甘肃省天水市秦安县桥南初级中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份甘肃省天水市秦安县桥南初级中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，四条直线，分别于，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：，故A正确，C错误；
，故B、D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
3. 下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义一一判定即可．
【详解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程．
综上所述，一元二次方程共有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4. 下列判断正确的是
A. 带根号的式子一定是二次根式
B. 一定是二次根式
C. 一定是二次根式
D. 二次根式的值必定是无理数
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误；
B、，a≥0时，一定是二次根式，故此选项错误；
C、一定是二次根式，故此选项正确；
D、二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键．
5. 下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、，能成比例，故此选项不符合题意；
B、，能成比例，故此选项不符合题意；
C、，不能成比例，故此选项不符合题意；
D、，能成比例，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
6. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
详解】解：x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，根据题意得，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
8. 地理生物中考在即，有一个团队有人，每两人都互相送对方寄语卡片一张，为彼此加油打气，全团共赠送了56张，根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等量关系式：每个人所送出去的寄语卡人数张，列出方程，即可求解．
【详解】解：由题意得，
每个人所送出去的寄语卡数为（）张，则有
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图像可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到，则，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
当，时，一次函数经过第一、三、四象限；
当，时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次函数根的判别式，一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握，则方程有两根不相等的实数根；，则方程有两根相等的实数根；，则方程有没有实数根．
10. 如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2，则它移动的距离AA′等于（ ）
A. cmB. cmC. cm或cmD. cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】解：设AC交A′B′于H，A'C'交CD于点G，
由平移的性质知AC∥A'C'，A'B'∥CD，
∴四边形A'HCG是平行四边形，
∵∠A＝45°，∠D＝90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形，
同理，△HCB′也是等腰直角三角形，
设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，
∴x•（2﹣x）＝，
∴x＝（cm）．
即AA′＝（cm）．
故选：D．
【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形A'HCG是平行四边形是解题的关键.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
12. 若是方程根，则____________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0，
解得a=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
13. 方程，其中二次项系数为_____，一次项系数为_____．
【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】直接利用多项式乘法将方程转换为一般式即可得出答案．
【详解】方程 化为一般形式是：，
∴二次项系数为，一次项系数为，
故答案为：，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，正确利用多项式乘法计算是解题关键．
14. 已知，那么的值是 __________ ．
【答案】##
【解析】
【分析】由已知可知，代入计算即可求值．
详解】解：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，分式化简求值，根据题意正确得出、的关系是解题关键．
15. 若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义可知，二次项系数为2，则可以得到m2−7＝2；再根据一元二次方程中二次项系数不等于零，即可确定m的值．
【详解】解：∵该方程为一元二次方程，
∴m2−7＝2，
解得m＝±3；
当m＝3时，m-3＝0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；
∴m＝-3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），解题的关键是特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
16. 经文化和旅游部数据中心测算，2023年春节期间全国国内旅游出游3.08亿人次，国内多个热门景区再现游客“爆满”的景象．据统计，某景区的游客人数在春节假期第一天为4万人，第三天为5.76万人．设平均每天的增长率为x，则可列方程为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】设平均每天的增长率为x，根据第一天为4万人，第三天为5.76万人，每月的增长率相同，可列出方程．
【详解】解：设平均每天的增长率为x，则可列方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键根据第一至第三天的增长率相同，表示出第三天的游客人数可列出方程．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤．
17. （）；
（）；
（）．
【答案】（）；（）；（）．
【解析】
【分析】（）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（）利用完全平方公式及平方差公式计算，再合并同类项．
【详解】（）原式，
；
（）原式，
；
（）原式，
，
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解．
【详解】解：原式=
将代入原式得．
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则．
19. 解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），．
【解析】
【分析】()利用直接开平方法求解即可；
()利用因式分解法求解即可；
()利用配方法求解即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴或，
解得，；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴或
解得，；
【小问3详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20. 若都是实数，且，求 x＋3y的立方根．
【答案】3
【解析】
【分析】首先根据二次根式的非负性可以求出x的值，再将其代入已知等式即可求出y的值，从而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解．
【详解】由题意可知，
解得：x=3，
则y=8，x+3y=27，
故x+3y的立方根是3．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根及平方根的知识，属于基础题，掌握各个知识点是关键. 二次根式有意义的条件：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
21. 改善小区环境，争创文明家园．如图，某社区决定在一块长，宽的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．要使每一块草坪部分的面积都为，则小路的宽应为多少？

【答案】小路的宽应为
【解析】
【分析】设小路的宽为x米，那么草坪的总长度和总宽度分别为米，米，再根据草坪的面积得出方程，解方程即可．
【详解】解：设小路的宽为x米，
根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：小路的宽应为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，表示出“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
22. 已知关于x的一元二次方程．
（1）当时，求此方程的根；
（2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）且
【解析】
【分析】（1）把k=1代入原方程，然后解此方程即可；
（2）根据方程有两个不相等的实数根可知此方程是一元二次方程，即k≠0，根的判别式大于0，即可求出k的取值范围.
【详解】（1）当时，此方程，
，
，；
（2）由题意得，
，
，
且.
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根.
也考查了一元二次方程的解法.
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 已知关于的一元二次方程．
（1）若，求和的值；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求的值．
【答案】（1）;
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根和系数的关系即可求解；
（2）根据根与系数的关系知，，由进行变形直接代入得到，求解可得．
【小问1详解】
把代入一元二次方程中得，
，
∴，
∴，；
【小问2详解】
由题意知，， ，
∵，
∴，
整理得，
解得或．
【点睛】此题考查了一元二次方程根和系数的关系，灵活运用一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
24. 根据所给数轴解决以下问题：
（1）计算：___________．
（2）化简：
【答案】24. ；
25. ．
【解析】
【分析】（）由数轴确定的符号，再根据二次根式的化简公式可得到答案；
（）由数轴可确定、、的大小，，，，再根据二次根式的化简公式，去绝对值符合法则，立方根的定义计算即可．
【小问1详解】
由数轴可知，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
由数轴可得：，，
∴，，
∴原式，
，
．
【点睛】此题考查了数轴、二次根式的化简与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
25. 4月10—13日习近平总书记在广东考察时强调：推进中国式现代化，必须全面推进乡村振兴，解决好城乡区域发展不平衡问题，产业振兴是乡村报兴的重中之重，要落实产业帮扶致策，做好“土特产”文章，网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售“土特产”的方式，受到社会各界的追捧，某直播间销售某种“土特产”，每袋获利40元，每天可卖出20袋，通过市场调查发现：每袋“土特产”的售价每降低1元，每天的销售量就增加2袋．
（1）若每袋“土特产”的售价降低6元，求每天的销售量．
（2）为尽快减少库存，商家决定降价销售，若要使得每天获利1200元，则每袋“土特产”的售价降低了多少元？
【答案】（1）每天的销售为32袋
（2）每袋“土特产”的售价降低了20元
【解析】
【分析】（1）利用每天的销售量每袋“土特产”的售价降低的钱数，即可求出结论；
（2）设每袋“土特产”的售价降低了元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽快减少库存，即可得出结论．
【小问1详解】
解：根据题意得：（袋），
若每袋“土特产”的售价降低6元，每天的销售量为32袋；
【小问2详解】
解：设每袋“土特产”的售价降低了元，则每袋“土特产”的销售利润为元，每天可售出袋，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要尽快减少库存，
，
答：每袋“土特产”的售价降低了20元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数的四则混合运算的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26. 用黑、白两种颜色的小正方形拼成如图所示的图案．

（1）图4中有黑色正方形_______个，图n中有黑色正方形________个；
（2）是否存在图n，使得白色正方形比黑色正方形多2023个，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）17，
（2）存在，23
【解析】
【分析】（1）根据图形算出前几个图形中含有黑色正方形的个数，找到规律可求解；
（2）由（1）的规律求出第n个图形中黑色和白色正方形的个数，然后根据白色正方形比黑色正方形多2023个，列方程求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：图1中有黑色正方形个；
图2中有黑色正方形个；
图3中有黑色正方形个；
图4中有黑色正方形个；
……
图n中有黑色正方形个；
故答案为：17；
【小问2详解】
解：存在，
根据题意得：图1中有白色正方形个；
图2中有白色正方形个；
图3中有白色正方形个；
……
图n中有白色正方形个；
∴由题得：
解得：或（舍去），
即存在图，使得白色正方形比黑色正方形多2023个．
【点睛】本题考查了图形的变化类及一元二次方程的应用，找到变化规律是解题的关键．
27. 阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，
解这个方程得：，．
当时，，∴；当时，，∴
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）利用换元法解方程得到方程的解为______．
（2）若，求的值．
（3）利用换元法解方程：．
【答案】（1），
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，；
（2）设，代入得到． 解得，，根据，得到；
（3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得．
【小问1详解】
设，则，
于是原方程可变为，
解这个方程得：，，
当时，，
移项得：，
∵，
∴此方程无解，
当时，，
解得，；
故答案为：，；
【小问2详解】
设，则该方程变为．
解得：，．
∵
∴，即
【小问3详解】
设，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即
解得，．
经检验，是分式方程的根．
∴
即
解得：，．
经检验，是分式方程的根．
∴原分式方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根．