高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品当堂检测题

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知识点一：一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
① SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 均为常数）
② SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 均为常数）
③ SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 均为常数）
④ SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的 SKIPIF 1 < 0 的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
知识点二：四个二次的关系
2.1一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数 SKIPIF 1 < 0 ，我们把使 SKIPIF 1 < 0 的实数 SKIPIF 1 < 0 叫做二次函数 SKIPIF 1 < 0 的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的两根为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，它的解按照 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可分三种情况，相应地，二次函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的解集.
知识点三：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，计算判别式 SKIPIF 1 < 0 ：
① SKIPIF 1 < 0 时，求出两根 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （注意灵活运用十字相乘法）；
② SKIPIF 1 < 0 时，求根 SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识点四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为整式且 SKIPIF 1 < 0 的不等式称为分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0
④ SKIPIF 1 < 0
⑤ SKIPIF 1 < 0
题型01 一元二次不等式（不含参）的求解
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式：
(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 .(3) SKIPIF 1 < 0 (4) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，配方可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，从而不等式无解，即解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
（4） SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 同时成立.
由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
于是 SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）解不等式：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，不可能成立，
即不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
题型02一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数）
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
原不等式 SKIPIF 1 < 0 可化为所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】答案见解析
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，
方程 SKIPIF 1 < 0 的两根为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集；
(2)解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2)见解析
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
不等式解集为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ．
①当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式即为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式化为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式化为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）解不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】答案见解析
【详解】解：对于不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 有两根 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上可得：当当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时解集为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时解集为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·高一课时练习）解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】分类讨论，答案见解析.
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，
③当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，
由 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
题型03一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参）
【典例1】（2023·辽宁沈阳·统考三模）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解：原不等式可以转化为： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可知 SKIPIF 1 < 0 ，对应的方程的两根为1， SKIPIF 1 < 0 ，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B．{x|x>a}
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集.
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】答案见解析.
【详解】解：由ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0；
∵a＞0，∴不等式化为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
∴当0＜a＜1时，即 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式的解集为{x|1＜x SKIPIF 1 < 0 }；
当a＝1时，即 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当a＞1时，即 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】不等式 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【变式2】（2023·高一课时练习）解下列关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式： SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ).
【答案】答案见解析.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式化为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式化为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式化为 SKIPIF 1 < 0 ，
其解的情况应由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小关系决定，故：
①当 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
②当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
③当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 .
题型04一元二次不等式与对应函数、方程的关系
【典例1】（2023秋·江苏徐州·高一统考期末）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由条件可知， SKIPIF 1 < 0 的两个实数根是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为__________
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
可知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两根，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【详解】依题意可得， SKIPIF 1 < 0 分别是关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，根据韦达定理可得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则ab＝_________________.
【答案】24
【详解】由一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：24
题型05分式不等式的解法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知全集 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______， SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,
整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 , 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ;
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
因为当 SKIPIF 1 < 0 时，一定可以推出 SKIPIF 1 < 0 ，
而当 SKIPIF 1 < 0 时，不能推出 SKIPIF 1 < 0 。
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件，
故选：A．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
题型06一元二次方程的实根分布问题
【典例1】（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）若一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不等于0）有一个正根和一个负根，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
【典例2】（2023春·四川资阳·高二统考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0
(1)求证 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有解的一个充分条件；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有一个正根和一个负根的充要条件．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有解的一个充分条件.
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，因为方程 SKIPIF 1 < 0 有一个正根和一个负根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
反之，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有一个正根和一个负根，满足条件．
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有一个正根和一个负根的充要条件为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）若一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的两不等实根都是负数，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】首先 SKIPIF 1 < 0 ，设方程 SKIPIF 1 < 0 的两根为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023春·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考期中）方程 SKIPIF 1 < 0 的两根都大于 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：由题意，方程 SKIPIF 1 < 0 的两根都大于 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知方程 SKIPIF 1 < 0 的两根分别在区间 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之内，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 方程两根为 SKIPIF 1 < 0 ，
若要满足题意，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型07一元二次不等式的实际问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价 SKIPIF 1 < 0 （单位：元）的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】结合题意易知， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
这批台灯的销售单价 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（ SKIPIF 1 < 0 ），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以投入成本增加的比例应在 SKIPIF 1 < 0 范围内．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为 SKIPIF 1 < 0 ，生产x件所需成本为C（元），其中 SKIPIF 1 < 0 元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）
A．20≤x≤30B．20≤x≤45
C．15≤x≤30D．15≤x≤45
【答案】B
【详解】设该厂每天获得的利润为y元，
则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)．
由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45，
所以日销量x的取值范围是20≤x≤45．
故选：B．
【变式2】（2023·高一课时练习）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量 SKIPIF 1 < 0 （单位：m3）与天数 SKIPIF 1 < 0 的关系是 SKIPIF 1 < 0 ，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析
【详解】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0
设第 SKIPIF 1 < 0 天发生危险，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以汛期的第9天会有危险
题型08重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法一：判别法
【典例1】（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）若不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切实数x都成立，则k的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 对一切实数 SKIPIF 1 < 0 都成立，
① SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
② SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立.
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，不等式化为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，不是对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，舍去；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，对任意 SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 ，
只需 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 .
综上，实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型09重点方法之一元二次不等式的恒成立与有解问题方法二：变量分离法
【典例1】（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）任意 SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立.则实数 SKIPIF 1 < 0 取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为对任意 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知命题 SKIPIF 1 < 0 ：“ SKIPIF 1 < 0 ”为真命题，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为________________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
【答案】－4
【详解】∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，
又当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当x＝2时取等号．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故a的最小值为－4.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型10数学思想方法（分类讨论）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】答案见解析
【详解】原不等式变为 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0
②当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）设 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若不等式 SKIPIF 1 < 0 对一切实数 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)答案见解析.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立等价于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，对一切实数 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时必有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）依题意， SKIPIF 1 < 0 ，可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
题型11易错题篇（忽略了首项系数化正）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【典例2】（2023·河北·统考模拟预测）若集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故选:D.
【典例3】（2023春·湖南·高一校联考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）解关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,等价转化为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0
所以不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习） SKIPIF 1 < 0 的一个充分不必要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解不等式 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故只有C选项中的条件才是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：C.
2．（2023·辽宁丹东·统考二模）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
【答案】C
【详解】不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，等价于 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C
3．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）若不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
故选：D．
4．（2023·江西·统考模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 一定成立，反之，不一定成立，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为真命题，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为真命题的充分不必要条件，A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 是命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为真命题的充要条件，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为真命题的必要不充分条件，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为真命题的充分不必要条件，D错误；
故选：C
6．（2023·全国·高一专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 有解，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围时（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，此时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值9，
若 SKIPIF 1 < 0 有解，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
二、多选题
7．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）“关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立”的充分不必要条件，故A正确；
“ SKIPIF 1 < 0 ”是“关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立”的充分不必要条件，故B正确；
“ SKIPIF 1 < 0 ”是“关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立”的充要条件，故C错误；
“ SKIPIF 1 < 0 ”是“关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立”的必要不充分条件，故D错误.
故选：AB.
8．（2023·全国·高三专题练习） SKIPIF 1 < 0 恒成立，a的值可以为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】BCD
【详解】 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以BCD符合，A不符合；
故选：BCD
三、填空题
9．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）若不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值等于_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2023·全国·高一专题练习）关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立,所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
11．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）解不等式
(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式得解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 而且 SKIPIF 1 < 0 的两根为 SKIPIF 1 < 0 和1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数b的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．即 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则正实数a的取值集合为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，取得等号，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．（2023春·湖南·高一校联考期中）若“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的一个充分不必要条件，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解不等式 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时，“ SKIPIF 1 < 0 ” SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”，不合乎题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 时，解不等式 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 时，解不等式 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】因为关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 且方程 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
则不等式 SKIPIF 1 < 0 即为不等式 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
不等式 SKIPIF 1 < 0 即为不等式 SKIPIF 1 < 0 ，
即为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
4．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集是__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，根据穿根法解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023春·河北·高二校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
C综合素养
1．（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实数根，
且一根大于2，一根小于2，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，
∵一根大于2，一根小于2，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
则k的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2．（2023·全国·高三对口高考）解关于x的不等式：
(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解不等式得 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式可化为： SKIPIF 1 < 0
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式得 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 无解，即 SKIPIF 1 < 0 ；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式得 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述： SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，原不等式可化为： SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式得： SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然无解，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式得： SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)解关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)36
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意，关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等的正根，
由韦达定理知 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，符合条件，则 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值36．
4．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】见解析
【详解】方程： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得方程两根： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为：
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为：
SKIPIF 1 < 0
综上所述, 当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为：
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，原不等式的解集为：
SKIPIF 1 < 0
5．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，解关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)答案见解析
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单增，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 单增，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得到， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 ．
课程标准
学习目标
①理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。
②掌握一元二次方程的求解方法, 掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况。
③掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式。
通过本节课的复习与学习，会解一元二次方程、一元二次方程根的情况的处理、一元二次方程根与系数的关系；二次函数的图象与性质；会解一元二次不等式、含有参数的一元二次不等式、与一元二次不等式有关的存在与恒成立问题的处理；会解能转化为一元二次不等式的分式不等式；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，能处理与三者之间有关的问题。
判别式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
二次函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 的图象
一元二次方程
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的根
有两个不相等的实数根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )
有两个相等的实数根 SKIPIF 1 < 0
没有实数根
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的解集
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )的解集
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0