广东省阳江市阳春市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）

这是一份广东省阳江市阳春市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的依次为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先整理成一般式，然后根据定义找出即可.
【详解】方程化为一般形式为：，
．
故选：．
【点睛】题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
2. 一元二次方程-8x-1=0配方后可变形为（ ）
A. =17B. =15C. =17D. =15
【答案】C
【解析】
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：∵x2-8x-1=0，
∴x2-8x=1，
∴x2-8x+16=17，
∴（x-4）2=17．
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是关键．
3. 一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 有一个实数根
【答案】A更多优质支援请 嘉 威杏 MXSJ663 【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 中，
∴，
该方程没有实数根，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
4. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按照一元二次方程配方的一般步骤把方程配方即可．
【详解】解：
解：移项，得，
方程两边同加上一次项系数一半的平方，得
，
即，
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
5. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ）
A. 开口向下B. 顶点坐标是
C. 有最小值1D. 对称轴是直线
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：抛物线中，
∴抛物线的开口向上，抛物线的顶点坐标为，有最小值1，对称为直线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
6. 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A. y=﹣2（x+1）2﹣1B. y=﹣2（x+1）2+3
C. y=﹣2（x﹣1）2+1D. y=﹣2（x﹣1）2+3
【答案】D
【解析】
【详解】解：将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后
所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，利用数形结合思想解题是关键．
7. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据、是一元二次方程的两个根得到，再将变形为，然后代入计算即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴
∵，
∴，
选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为、，则，熟记知识点与代数式变形是解题的关键．
8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C 且D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
9. 二次函数y=ax2+bx+c.的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象可以判断a、b、c的正负，从而可以判断一次函数y=-bx+a的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
【详解】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得，
开口向上则有a＞0，对称轴在y轴左侧且a＞0则有b＞0，图象与y轴交于正半轴则有c＞0，
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10. 二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤，其中正确的个数是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向及与轴交点的位置，即可得出、，进而可得出，结论①错误；由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当时，随的增大而增大，结论②错误；由抛物线对称轴为直线，即可得出，进而可得出，结论③正确；由函数图像与x轴有两个交点，可得出，结论④错误；由当时，可得出，结论⑤正确．综上即可得出结论．
【详解】∵抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，
∴，
∴，结论①错误；
∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，结论②错误；
抛物线对称轴为直线1，
∴，
∴，
∴，结论③正确；
∵函数图像与x轴有两个交点，
∴，结论④错误；
∵当时，，
∴，结论⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11. 方程根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】形如的一元二次方程，可直接采用开平方法解得 ，进而得出方程的根.
【详解】解：∵ ，即 ，解得
故答案为： .
【点睛】此题主要考查形如 的一元二次方程的解法，熟练掌握开平方法是解题的关键.
12. 关于一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．
【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为-3；
故答案为-3．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．
13. 将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．
【答案】y＝2（x+3）2+1
【解析】
【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【详解】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．
故答案为y＝2（x+3）2+1
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
14 二次函数y=3（x﹣3）2+2顶点坐标坐标_____．
【答案】（3，2）
【解析】
【分析】因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=3（x-3）2+2的顶点坐标．
【详解】∵二次函数y=3（x-3）2+2是顶点式，
∴顶点坐标为（3，2）．
故答案是：（3，2）．
【点睛】考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，解题关键是运用了顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k）.
15. 已知二次函数，与的部分对应值如下表所示：
下面有四个论断：
①抛物线的顶点为；
②；
③关于的方程的解为；
④．
其中，正确的有___________________．
【答案】①③．
【解析】
【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.
【详解】由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；
①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；
②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；
③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；
④m＝﹣3，结论错误，
其中，正确的有. ①③
故答案为①③
【点睛】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.
三、解答题（共70分）
16. 解方程
（1） （2）
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】（1）先移项，再直接开平方即可；
（2）先移项，再因式分解即可．
【详解】解：（1）
移项得
两边直接开平方得，
（2）
移项得
提取公因式得
即
∴或
解得，
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的几种常用的方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适，简便的方法是解题的关键．
17. 已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；
（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．

【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．
【解析】
【分析】（1）令y=0，可求出x的值，即为与x轴的交点坐标；将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标
（2）根据与x轴的交点坐标，顶点坐标，与y轴的交点即可画出图像，再根据图像信息即可得出x的取值范围.
【详解】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；
因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）函数图象如图：

由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键.
18. 随着生活水平的提高，人们越来越关注健康的生活环境，家庭及办公场所对空气净化器的需求量逐月增多．经调查，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为10万台，五月份的销售量为14.4万台，求销售量的月平均增长率．
【答案】20%
【解析】
【分析】设平均增长率为x，则四月份的销售量为，五月份的销售量为，又知五月份的销售量为14.4万台，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率．
【详解】解：设平均增长率为x，由题意得，
解得：或（不合题意，舍去），
答：销售量的月平均增长率为20%．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
19. 为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：，精确），抽样调查了部分学生，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出扇形统计图中百分数的值为_______，所抽查的学生人数为______．
（2）求出平均睡眠时间为8小时的人数，并补全条形图；
（3）如果该校共有学生1200名，请你估计睡眠不足（少于8小时）的学生数．
【答案】（1）45，60
（2）60人，补全条形图见解析
（3）780人
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图中信息即可得到a的值；根据6小时人数是12，所占比例是即可求得抽样调查的学生人数；
（2）由每天的睡眠时间为8小时的比例30%，利用总人数乘以百分数即可得解，补全统计图即可；
（3）利用1200乘以睡眠不足（少于8小时）的学生数所占百分比即可．
【小问1详解】
解：，
∴；
人，
∴所抽查的学生人数为人．
故答案为：45，60；
【小问2详解】
解：平均睡眠时间为8小时人数为人，
补全统计图如下：
【小问3详解】
解：人．
答：估计睡眠不足（少于8小时）的学生数为780人．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图相关联，利用样本估计总体等知识．掌握扇形统计图中各项的和为，条形统计图可以容易看出各种数量的多少，利用样本估算总体公式是解题关键．
20. 已知抛物线，
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在轴上，求其解析式．
【答案】（1）直线
（2）或
【解析】
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据顶点式求得坐标，根据题意得到关于的方程解方程求得的值，从而求得抛物线的解析式．
【小问1详解】
解：抛物线．
抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
抛物线的顶点在轴上，
，
解得或，
抛物线为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元． 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元． 据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
【答案】（1） 2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
【解析】
【详解】（1） 2x，．
(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2 100
解之得x1＝15，x2＝20．
∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．
∴x＝20．
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2 100元．
22. 如图，抛物线（、、为常数，）经过点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线下方的抛物线上是否存在点使四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）依题意可设交点式，再将代入求解即可；
（2）依题意可求出，从而可说明四边形的面积最大时，面积最大即可．过点P作轴，交于点D．利用待定系数法可求出直线的解析式为，设，则，即可求出，从而可利用三角形面积公式求出，最后根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线（、、为常数，）经过点，，，
所以可设抛物线解析式为．
将代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，即为定值．
∵，
∴四边形的面积最大时，面积最大．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴．
如图，过点P作轴，交于点D．
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，即此时四边形的面积最大，
，
∴此时点P坐标为．
【点睛】本题为二次函数综合题．考查二次函数的交点式，利用待定系数法求函数解析式，一次函数的应用，二次函数的图象和性质等知识．解（1）正确设出交点式是解题关键；解（2）理解四边形的面积最大时，面积最大，并正确作出辅助线，从而求出的二次函数关系式是解题关键．…
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0
1
2
3
4
…
…
6
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m
…