河南省郑州市惠济区郑州四中实验学校2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份河南省郑州市惠济区郑州四中实验学校2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 已知=，则下列结论一定正确的是（ ）
A. x=2，y=3B. 2x=3yC. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例关系直接进行求解即可．
【详解】A、由=可得的值不一定是2和3，故错误；
B、由=可得，故错误；
C、由=可得，故错误；
D、由=可得，则有，故正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2. 在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 8
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【分析】先根据图得到黄球出现频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．
【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近，
∴
解得 n=3
故选：B．
【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．
3. 已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】根据比例的概念，要组成一个比例式，最大的数与最小数的积等于另外两个数的积，据此解答即可．
【详解】解：添加6时，，故选项A不符合题意；
添加8时，，故选项B不符合题意；
添加10时，，故选项C不符合题意；
添加12时，，故选项D不符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
4. 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k(0＜k＜1)倍．已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的一个方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】设变化前的量为a，变化后的量为b，变化率为x，
则经过两次变化后的数量关系为：a（1±x）2=b，
∴，
故选A．
5. 如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为（ ）

A. 9B. 12C. 15D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】求出折叠后小矩形的一条边长，然后根据相似图形的性质列式计算即可．
【详解】解：∵大矩形的一条边长为，
∴折叠后小矩形的一条边长为，
∵小矩形和原矩形相似，
∴，
解得（负值已舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟知相似图形的对应边成比例是解题的关键．
6. 若，则的值为（ ）
A. B. 1C. 1.5D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．
【详解】解： 由，
，
，
故选：A．
【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．
7. 如图，分别旋转两个标准的转盘（若指针指向分割线，则重新转），两个转盘均被平分成三等份，则转得的两个数之积为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用列表法解题，先分析第一个转盘等可能出现的结果1，2，5，再分析在1出现的情况下，转盘二出现的等可能结果4，3，6，依次类推，分析出现2的情况下，转盘二出现4，3，6的等可能结果，再分析出现5的情况下，转盘二出现4，3，6的等可能结果，最后将符合题意的几种情况相加即可.
【详解】用表列举出所有可能出现的结果，如下：
共有9种等可能的结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种，所求概率为，
故选C．
8. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题．
【详解】解：正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9. 如图①中，点D为AB的中点，动点P从A点出发沿运动到点B，设点P的运动路程为，的面积为，与的函数图像如图②所示，则AB的长为（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】由函数图像可知:当时，，面积最大时
，可以求出，最后由勾股定理求出AB的值.
【详解】当时，，
面积最大时，
∴，
∴，
解得或，
∴，
故选A.
【点睛】本题考查函数图像与几何动点问题，需要分析清楚函数图像各个拐点的意义是解题关键.
10. 如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（ ）
A. 或B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，根据题意易得△AOB为等边三角形，在旋转过程中，点A有两次落在x轴上，当点A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，易证此时C′′与点A重合，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，
则，OA=，
∴∠AOE=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△AOB是等边三角形，
当A落在x轴正半轴时，点C落在点C′位置，
此时旋转角为60°，
∵∠BOC=60°，∠COF=30°，
∴∠C′OF=60°-30°=30°，
∵OC′=OA=4，
∴OF=，
C′F=，
∴C′（），
当A落在x轴负半轴时，点C落在点C′′位置，
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，
∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′，
∴此时C′′点A重合，C C′′，
综上，点C的对应点的坐标为或，
故答案为：D．
【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点A的运动情况，分情况讨论．
二、填空题
11. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是______．

【答案】6
【解析】
【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点D，交C的邻近平行线于点E，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点D，交C的邻近平行线于点E，根据题意，，

所以．
解得．
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
12. 设m，n分别是一元二次方程的两个实数根，则___．
【答案】2023
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义有，由根与系数的关系得，据此可求解．
【详解】解：由题意得：，
；
故答案为：2023
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义、根与系数的关系．掌握相关结论是解题关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边与轴平行且，，点坐标为，沿某一方向平移后，点的对应点的坐标为，则点的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】先求出点D的坐标，再找到点B的平移规律，利用点D与点B的平移规律相同即可得到点的坐标．
【详解】解：∵长方形中，，，点坐标为，
∴点D的坐标是，即，
∵点B坐标为，沿某一方向平移后点的坐标为，
∴点B是向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点，
∵点的平移规律和点B的平移规律相同，
∴点的坐标是，即点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移，掌握图形的平移规律是解题的关键．
14. 如图，已知是的中点，是的中点．的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作的平行线交于点，构造“”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
【详解】解：如图，过点作的平行线交于点．
∵．
∴，
∴．
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴．
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
15. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，点P是对角线AC上的一个动点（不与A，C两点重合），过点P作EF⊥AC分别交AD，AB于点E，F．将AEF沿EF折叠，点A落在点△A'BC处，当是等腰三角形时，AP的长为_____．
【答案】2﹣2或
【解析】
【分析】分两种情形①CA＝CB，②AC＝AB，分别求解即可解决问题．
【详解】在菱形ABCD中，∵∠BAD＝60°，AB＝4，
∴AC＝4，
①当CA'＝BC＝4时，AA'＝AC﹣CA'＝4﹣4，
∵将△AEF沿EF折叠，点A落在点A'处，
∴AP＝AA'＝2﹣2．
②当A'C＝A'B时，
∵∠BAC＝∠ACB＝30°，
∴∠A'CB＝∠A'BC＝30°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABA'＝90°，
∴AA'＝，
∴AP＝AA'＝．
故答案为：2﹣2或．
【点睛】本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．
三、解答题（共7小题）
16. 解下列一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可得到答案；
（2）将原方程化为一般式根据求根公式求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：因式分解可得，
，
即或，
解得：，；
【小问2详解】
解：原方程变形得，
，
即，，，
∴
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法及选择适当的方法．
17. 已知关于x的一元二次方程k2x2＋2（k﹣1）x＋1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的一个实数根是2，求k的值．
【答案】（1）且；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式大于0，列出不等式求解即可；
（2）将代入方程得到关于的一元二次方程，解方程求解，并根据（1）中的范围取值即可．
【详解】（1）关于x的一元二次方程k2x2＋2（k﹣1）x＋1＝0有两个不相等的实数根
即，
解得，
又，
即，
且
（2）方程的一个实数根是2，
解得（舍）
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
18. 2022年虎年新春，中国女足逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军；2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，展现了中国体育的风采！为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
【答案】（1）100，图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据篮球的人数和占所占的百分比求出总人数，用总人数减去其它项目的人数，即可求出足球的人数，从而补全统计图；
（2）用“羽毛球”的人数除以总人数再乘以即可求出扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数的值；
（3）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和同时选中甲和乙的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意得本次被调查学生人数（人），
喜爱足球的人数为：（人），
条形图如图所示，

故答案为：100；
【小问2详解】
解：“羽毛球”人数所占比例为：，
所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数，
故答案为：；
【小问3详解】
解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：

∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（A、B两人进行比赛）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19. 已知=k，求k2-3k-4的值．
【答案】-或6．
【解析】
【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可计算出k的值．
【详解】∵=k，
∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，=k，
k==；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，
∴k==-2；
当k=时，；
当时，．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
20. 如图，矩形中，，点M，N分别为上一点，且，连接．
（1）当时，求证：四边形是菱形；
（2）填空：①当 时，四边形是矩形；②当 时，以为对角线的正方形的面积为．
【答案】（1）见解析 （2）①4；②或
【解析】
【分析】（1）求出四边形的各个边长即可；
（2）设，①四边形是矩形时，列方程计算即可；
②以为对角线的正方形的面积为解方程即可．
【小问1详解】
∵矩形中，
∴,
∵，
∴，，，
∴
∴四边形是菱形
【小问2详解】
设，则
①∵四边形是矩形
∴，
∴，解得
即当时，四边形是矩形；
故答案为：4；
②当或时，以为对角线的正方形的面积为
证明：当时，
过N作于，则四边形是矩形
∴，
∴，
∴，
∵以为对角线的正方形的面积为，
∴
∴，
解得或，
即当或时，以为对角线的正方形的面积为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，解一元二次方程，理解矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
21. 年注定是不平凡的三年，2018年非洲猪瘟疫情爆发，2019年中国猪肉价格持续高涨，2020年新冠病毒爆发，目前各行各业都存在潜在的变化，例如2019年猪肉价格持续高涨，引起了政府、市场监督等部门的高度重视，据统计，2019年1月精品瘦肉的售价为32元/千克，由于猪瘟疫情，生猪减少，市场对猪肉的需求量持续增加，所以猪肉价格持续上涨，已知2020年1月猪肉的售价比2019年1月上涨了，市民王大爷2020年1月18号在双福镇永辉超市购买千克的精品瘦肉花了324元．
（1）求a的值；
（2）双福镇永辉超市将进价为52元/千克精品瘦肉，按2020年1月18号的价格出售，平均每天能售出150千克，因为政府部门的高度重视，猪肉价格有所下降，经市场调查发现，精品瘦肉的售价每千克下降1元，其日销量就增加10千克，双福镇永辉超市为实现销售精品瘦肉每天有3040元的利润，并尽可能让消费者得到实惠，精品瘦肉的售价应为多少元？
【答案】（1）a的值为25；
（2）精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得2020年1月18号猪肉的价格为元/千克，再根据购买千克的精品瘦肉花了324元列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出2020年1月18号猪肉的价格，再根据总利润每千克猪肉的利润猪肉重量列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
解得，
∴a的值为25；
【小问2详解】
解：设精品瘦肉的售价应为x元，
2020年1月18号的价格为元/千克，
根据题意得：，
整理得：
解得或，
∵尽可能让消费者得到实惠，
∴x取68，
答：精品瘦肉的售价应为每千克68元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
22. 在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化．
（1）问题发现如图，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是______；与的位置关系是______；
（2）拓展探究
如图，当点在菱形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图，若，，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）成立，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据证，即可得出，，延长交于，得出即可；
（2）连接，同理（1）证，然后根据等边三角形三线合一得出即可；
（3）根据（2）的结论知，，，则四边形的面积等于对角线乘积的一半，代入数值计算即可．
【小问1详解】
解：如图，连接，延长交于，
菱形中，，
，，
、是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，即，
在与中，，
，
，，
平分，
，
，
，
．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：成立，，，证明如下：
如图，连接，
菱形中，，
，，
、是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，，
，即，
在与中，，
，
，，
平分，
，
平分，
．
【小问3详解】
解：由（2）知，，，
，，
，
四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键．