甘肃省天水市秦安县2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份甘肃省天水市秦安县2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

八年级数学（150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．的立方根是( )
A．2B．C．-8D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．在下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列命题中，正确的是( )
A．如果，那么B．一个角的补角一定大于这个角
C．一个角的余角一定小于这个角D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
5．如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．13B．17C．13或17D．13或10
8．在中，，，点在边上移动，则的最小值为( )
A．B．8C．D．10
9．如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（ ）
A．12B．15C．18D．21
10．如图，在中，，分别为，边上的高，，相交于点，，连接，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有( )
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．使代数式有意义的x的取值范围是 ．
12．已知，则 ．
13．“永不言弃”的英语翻译是，短语中“e”出现的频数为 ，频率为 ．
14．已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为 ．
15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点处，则AE的长为 ．

16．如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米秒时，能够使与全等．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算与化简：
(1)
(2)
18．因式分解：
(1)；
(2)．
19．已知实数的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，，垂足分别为．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
22．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
图1
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程：
已知：．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图：
①在的两边上分别任取一点A、B；
②以点A为圆心，为半径画弧；以点B为圆心，为半径画弧；两弧交于点；
③连结、．
所以即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下列证明．
证明：连结，
∵DA=AC，DB=_____，AB=_______，
∴△DAB≌△CAB （ ）（填推理依据）．
∴∠C=∠D．
24．如图，两个正方形边长分别为a、b，则：
(1)用含的式子表示阴影部分的面积；
(2)若，求阴影部分的面积．
25．沿河县某中学为了认真学习并贯彻落实教育部《中小学生课外读物进校园管理办法》，切实做好学生课外读物的管理工作，确保学生课外读物质量，团委开展“爱读书、读好书”读书活动，在这次活动中全校师生踊跃阅读各类书籍共3000本，为了解各类书籍的阅读分布情况，从中随机抽取部分书籍分四类进行统计：A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他．并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
(1)这次统计共抽取了__________本书籍，扇形统计图中的__________，的度数是__________．
(2)请将条形统计图补充完整．
(3)估计全校师生共读多少本文学类书籍？
26．如图，公路AB和公路CD在点P处交会，且∠APC=45°，点Q处有一所小学，PQ=，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
27．如图1，已知是边长为5的等边三角形，以为底边作一个顶角为的等腰三角形．点M，N分别是边与边上的点，并且满足．

(1)尝试探究：要想证明为的平分线，小诚做了如下思考，如图2，延长至点F，使，连接，通过证明______，得到，进而证得______，得证为的平分线；
(2)类比延伸：在（1）的思路下求的周长；
(3)拓展迁移：当点D在内部时，其他条件不变，直接写出的周长．
答案与解析
1．A
【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先计算，再求立方根，即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
2．B
【分析】根据幂的运算公式进行计算和判断.
【详解】,故A错误;
,故B正确;
,故C错误;
,故D错误；
所以答案选B.
【点睛】本题主要考查了幂的运算性质运算公式，对公式的准确理解是解题的关键.
3．C
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．
【详解】解：A.，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B.，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C.，是无理数，故此选项符合题意；
D.是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数．
4．D
【分析】本题主要考查了命题的真假，分别判断每个选项是否正确即可．
【详解】因为如果，那么，所以A不正确；
因为的补角是，而，所以B不正确；
因为的余角是，而，所以C不正确；
因为有一个角是的等腰三角形是等边三角形，所以D是正确的．
故选：D．
5．A
【分析】根据，可得，再根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
A．若添加，则满足边边角，无法判定，故本选项符合题意；
B．若添加，可利用角边角判定，故本选项不符合题意；
C．若添加，可利用角角边判定，故本选项不符合题意；
D．若添加，可利用边角边判定，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
6．C
【分析】根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键
【详解】解：∵，，，
∴大小在3与4之间的是，
故选：C．
7．B
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3<7不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，7+7>3能构成三角形，则其周长=3+7+7=17．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理；先根据“点到直线的连线中，垂线段最短”得到时有最小值，再根据勾股定理求解出的长，最后代入计算即可．
【详解】解：如图，，
当时，的值最小，
，
，
，
，
即的最小值为10，
故选：D．
9．B
【分析】把长方体沿边剪开，再根据勾股定理计算即可．
【详解】如图所示，连接，则即为所求的最短长度，
，
在中，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把长方体沿边剪开得到矩形是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，得到是解决问题的关键．延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①正确；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断④错误；由，，得出，得出，可判断②正确；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断③正确；进而可以解决问题．
【详解】解：如图，延长交于，
，分别为，边上的高，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故④错误；
，，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
垂直平分，
，，
的周长
，故③正确．
正确的有①②③．
故选：A．
11．
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案．
【详解】解：代数式有意义，


故答案为：
12．
【分析】本题考查了同底数幂的除法运算的逆用．，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：
13． 3
【分析】根据频数的定义以及频率的计算公式：频率=频数÷总数，即可求解．
【详解】在“永不言弃”的英语翻译是短语中，
一共有11个字母，字母“e”出现了3次，
∴字母“e”出现的频数是3，频率是，
故答案为：3， ．
【点睛】本题考查对频数和频率的灵活运用，解题的关键是熟练掌握频数的定义以及频率的计算公式：频率=频数÷总数．
14．等腰直角三角形
【详解】∵，
∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．
由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，
∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．
又由a－b=0得a=b，
∴△ABC为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
15．
【详解】∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13－5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12－x，
在Rt△A′EB中：，
解得：．
故答案为：
16．2或3
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解一元一次方程等知识，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度，利用分类讨论思想，由分类情况列方程解决问题是本题的关键．
【详解】解：设点运动的时间为秒，则，，
，
当，时，与全等，此时，，解得，
，
此时，点的运动速度为（厘米秒），
当，时，与全等，此时，，解得，
点的运动速度为（厘米秒），
故答案为：2或3．
17．(1)；
(2)．
【分析】（）根据算术平方根、立方根的定义，二次根式的性质，乘方运算分别化简，再进行加减运算即可得结果；
（）根据整式的乘除法运算法则、积的乘方运算法则进行计算即可得到结果；
本题考查了实数混合运算，整式的乘除运算，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解此题的关键．
（1）直接提取公因式，即可得出答案；
（2）将式子变形为，再利用平方差公式和提取公因式法进行分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
19．6
【分析】根据已知条件列出关于的方程组，然后解方程组，求出的值，最后代入计算，最后再求算术平方根．
【详解】解：由题可知
解方程组得
将代入得
则
∴的算术平方根为
【点睛】本题考查了二元一次方程组、平方根、立方根、算术平方根、掌握相关知识并正确计算是解题关键．
20．，．
【分析】先计算乘法，再合并同类项，然后把代入，即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，与平方差公式，熟练掌握完全平方公式，与平方差公式是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
（1）根据“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”，即可证明；
（2）利用全等三角形的对应边相等，面积相等，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，，
∴，
∴，
∴．
即四边形的面积是12．
22．(1)见解析
(2)；
【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
23．(1)见解析
(2)，AB，
【分析】（1）利用直尺和圆规，补全图形即可；
（2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明．
【详解】（1）解：使用直尺和圆规，补全图形（下图）（保留作图痕迹）。
（2）证明：连结，
∵DA=AC，DB=BC，AB=AB，
∴△DAB≌△CAB （SSS）．
∴∠C=∠D．
故答案为：，AB， ．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
24．(1)
(2)23
【分析】此题考查了数形结合法解决问题的能力，关键是能根据图形列出正确算式并计算．
（1）用大正方形面积减去空白的两个三角形面积即可；
（2）利用代入求解即可．
【详解】（1）解：阴影面积＝大正方形﹣大三角形面积﹣小三角形面积
（2）
25．(1)200，40，36°；
(2)见解析
(3)估计全校师生共读900本文学类书籍．
【分析】（1）根据A类的数量和所占百分比可求总数量；根据C类的数量和总数量可求所占百分比，得到m的值；用360°乘以D类所占比例可得的度数；
（2）用总数量减去A、C、D的数量，求出B类的数量，即可补全条形统计图；
（3）用3000乘以样本中B类所占的比例即可得出答案．
【详解】（1）解：40÷20%＝200（本），即这次统计共抽取了200本书籍；
，故扇形统计图中的40；
，即的度数是36°；
故答案为：200，40，36°；
（2）B类的数量为：200－40－80－20＝60（本），
补全条形统计图如图：
（3）（本），
答：估计全校师生共读900本文学类书籍．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
26．10s
【分析】试题分析：过Q作QH⊥PA于H，易证△PHQ为等腰直角三角形．由勾股定理可得，PH=HQ=120m＜130m．故学校会受到噪声的影响．设拖拉机行至E处开始影响学校，在F处结束影响，则QE=QF=130m，由勾股定理可得EH=FH=50m，EF=100m，可得学校受影响的时间为10s．
【详解】解：过Q作QH⊥PA于H，
∵∠APC=45°，
∴∠HQP=45°．
∴△PHQ为等腰直角三角形．
∵PQ=120m
∵PH2+HQ2=PQ2，
∴PH=HQ=120m＜130m．故学校会受到噪声的影响．
设拖拉机行至E处开始影响学校，在F处结束影响，则QE=QF=130m，
由勾股定理可得：EH=FH=（m）
∵EF=100m，
又∵V拖=36km/h==10m/s
∴学校受影响的时间为100÷10=10（s）．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
27．(1)，
(2)10
(3)5
【分析】（1）根据题干所给的思路进行证明即可．
（2）利用全等三角形的性质求解即可．
（3）延长交于P，延长交于Q，令，连接，通过证明
证得的周长．
【详解】（1）延长至点F，使，连接，
由题意得，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴的周长为：．
（3）延长交于P，延长交于Q，令，连接，

∵是等腰三角形，且，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
∵ ，，
∴，
在和中，

∴ ，
∴，，
∵ ，，
∴，
∴即，
在和中，
，
∴ ，
∴．
∴的周长为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．