广东省河源市紫金县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份广东省河源市紫金县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

九年级数学
本试卷共6页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名和学校填写在答题卡上．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，根据定义即可做出判断．
【详解】解：A．，未知数最高次数是3，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故选项符合题意；
C．是分式方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 一个菱形的两条对角线的长分别是4和6，这个菱形的面积是（ ）．更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 A. 6B. 10C. 12D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】解：∵菱形的两条对角线的长分别为4和6，
∴这个菱形的面积=×4×6=12．
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形面积公式．
3. 如图，下列条件中，不能使成为菱形的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，运用其判定定理逐一判断是解题的关键．
【详解】解：A、四边形是平行四边形，且，
是菱形，故不符合题意；
B、四边形是平行四边形，且，
是菱形，故不符合题意；
C、四边形平行四边形，且，
是菱形，故不符合题意；
D、四边形是平行四边形，且，
是矩形，不能判定是菱形，故符合题意，
故选D．
4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程式（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解题时首先进行移项，变形成，两边同时加上4，则把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：
∴
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数移项到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5. 如图，在中，，点D是AB的中点，连接CD，若，，则CD的长度是（ ）
A. 1.5B. 2C. 2.5D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】先利用勾股定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．
【详解】解：在中，，，，
，
点是的中点，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
6. 在不透明布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球，其中白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数约为（ ）
A. 15个B. 20个C. 25个D. 30个
【答案】B
【解析】
【分析】根据频率估计概率问题可直接进行求解．
【详解】∵通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，
∴摸到红色球的概率为0.25，
∵布袋中装有除颜色外其它完全相同的红、白玻璃球两种，
∴摸到白色球的概率为，
∵有白色球60个，
∴球的总个数为：，
∴红球个数约为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．
7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
8. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生宣讲团赴社区宣讲．现从2名男生1名女生中任选2人，则恰好选中1名男生1名女生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中1名男生1名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：两名男生用A、B表示，女生用C表示，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中恰好选中1名男生1名女生的结果数有4种，
∴恰好选中1名男生1名女生的概率为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
9. 某校在操场东边开发出一块长、宽分别为、的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为．设小道的宽为，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由小道的宽为米，可得出种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形，再根据种植面积为96平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：小道的宽为米，
种植菜园的部分可合成长为米，宽为米的长方形．
依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，，相交于点O，E，F分别为边上的动点（点E，F不与线段的端点重合）且，连接．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：①始终是等腰直角三角形；②面积的最小值是2；③至少存在一个，使得的周长是；④四边形的面积始终是4．其中结论正确的有（ ）
A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的性质，勾股定理可求，证明，则，，由，可判断始终是等腰直角三角形，可判断①的正误；由勾股定理得，，根据，可知当最小，即时，最小，证明，是等腰直角三角形，则，，可求最小值，进而可判断②的正误；根据，可得，则的周长为，存在，进而可判断③的正误；
由题意知，，进而可判断④的正误，然后作答即可．
【详解】解：∵正方形，为对角线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，即，解得，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴始终是等腰直角三角形，①正确，故符合要求；
∴，
∵，
∴当最小，即时，最小，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴最小为，②正确，故符合要求；
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴存在，
∴至少存在一个，使得的周长是，③正确，故符合要求；
由题意知，，
∴四边形的面积始终是4，④正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，无理数的估算等知识．解题的关键在于根据正方形的性质确定线段长度，角度；由勾股定理确定线段之间的数量关系；由等腰三角形的判定与性质，确定线段之间的等量关系；全等三角形的判定与性质，确定线段、面积的数量关系；根据无理数的估算确定线段长度的取值范围．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 一元二次方程的根是______．
【答案】，
【解析】
【分析】化这一般形式，运用因式分解法求解；
【详解】解：，
∴，．
故答案为：，
【点睛】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解是解题的关键．
12. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是______．（写出一个即可）
【答案】或
【解析】
【分析】由DE是中位线得出，又DG=EF表示的是对角线相等，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；增加条件使四边形DFGE是平行四边形即可．
【详解】解：分别是的中点，
，
当时，四边形DFGE是平行四边形，
，
四边形DFGE是矩形；
当时，四边形DFGE平行四边形，
，
四边形DFGE是矩形；
故答案为：或．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；准确分析出平行四边形的判定是解题关键．
13. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，记录杯口朝上的次数，获得如下数据：
估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率是________.
【答案】0.22
【解析】
【详解】解：∵21÷100=0.21；
32÷150≈0.21；
44÷200=0.22；
66÷300=0.22，
∴估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率是0.22，
故答案为0.22．
14. 如图，菱形对角线相交于点O，，则菱形的边长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直及勾股定理即可求解．
【详解】解：依题意可知，，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知菱形的对角线垂直．
15. 已知实数，是方程的两根，则的值为______．
【答案】-1
【解析】
【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值.
【详解】∵，是方程的两根，
∴a+b=1，ab=-1，
∴
=
=
=-1，
故答案为：-1.
【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则.
16. 如图，已知正方形、正方形的边长分别为4，1，将正方形绕点A旋转，连接，点M是的中点，连接，则线段的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，取的中点O，连接，则易得．由于O点时定点，的长为定值，由此可得M点的运动轨迹是以O点为圆心，以为半径的圆．当过圆心时，的值最大，求出的长，再加上的长，即可得的最大值．
【详解】
如图，连接，取的中点O，连接
∵正方形的边长分别为1，
．
∵O是的中点，M是的中点，
，
∴M点的运动轨迹是以O点为圆心，以为半径的圆．
连接并延长交于H点，
当M点运动到H点时，的值最大．
∵正方形的边长分别为4，
，
，
，
，
即CM的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、动点轨迹问题，以及圆外一点到圆上各点的最值问题．见中点，想中位线．找到M点的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题：本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：利用公式法解方程即可.
试题解析：
．
．
=12．
．
．
．
∴方程的解为．
18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边，上，，连接，．
求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】如图，连接，证明，即可得．
【详解】证明：如图，连接．

∵四边形是菱形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
19. 在一个不透明的袋子中装有4个小球，球上分别标有，0，1，2四个数字，这些小球除数字外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，球上标有负数的概率是____________．
（2）小明先从袋子中任意摸出一个球（不放回），小华再从袋子里摸出另一个球，如果两球数字之差的绝对值小于或等于1，那么就称他俩“心有灵犀”，请用列表法（或画树状图）求两人“心有灵犀”的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得．
（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式计算即可得．
【详解】解：（1）如果从袋中任意摸出一个小球，那么小球上的数字标有负数的概率是：
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中满足两球数字之差的绝对值小于或等于1，有6种结果，
所以两人“心有灵犀”的概率为
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式列出关于m的不等式，解不等式即可；
（2）根据m为正整数，且，得出，然后再代入得出方程为，解方程即可．
【小问1详解】
解：由题意得：
，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵m为正整数，且，
∴，
此时，方程为，
解得 ，．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
21. 如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）证明，得出，，证明，说明四边形为平行四边形，根据，得出四边形为矩形．
（2）设，则，根据勾股定理得：，即，得出，即．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
【小问2详解】
解：∵四边形为菱形，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定，证明．
22. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范围内，每件衬衫的价格每降低1元，商场每天可多售出2件．如果商场通过销售这批衬衫每天要赢利1200元，每件衬衫的价格应降低多少元？
【答案】每件衬衫应降价20元
【解析】
【分析】设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．
【详解】解：设每件衬衫应降价元，
根据题意得，
整理得
解得：，．
因为要扩大销售，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23. 小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下表：
（1）计算出现“3点朝上”频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据试验得出，出现‘5点朝上’的机会最大．”小红说：“如果投掷600次，那么出现‘6点朝上’的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
【答案】（1），
（2）两人的说法都是错误的，见解析
【解析】
【分析】（1）根据频率的计算公式“事件A的频率等于事件A出现的次数除以所有统计的次数”结合题目信息即可；
（2）由频率和随机事件发生的可能性大小由随机事件自身的属性即概率决定，即可判断．
【小问1详解】
解：出现“3点朝上”的频率是．
出现“5点朝上”的频率是．
【小问2详解】
解：两人的说法都是错误的．因为一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并客观存在．随机事件发生的可能性大小由随机事件自身的属性即概率决定．因此，判断事件发生的可能性大小不能由此次试验中的频率决定．
24. 如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：BQ=__________cm，PB=_________cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2t，（5-t）；（2）0秒或2秒；（3）存在，1秒
【解析】
【分析】（1）根据P、Q两点运动速度可得BQ、PB的长度；
（2）根据勾股定理可得PB2+BQ2=QP2，代入相应数据解方程即可；
（3）根据题意可得△PBQ的面积为长方形ABCD的面积减去五边形APQCD的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．
【详解】解：（1）∵P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，
∴AP=tcm，
∵AB=5cm，
∴PB=（5-t）cm，
∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动，
∴BQ=2tcm；
（2）由题意得：（5-t）2+（2t）2=52，
解得：t1=0，t2=2；
当t=0秒或2秒时，PQ的长度等于5cm；
（3）存在t=1秒，能够使得五边形APQCD的面积等于26cm2．理由如下：
长方形ABCD的面积是：5×6=30（cm2），
使得五边形APQCD的面积等于26cm2，则△PBQ的面积为30-26=4（cm2），
（5-t）×2t×=4，
解得：t1=4（不合题意舍去），t2=1．
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于26cm2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出BQ、PB的长度．
25. 如图1，在正方形中，点E为边上一点，连接，点M在边上运动．

（1）如图2，当点M和点C重合时，过点C作的垂线，垂足为点P，交直线于点N．请直接写出与的数量关系：________．
（2）如图3，过点M作的垂线，垂足为点P，交直线于点N，试证明（1）中的结论仍成立．
（3）如图4，N为直线上一点，若，请问是否始终能证明？请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）能，见解析
【解析】
【分析】（1）证明即可得到结论；
（2）过点A作于点G．推出四边形是平行四边形，得到．证明，得到，由此推出．
（3）以点M为圆心，以线段的长为半径作弧，与直线交于点N，，连接，，交于点O，交于点G，过点A作交于点J．得到四边形是平行四边形．得到，．证明 ．推出．进而推出．即可得到．
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
如图1，过点A作于点G．

∵，
∴．
又∵四边形是正方形，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵四边形是正方形，
∴，．
∴，．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
【小问3详解】
如图2，以点M为圆心，以线段的长为半径作弧，与直线交于点N，，连接，，交于点O，交于点G，过点A作交于点J．

∵，，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线解题及掌握各图形的性质和判定定理是解题的关键．A
B
C
A
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
抛掷总次数
100
150
200
300
杯口朝上的频数
21
32
44
66
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10