北师大版数学九年级下册 期中测试卷3

这是一份北师大版数学九年级下册 期中测试卷3，共13页。试卷主要包含了下列四个图形，下列计算正确的是，下列命题中是假命题的是，定义新运算“a※b”等内容，欢迎下载使用。

1．a，b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（ ）
A．a2与b2
B．a3与b5
C．a2n与b2n （n为正整数）
D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）
2．下列四个图形：角、等边三角形、平行四边形、圆，是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．由陈凯歌、张一白、管虎等七位导演执导的电影《我和我的祖国》于2019年9月30日在全国上映，电影票房便超过299400000元，数299400000用科学记数法表示为（ ）
A．0.2994×109B．2.994×108C．29.94×107D．2994×106
4．在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩（单位：分）分别是：7、10、9、8、7、9、9、8，则这组数据的众数和中位数是（ ）
A．9、8.5B．7、9C．8、9D．9、9
5．下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．3a﹣2a＝1
C．5a2﹣7a2＝2a2D．3a﹣4a＝﹣a
6．将一副三角板如图放置，作CF∥AB，则∠EFC的度数是（ ）
A．90°B．100°C．105°D．110°
7．下列命题中是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．邻补角是互补的角
C．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c
D．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c
8．一副学生三角板放在一个圈里恰好如图所示，顶点D在圆圈外，其他几个顶点都在圆圈上，圆圈和AD交于点E，已知AC＝8cm，则这个圆圈上的弦CE长是（ ）
A．6cmB．6cmC．4cmD． cm
9．定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的有（ ）个．
①AE⊥BF；②QB＝QF；③；④S四边形ECPG＝3S△BGE．
A．1B．4C．3D．2
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．把代数式4a2b﹣3b2（4a﹣3b）进行因式分解得： ．
12．盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同．从中任意拿出一支笔芯，则拿出红色笔芯的概率是 ．
13．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm．
14．如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上任意一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，图中与线段AF相等的线段是 ．
15．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交矩形OABC的边AB、BC于点D、E，且BE＝2CE，若四边形ODBE的面积为7，则k的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分75分）
16．计算：．
17．化简（1﹣）÷，再任取一个你喜欢的数代入求值．
18．某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有800名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名女生和2名男生中随机的抽取2名学生，所抽取的两人恰好都是女生做为该校培养运动员的重点对象的概率．请用列表或画树状图的方法求出．
19．如图，在矩形纸片ABCD中，点P在边AB上，沿着PC折叠纸片使B点落在边AD上的E点处，过点E作EF∥AB交PC于F，连接BF．
（1）求证：四边形BFEP为菱形；
（2）若tan∠BCP＝，AB＝3cm，求AE的长．
20．为了让农民文化生活更加丰富多彩，某村决定修建文化广场，计划在一部分广场地面铺设相同大小规格的红色和白色地砖．经过市场调查，获取地砖市场相关信息如下：
（1）如果购买红色地砖40块，白色地砖60块，共需付款920元；如果购买红色地砖50块，白色地砖35块，共需付款750元，求红色地砖与白色地砖的原价各是多少元？
（2）经过测算，修建这个文化广场需要购买两种地砖共计12000块，其中白色地砖的数量不少于红色地砖的数量的一半，且白色地砖的数量不多于7000块，求购买红色地砖与白色地砖各多少块时，付款最少．
21．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CA的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径R＝3，tanC＝，求EF的长．
22．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，点A坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），△ABC的面积为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M、N、B为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段BN的长度．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、a，b互为相反数，则a2＝b2，故A错误；
B、a，b互为相反数，则a3＝﹣b3，故a3与b5不一定互为相反数，故B错误；
C、a，b互为相反数，则a2n＝b2n，故C错误；
D、a，b互为相反数，由于2n+1是奇数，则a2n+1与b2n+1互为相反数，故D正确；
故选：D．
2．解：是中心对称图形的为：平行四边形、圆，有2个，
故选：B．
3．解：将299400000用科学记数法表示为2.994×108，
故选：B．
4．解：把这组数据重新排序后7，7，8，8，9，9，9，10，
∴这组数据的中位数（8+9）÷2＝8.5，
∵9是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为9；
故选：A．
5．解：A．a+a＝2a，故本选项不合题意；
B.3a﹣2a＝a，故本选项不合题意；
C.5a2﹣7a2＝﹣2a2，故本选项不合题意；
D.3a﹣4a＝﹣a，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
6．解：∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC＝45°，
∵∠E＝30°，
∴∠EFC＝180°﹣∠E﹣∠ACF＝105°，
故选：C．
7．解：A、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是假命题；
B、邻补角是互补的角，本选项说法是真命题；
C、已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，本选项说法是真命题；
D、已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，本选项说法是真命题；
故选：A．
8．解：作AH⊥CE于H，如图，∠ACB＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，
∴∠BCE＝∠BAD＝30°，
∴∠ACE＝60°，
在Rt△ACH中，CH＝AC＝×8＝4cm，
∴AH＝CH＝4cm，
∵∠AEC＝∠ABC＝45°，
∴AH＝HE＝4cm，
∴CE＝CH+HE＝（4+4）cm．
故选：C．
9．解：由新定义得（x+1）（x﹣1）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
10．解：①∵四边形BCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故①正确；
由折叠的性质得：FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QB＝QF，故②正确；
③∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，
∴△BEG∽△ABG∽△AEB，
∴，
设GE＝x，则BG＝2x，AG＝4x，
∴BF＝AE＝AG+GE＝5x，
∴FG＝BF﹣BG＝3x，
∴，故③正确；
④如图所示：连接CG，
∵PC⊥BF，AE⊥BF，
∴PC∥AE，△BGE∽△BMC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴△BGE的面积：△BMC的面积＝1：4，
∴△BGE的面积：四边形ECMG的面积＝1：3，
连接CG，则△PGM的面积＝△CGM的面积＝2△CGE的面积＝2△BGE的面积，
∴四边形ECPG的面积：△BGE的面积＝5：1，
∴S四边形ECPG＝5S△BGE，故④错误．
综上所述，共有3个结论正确，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：原式＝4a2b﹣12ab2+9b3＝b（4a2﹣12ab+9b2）＝b（2a﹣3b）2，
故答案为：b（2a﹣3b）2
12．解：因为全部是3+2＝5支笔，3支红色笔芯，所以从中任意拿出一支笔芯，拿出红色笔芯的概率是．
故答案为
13．解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB∥EF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为64．
14．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，
又AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C，
∴∠EDB＝∠B，
∴BE＝DE，
∴图中与线段AF相等的线段是DE，BE，
故答案为：DE，BE．
15．解：连接OB，如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD＝∠OCE＝∠DBE＝90°，△OAB的面积＝△OBC的面积，
∵D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴△OAD的面积＝△OCE的面积，
∴△OBD的面积＝△OBE的面积＝四边形ODBE的面积＝，
∵BE＝2EC，
∴△OCE的面积＝△OBE的面积＝，
∴k＝；
故答案为．
三．解答题（共7小题，满分75分）
16．解：
＝2+3×﹣（2﹣）+1+[8×（﹣0.125）]2022
＝2+﹣2++1+（﹣1）2022
＝4﹣2+1+1
＝4．
17．解：（1﹣）÷，
＝（﹣），
＝，
＝，
∵x﹣1≠0，x（x+1）≠0，
∴x≠±1，x≠0，
当x＝5时，原式＝＝．
18．解：（1）10÷20%＝50（名），
即本次抽样调查共抽取了50名学生；
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为C等级的学生数为：50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；
补全条形图如图1所示：
（3）800×＝64（名），
即估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有64名；
（4）画树状图为：
共有12个等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为2个，
∴抽取的两人恰好都是女生的概率＝＝．
19．（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PC，
∴B点与E点关于PQ对称．
∴BP＝PE，BF＝FE，∠BPF＝∠EPF．
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP．
∴∠EPF＝∠EFP．
∴EP＝EF．
∴BP＝BF＝FE＝EP．
∴四边形BFEP为菱形．
（2）由折叠可知，∠BCP＝∠ECP．
∴．
∴，
∵∠PEC＝∠A＝∠D＝90°．
∴∠AEP+∠DEC＝90°，∠AEP+∠APE＝90°．
∴∠APE＝∠DEC．
∴△APE∽△DEC．
∴．
∵AB＝DC＝3cm，
∴AE＝1 cm．
20．解：（1）设红色地砖的原价是每块x元，白色地砖的原价是每块y元，
根据题意，得，
解得，
答：红色地砖每块8元，白色地砖每块10元；
（2）设购买白色地砖m块，则购买红色地砖（12000﹣m）块，所需付款的总费用为w元，
由题意可得：m≥（12000﹣m），
解得：m≥4000，
又m≤7000，所以白砖块数m的取值范围：4000≤m≤7000，
当4000≤m＜5000时，
w＝0.8×8（12000﹣m）+10m＝3.6m+76800，
所以m＝4000时，w有最小值91200元，
当5000≤m≤7000时，w＝8×0.8（12000﹣m）+0.9×10m＝2.6m+76800，
所以m＝5000时，w有最小值89800元，
∵89800＜91200，
∴购买红色地砖7000块，白色地砖5000块，费用最少，最少费用为89800元．
21．解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠ODC，
∴AB∥OD，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵tanC＝，
∴设AD＝x，CD＝2x，
∴AC＝x＝6，
∴x＝，
∴AD＝，CD＝，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADF＝∠C，
∵AD＝，tan∠ADF＝，
∴AF＝，DF＝，
∵AF∥OD，
∴△EAF∽△EOD，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
22．解：（1）∵C（0，3），
∴OC＝3，
∵S△ABC＝AB•OC＝6，
∴AB＝4．
∵点A坐标为（﹣1，0），A在B的左侧，
∴点B坐标为（3，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，
得3＝a（0+1）（0﹣3），
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝﹣＝1，
由B（3，0），C（0，3）可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
∵抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，
∴M（1，2）；
在Rt△BOC中，由勾股定理得BC＝＝3．
设N（t，0），
①当△MNB∽△ACB时，＝，
∴，
解得t＝0，
∴BN＝BO＝3；
②当△MNB∽△CAB时，，
∴＝，
解得t＝，
∴BN'＝3﹣＝．
综上所述，当以M、N、B为顶点的三角形与△ABC相似时，线段BN的长度为3或．
购买数量低于5000块
购买数量不低于5000块
红色地砖
原价销售
原价的八折销售
白色地砖
原价销售
原价的九折销售