和服务费两部分组成，即电费=（电价+服务费）×度数，商场采用按时间分不同时段计算，11：00-13：00时电费是0.50元/度，服务费0.35元/度，13：00-15：00时电费1.15元/度，服务费0.20元/度，假定在充电时候电量是均匀输入的，车主小李充电30度需要60分钟．
（1）小李到商场 12：40开始充电30度，问需要充电费多少．
（2）若小李在某春运期间第天的收入近似的满足第天的充电费近似的满足 记盈利比=，试问哪天的盈利比最大．
【答案】（1）35.5元
（2）当时，盈利比取到最大值
【解析】
【分析】(1)根据题意，分别计算在12:40-13:00时充电10度，在13:00-15:00时充电20度的费用即可.
(2)由题意得，根据分段函数的性质，分析记盈利比的单调性即可求出答案.
【小问1详解】
因为11：00-13：00时电费是0.50元/度，服务费0.35元/度，13：00-15：00时电费1.15元/度，服务费0.20元/度，车主小李充电30度需要60分钟，即2分钟充电1度，
所以小李到商场 12：40开始充电30度，
则在11：00-13：00时段充电10度，
此时费用为元，
在13：00-15：00时段充电20度，
此时费用元，
所以，总充电费用元
小问2详解】
在递减，而在递增，
所以投入比的最大值不可能在上取到；
当时，盈利比，
当时，盈利比取到最大值．
22. 已知函数
（1）若在上单调递增，求m的取值范围．
（2）若，对任意的总存在使得 成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析复合函数的单调性，由同增异减可求出.
（2）若，对任意的总存在使得 成立，只需，再分别求出符合定义域条件的最大值比较即可.
小问1详解】
因为，设，
则，
所以函数在上单调递减，
函数开口向上，对称轴，在单调递减，在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为
【小问2详解】
因为，对任意的总存在使得 成立，
所以只需，
由（1）可知在单调递增，在上单调递减，
当时，，带入解析式可得
，
而开口向上，对称轴，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
，
所以，解得，舍去；
当时，在上单调递增，
所以解得，
因为，取交集，
所以
当时，
若，即时，
所以，解得，与假设不符合，舍去；
若，即时，
所以，解得，不符合，故舍去，
若，即时，
所以，解得与假设不符，故舍去；