专题25概率与统计-解析版

这是一份专题25概率与统计-解析版，共24页。试卷主要包含了找准古典概率的样本空间，分辨随机现象中的概率模型，规范掌握双联表的分析方法，较大者随机函数的取值转化， 阅读统计年鉴提升分析能力， 识信息交叉结构分解综台问题等内容，欢迎下载使用。
概率统计问题本质上难在两个方面:一是模型的识别与分析, 要准确把握给定现象或信息中随机变量 所遵循的概率模型; 二是在计算分布列时, 随机变量取值转化为随机事件的概率, 这涉及计数的难点.
一、找准古典概率的样本空间
古典概率计算离不开对随机现象样本空间中基本事件的分析, 除了按照两个计数原理进行分析以外, 有时也需要对计数原理进行灵活运用.
问题 1:一个书桌有 8 个抽屉, 分别用数字 1∼8 编号. 一份文件随机放在某个抽屉中, 由于粗心, 有 15 的概率会忘记把文件放进抽屉里, 如果要找一份非常重要的文件, 将按顺序打开每个抽屉,直到找到 这份文件为止(或者翻遍所有抽屉都没能找到这份文件).
（1）假如打开第 1 个抽屉, 发现里面没有要找的文件,这份文件在其余 7 个抽屉里的概率是多少?
（2）假如翻遍了前 4 个抽屉, 发现都没有要找的文件,这份文件在其余 4 个抽屉里的概率是多少?
（3）假如翻遍了前 7 个抽屉,里面都没有要找的文件,这份文件在最后 1 个抽屉里的概率是多少?
【解析】卡壳点: 不会分析样本空间中的基本事件数.
应对策略: 为了能够用计数方法思考, 需要用构造虚拟抽屉的方法.
问题解答: 平均每 10 份文件就有 2 份被搞丢,其余 8 份平均地分给了 8 个抽屉,假如把所有搞丢的文件都找了回来, 那么它们占 2 个抽屉,于是想到一个有趣的思路如下.
在这 8 个抽屉后加上 2 个虚拟抽屉,即抽屉 9 和抽屉 10 ,这 2 个抽屉专门用来装丢掉的文件,此问题等价地变为: 随机把文件放在 10 个抽屉里,但找文件时不允许打开最后 2 个抽屉, 当已经找过 n 个抽屉但仍没 找到想要的文件时,文件只能在剩下的 (10-n) 个抽屉里,但只能打开剩下的 (8-n) 个抽屉.
因此所求概率是 8-n10-n, 而 8-n10-n=1-210-n, 当 0⩽n⩽8 时, 它是一个递减函数.
当 n 分别为 1,4,7 时, 概率分别为 79,23,13.
【反思】 (1) 问题情境贴近生活, 此处设计样本空间的思路是一个智慧点.
(2) 问题转化是一个重要的思维, 添加 “虚拟抽屉”后, 问题变得容易思考, 这是一个非常智慧的处理方式.
（3）找到问题的基本模型, 3 个问题便迎刃而解.
二、分辨随机现象中的概率模型
随机现象中的概率模型有些是已有的经典模型, 有些需要根据问题情境进行分析建立.
问题 2: 某同学报考某大学的“三位一体”自主招生,笔试与面试均分为两个等第: A (合格)、 A (不合格). 已知该同学笔试比面试的表现出色, 表现相互独立. 根据模拟测试, 该同学可能获得等第的 部分结果如下:
(I) 求该同学在自主招生测试中只获得 1 个 A 的概率;
(II) 若学校的加分政策为每获得一个 A 加 20 分, 否则不加分, 该同学在此次招生考试中加分的期 望为多少?
【解析】卡壳点: 不能精准识别概率模型.
应对策略: 研究随机变量的取值, 以及将取值的概率转化为事件概率.
问题解答: (I) 设笔试为 A 的概率为 p1, 面试为 A 的概率为 p2, 由题意可知 p1>p2.
又 p1p2=0.24,1-p11-p2=0.24, 解得 p1=0.6,p2=0.4.
故该同学在测试中只获得 1 个 A 的概率 P=pi1-p2+1-p1p2=0.52.
(II) 设该同学可能获得的加分为随机变量 X, 则 X 的可能取值为 40,20,0.
随机变量 X 的分布列为:
所以该同学加分的期望 E(X)=40×0.24+20×0.52+0×0.24=20.
【反思】 (1) 理解题意是前提, “同学笔试比面试的表现出色”隐藏着“ p1>p2 ”.
(2) 笔试与面试的概率是末知的,通过给定的获得等第的部分结果建立方程是关键.
(3) 事件“只获得 1 个 A ” 的概率为 p11-p2+1-p1p2, 而“该同学在此次招生考试中加分”为随机 变量 X, 找到其取值与取值的概率, 就能解决问题.
三、规范掌握双联表的分析方法
统计分析中涉及概率计算、相关分析、假设检验, 虽然中学统计学习中的模型比较规范与固定, 但在分 析中叙述不规范、计算有错误, 会导致问题求解失败, 产生痛点.
问题 3: 为研究患肺癌与吸烟是否有关, 有人做了一次相关调查, 其中部分数据丢失, 但可以确定的 是不吸烟人数与吸烟人数相同, 吸烟患肺癌人数占吸烟总人数的 45. 不吸烟的人数中, 患肺癌与不患肺 癌的人数之比为 1:4.
（I ) 若吸烟不患肺癌的有 4 人, 现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取 5 人,再从这 5 人中随机 抽取 2 人进行调查,求这 2 人都吸烟患肺癌的概率; (II) 若研究得到在犯错误概率不超过 0.001 的前提下, 认为患肺癌与吸烟有关, 则吸烟的人数至少 有多少?
附: K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), 其中 n=a+b+c+d.
【解析】卡壳点:检验模型操作不熟悉.
应对策略: 只有搞清楚样本空间, 才能为进一步的假设检验打下基础.
问题解答: (I) 设吸烟人数为 x, 依题意有 15x=4, 所以吸烟的人有 20 人, 故吸烟患肺癌的有 16 人, 不 患肺癌的有 4 人.
用分层抽样的方法抽取 5 人, 则应抽取吸烟患肺癌的 4 人, 记为 a,b,c,d. 不吸烟患肺癌的 1 人, 记为 A.
从 5 人中随机抽取 2 人, 所有可能的结果有 a,b,a,c,a,d,a,A,b,c,b,d,
(b,A),(c,d), (c,A),(d,A), 共 10 种.
其中 2 人都吸烟患肺癌的情形共有 6 种,所以 P=610=35.
故这 2 人都吸烟患肺癌的概率为 35.
(II) 解法 1 设吸烟人数为 5x, 由题意可得:
所以 K2=10x16x2-x22(5x)4=3.6x.
由题意知 3.6x⩾10.828, 所以 x⩾3.008.
因为 x 为整数, 所以 x 的最小值为 4 .
故 5x=20, 即吸烟人数至少为 20 人.
解法 2 设吸烟人数为 x, 由题意可得:
所以 K2=2x1625x2-125x22(x)4=1825x.
由题意得 1825x⩾10.828, 所以 x⩾15.04.
因为 x 为整数且为 5 的倍数, 所以 x 的最小值为 20 , 即吸烟人数至少为 20 人.
【反思】 (1)第 ( I ) 问, 通过列举法呈现样本空间, 为计算随机事件概率打下基础.
（2）第 (II) 问, 要理清吸烟人群、不吸烟人群、患肺癌人群、不患肺癌人群,通过列表, 根据题意求解.
(3)若问题样本较小,那么将样本空间的基本事件列举出来或用树形图呈现是非常重要的.
四、较大者随机函数的取值转化
随机变量的分布与期望是随机现象研究的基础. 关于随机变量的分布问题历年高考都有所变化,近几年来, 设计两个或两个以上随机变量, 研究其分布成为一个热点问题, 此类问题不仅要逐个分析随机变量的取值与取值的概率, 而且还要研究与两个随机变量相关的随机变量的分布, 如随机变量的较大者的分布问 题、一般的随机变量函数的分布问题等.
问题 4: 甲从装有编号为 1,2,3,4,5 的卡片的箱子中任意取一张,乙从装有编号为 2,4 的卡片的箱 子中任意取一张, 用 ξ1,ξ2 分别表示甲、乙取出的卡片上的数字.
(1) 求概率 Pξ1>ξ2;
(2) 记 η=ξ1,ξ1⩾ξ2,ξ2,ξ1ξ2 ”为 A,ξ1,ξ2 共有 10 情况, 满足 “ ξ1>ξ2 ” 的 ξ1,ξ2 的取值有 4 种情况: (3,2),(4,2), (5,2),(5,4), 所以 Pξ1>ξ2=25.
(2) 随机变量 η 的取值是 ξ1,ξ2 取值中的较大者, η 的取值只有 4 种情况: :2,3,4,5.
Pη=2=Pξ1=2,ξ2=2+Pξ1=1,ξ2=2=Pξ1=2Pξ2=2+Pξ1=1Pξ2=2=15×12+15 ×12=15
P(η=3)=Pξ1=3,ξ2=2=Pξ1=3Pξ2=2=15×12=110;
P(η=4)=Pξ1=4,ξ2=2+Pξ1=4,ξ2=4+Pξ1=1,ξ2=4+Pξ1=2,ξ2=4+Pξ1=3,ξ2=4= Pξ1=4Pξ2=2+Pξ1=4Pξ2=4+Pξ1=1Pξ2=4+Pξ1=2Pξ2=4+Pξ1=3Pξ2=4= 15×12×5=12
P(η=5)=Pξ1=5,ξ2=2+Pξ1=5,ξ2=4=Pξ1=5Pξ2=2+Pξ1=5Pξ2=4=15×12+15 ×12=15 综上, η 的分布列如下:
E(η)=2×15+3×110+4×12+5×15=3710.
【反思】 本题最大的亮点是涉及随机变量的联合分布与独立性, 在承认甲、乙两人抽取卡片相互独立的 前提下, 才有 Pξ1=k,ξ2=m=Pξ1=kPξ2=m.
五、 阅读统计年鉴提升分析能力
各类统计数据是高考数学统计应用问题的主要资源, 其中统计年鉴中的信息具有权威性. 统计年鉴中的数据在统计指标下展示, 学会看统计年鉴, 不仅可以了解社会经济发展的情况, 而且可以了解许多统计专 用名词, 这对于提升统计应用问题的求解能力毫无疑问是大有益处的.
问题 5 : 改革开放 40 年, 我国卫生事业取得巨大成就, 卫生总费用增长了数十倍. 卫生总费用包括 个人现金支出、社会支出、政府支出,以下为 2012-2015 年我国卫生总费用中个人现金支出、社会支出 和政府支出的费用(单位: 亿元)在卫生总费用中的占比情况.
（I )指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势;
（II) 设 t=1 表示 1978 年, 第 n 年卫生总费用与年份 t 之间的拟合函数
f(t)=357876.60531+e6.4420-0.1136t, 研究 函数 f(t) 的单调性, 并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份.
【解析】卡壳点: 阅读并提取数据的能力弱.
应对策略: 从繁杂的数据中寻找问题的解, 数学阅读力是一个关键点.
问题解答: (I) 由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少,社会支出占比逐渐增多.
(II ) 因为 y=e6.4420-0.1136t 是减函数, 且 y=e6.4420-0.1136t>0, 所以
f(t)=357876.60531+e6.4420-0.1136t 在 N 上单调递增. 令 357876.60531+e6.4420-0.1136t>120000, 解得 t>50.68.
当 t=51 时,我国卫生总费用超过 12 万亿.
预测到 2028 年我国卫生总费用首次超过 12 万亿.
【反思】 (1) 从统计年鉴中读出指标来: 个人现金支出、社会支出和政府支出的费用及其所占比例.
(2) 观察数据变化的趋势与异常,这是统计工作者与社会工作者的日常工作,在高考答题时,也是基础 性工作,这也成为第 (I) 问要完成的事. (3) 针对统计数据的函数拟合, 本来要画散点图、折线图等, 然后才能选择一个最贴近的函数进行拟合 分析, 此问题中这些工作命题专家帮助做了, 已经给出了拟合函数, 只需要研究函数性质, 并进行经济预测.
六、 识信息交叉结构分解综台问题
随着现代社会经济文化越来越综合化,概率统计综合化趋势明显增强, 概率统计内容与传统内容的融 合或交汇成为一种趋势, 形成丰富的概率统计的应用模型. 比如, 2013 年高考四川卷将程序框图与抽样的频率分布图融合, 把数据收集方法与数学处理方法交织在一起, 随机变量的分布与统计和程序设计融合, 反映统计工作者的实际工作全过程; 湖北卷将正态分布与线性规划融合; 江西卷将概率与向量交汇等, 融命题的综合性、新颖性、操作性、多样性为一体, 以此检测考生应用概率统计知识解决实际问题的能力.
问题 6 : 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动, 分别由李老师和张 老师负责. 已知该系共有 n 名学生, 每次活动均需该系的 k 名学生参加 ( n,k 均为固定的正整数), 假设 李老师和张老师分别将各自活动的信息独立、随机地发给该系 k 名学生, 且所发信息都能收到, 记该系 收到李老师和张老师所发活动通知信息的学生人数为 X.
(I) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;
(II) 求使 P(X=m) 取得最大值的整数 m.
【解析】卡壳点:在探求概率 P(X=m) 时, 遇到复杂的组合数函数成为学生最头痛的事.
应对策略: 整体把握试题的逻辑结构, 运用较小者函数思想.
问题解答: ( I ) 因为事件 A “甲收到李老师所发信息” 和事件 B “甲收到张老师所发信息” 是相互独立事 件,所以 A,B 相互独立.
由于 P(A)=P(B)=Cn-1k-1Cnk=kn, 故 P(A)=P(B)=1-kn.
所以学生甲收到活动通知信息的概率 P=1-1-kn2=2kn-k2n2.
(II) 当 k=n 时, m 只能取 n,P(X=m)=P(X=n)=1.
当 k