2023-2024学年四川省南充市第一中学高二上学期期中数学试题含答案

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总 分：150 分 考试时间:120 分钟
第 I 卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
2．已知圆，则圆心与半径分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知点，是圆上的动点，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
6．如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ）
B．
C． D．4
7．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点为C，D，则四边形的面积的最小值是（ ）
A．B．4C．D．8
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，选漏得2分，多选不得分。
9．已知直线的方程为，则（ ）
A．直线在轴上的截距为2 B．直线在轴上的截距为3
C．直线的倾斜角为锐角 D．过原点且与垂直的直线方程为
10．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为D．的最大值为
11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线C围成的图形的周长是； ②曲线C围成的图形的面积是2π；
③曲线C上的任意两点间的距离不超过2；
④若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是
其中正确的结论为（ ）
A．①B．②C．③D．④
12．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱，分别交于点F，G（G，E，F可能共线），则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点F，使得
B．线段长度的取值范围是
C．四棱锥的体积为2时，点F只能与点B重合
D．设截面，，的面积分别为，，，则的最小值为4
第II卷（非选择题)
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．平行直线与之间的距离为 ．
14．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，那么
15．圆关于直线的对称圆的方程为 .
16. 已知点，点，点在直线上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是________．
三、解答题：本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题 12 分,共70分.
17.（本小题满分10分）已知三角形的三个顶点是
(1)求直线AC方程（用斜截式表示）；
(2)求AB边上高所在直线方程（用一般式表示）.
18．①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．
已知圆经过点，且________．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知点，求过点的圆的切线方程．
19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：EF∥平面 ABP；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
20．直线，圆.
(1)证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)求直线被圆截得的最短弦长；
(3)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程.
21．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，点E，F分别是BC，DC的中点.
(1)证明：平面ACD⊥平面AEF；
(2)若∠BCD＝60°，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD所成的角最小.
22．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值；
(3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．