2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线 的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由斜率与倾斜角的关系求解，

【详解】由题意得直线的斜率，即直线的倾斜角为

故选：D

2．在空间直角坐标系中，，，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据空间两点间距离公式进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：B

3．在正项等比数列 中，，则数列的前 5 项之和为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据对数的运算性质以及等比数列的性质即可求解.

【详解】由等比数列的性质得,

数列的前 5 项之和为，

故选：C

4．在 中，分别是角的对边，，则角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】直接利用余弦定理计算得到，再根据同角三角函数关系得到答案.

【详解】，，

，.

故选：A

5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（    ）

A．20 B．40 C．70 D．112

【答案】C

【分析】根据程序框图的步骤，进行计算，可得答案.

【详解】第一次执行，由，则，又由，则进入循环；

第一次循环，由，则，又由，则进入循环；

第二次循环，由，则，又由，则进入循环；

第三次循环，由，则，又由，则进入循环；

第四次循环，由，则，又由，则输出.

故选：C.

6．已知圆 与圆的公共弦所在直线恒过点，则点的坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】计算公共弦所在直线为，得到，解得答案.

【详解】圆 与圆的公共弦所在直线为

，即，故，解得，

故直线过定点.

故选：A

7．已知 ，且，则 （     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解，进而根据模长公式即可求解.

【详解】由，得，

所以，

故选：D

8．已知集合,，若有两个子集，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】根据集合的含义结合有两个子集，可知两圆，相切，由此列出方程，可求得答案.

由题意可得，

，

故要使有两个子集，则中有一个元素，即集合中两圆的位置关系为内切或外切．

由于点在圆的外部，

故需满足且，解得或，

故选：D.

9．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确结论的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】①利用中位线证明出线线平行，从而得到直线BE与直线CF是共面直线，①错误；

直线BE与直线AF满足异面直线的定义，②正确；证明出线线平行，进而证明出线面平行，③正确；BE与PA的关系不能确定，故④不一定正确；

【详解】画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EFAD，所以EFBC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；

②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；

③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EFAD，所以EFBC，因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以直线EF平面PBC，故③正确；

④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确.

所以正确结论的个数是2.

故选：B

10．圆 上的动点到直线的距离的最大值是（     ）

A．4 B．6

C． D．

【答案】C

【分析】直线过定点，圆上的点到直线的最大距离即圆上的点到定点的距离，计算即可.

【详解】直线 所过的定点坐标为，

圆的圆心坐标为，半径为 2 ，

当圆上的动点到直线的距离最大时，即为圆上的动点到定点的距离，

已知圆心到定点的 距离为，

所以距离的最大值为.   

故选：C

11．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出已知圆的圆心与半径，则圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，可化为圆心到直线的距离，从而求得直线的斜率的取值范围.

【详解】圆的方程，可化为，则圆心为，半径为，根据遈意知，只有圆心到直线的距离时圆上至少有三个不同点到直线的距离为，即.所以有①，

当时有，此时圆心到直线的距离为，不成立;

当时有，此时圆心到直线的距离为，不成立;

当 且时，直线，则，将①式同时除以得，

即，解得，

综上直线的斜率的取值范围是.

故选：A

12．对于圆 上任意一点的值与无关，有下列结论:

① 点的轨迹是一个圆；

② 有最小值；

③ 当 时，有最大值；

④ 当 时，.

其中正确的个数是（     ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由，将已知条件看作到直线、距离之和的倍，且已知圆在平行线、之间得，再结合各项描述分析正误.

【详解】令，可看作到直线、距离之和的倍，

由的值与无关，

所以距离之和与在圆上的位置无关，故已知圆在平行线、之间，

而两线距离为，

①当时，的轨迹是直线，错误；

②由上分析知：r有最大值，无最小值，错误；

③时，，即有最大值，正确；

④时，则，故，正确.

所以正确的有③④.

故选：B

二、填空题

13．两平行直线之间的距离为________

【答案】##

【分析】用平行线间的距离公式，代入即可.

【详解】直线，即为，所以两平行直线与之间的距离为.

故答案为：

14．直线 垂直于直线，且在轴上的截距为 2 ，则直线的一般式方程为________

【答案】

【分析】根据垂直关系得出直线的斜率，再根据截距写出直线的表达式，即可化为一般方程.

【详解】解：由题意

∵直线 垂直于直线

∴直线 斜率为-1

∵在轴上的截距为 2

∴：

故线的一般式方程为：，

故答案为：.

15．直线 过且与圆相切，则直线的方程为________

【答案】或.

【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.

【详解】因为 ，所以点在圆外. 圆的圆心坐标为，半径为 2.

当直线的斜率存在时，设其方程为，即.

所以 ，解得，故直线的方程为,

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也满足条件.

故直线的方程为或.

故答案为:或.

16．已知圆 ，圆，点分别是圆、圆上的动点，点为轴上的动点，则的最大值是________

【答案】

【分析】先求出圆心和半径，作关于轴的对称圆，结合三角形三边关系可判断当三点共线时，取到最大值，数形结合即可求解.

【详解】由题意可知，圆的圆心，半径为，关于轴的对称圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，

设关于轴的对称点为，则，

则的最大值为的最大值，

当三点共线时，

所以的最大值为.

故答案为：9

三、解答题

17．已知的三顶点的坐标为.

(1)求边的中线所在直线的一般式方程

(2)求的面积.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）根据中点坐标以及两点斜率公式，由点斜式即可写出直线的方程，

（2）根据两点式得直线的方程，进而由点到直线的距离即可求解三角形的高，进而可求面积.

【详解】（1）线段 中点为，所以直线的斜率为，

故直线的方程为:，即

（2）由两点式得的方程为，即，

所以点到直线的距离为:，又，

所以

18．某工厂使用 两种原料生产甲、乙两种产品，每天生产所用种原料不超过 8 吨，种原料不超过 6 吨.已知生产1吨甲、乙两种产品各所需原料如下表所示:

(1)设该工厂每天生产甲、乙两种产品分别为 吨，试写出关 于的线性约束条件并画出可行域;

(2)如果生产 1 吨甲、乙两种产品可获得的利润分别为 3 万元、 2 万元，试求该工厂每天生产 甲、乙两种产品各多少吨可获得的利润最大，最大利润为多少?

【答案】(1)约束条件为,作图见解析，

(2)该工厂每天生产甲产品2吨，乙产品4吨可获得的利润最大，最大利润为14万元.

【分析】（1）根据题意即可列出不等关系，进而可得可行域，

（2）根据几何意义，结合可行域求截距最值即可.

【详解】（1），可行域见阴影部分.

（2）设利润为，则，所以，

由 ，设.易知当直线经过点时，纵截距最大.所以 .

故该工厂每天生产甲产品2吨，乙产品4吨可获得的利润最大，最大利润为14万元.

19．已知圆 ，点是坐标原点，是圆上一动点.

(1)求线段 的中点的轨迹方程;

(2)设 是 (1) 中轨迹上一点，求的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据相关点法即可将点坐标代入求解，

（2）根据两点距离公式结合几何意义即可求解最值.

【详解】（1）设 ，则，因为点在圆上，所以，化简得，即;

的轨迹方程为，它是圆心为，半径为 1 的圆

（2）设 ，所以，由平面几何知识知，

，其中，

所以

20．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，为的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求与平面所成的角的正切值；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由平面几何知识证明，由线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而可得面面垂直；

（2）由（1）得是PC与平面PAD所成角的平面角，求出这个直角三角形（需证明）中两直角边长，然后可得结论．

【详解】（1）∵四边形ABCD为菱形，∴，∵，∴为等边三角形，

∴，在中，E是AD中点，∴，∵平面ABCD，

平面ABCD，∴，∵，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，

∵平面PCE，∴平面平面PAD.

（2）∵平面PAD，∴斜线PC在平面内的射影为PE，

即是PC与平面PAD所成角的平面角，

∵平面ABCD，平面ABCD，∴，

在中，，在中，，

∵平面PAD，平面PAD，∴，在中，，

∴PC与平面PAD所成角的正切值为.

21．某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量万件与月促销费用万元满足关系式(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件.已知生产该产品每月固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 6 万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为万元.（注：利润销售收入生产投入－促销费用)

(1)将表示为的函数;

(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大? 最大利润为多少?

【答案】(1)

(2)当月促销费为 3 万元 时，该产品的月利润最大，最大利润为 12 万元.

【分析】（1）根据题意即可求解销售收入，进而可求利润，

（2）由基本不等式求最值即可求解.

【详解】（1）由已知，当 时，;

（2）当时，，

当且仅当 ，即时等号成立.所以，当月促销费为3万元 时，该产品的月利润最大，最大利润为 12 万元.

22．已知动点 到原点的距离与它到点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)直线 与曲线交于两点，求的取值范围 (为坐标原点);

(3)点是直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为.试问直线是否恒过定点，若是，求出这个定点; 若否，请说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)直线经过的定点为.

【分析】（1）由题意列式求解，

（2）联立直线与圆方程，由韦达定理转化为的函数后求解，

（3）设点坐标，由几何关系得直线方程后求解，

【详解】（1）由已知，化简得，化为所以曲线的方程为:;

（2）设，联立直线与圆的方程，，消去，得，

得

则，

直线与曲线相交，

所以圆心到直线的距离小于半径，即，解得

，

（3）设，，

由题意得在以为直径的圆上，

由得该圆方程为，即，

该圆与曲线相交，与联立得

所以直线的方程为，

整理得 ，令，

直线经过的定点为.