北师大版数学九年级下册 期中测试卷5

这是一份北师大版数学九年级下册 期中测试卷5，共11页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．化简eq \r(（tan 30°－1）2)等于( )
A．1－eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3)－1 C.eq \f(\r(3),3)－1 D.eq \r(3)＋1
2．如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a m，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于( )
A．asin 40° m B．acs 40° m C．atan 40° m D.eq \f(a,tan 40°) m
(第2题) (第5题)
(第6题) (第7题)
3．已知α为锐角，sin(α－20°)＝eq \f(\r(3),2)，则α的度数为( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的坐标满足下表：
则该函数图象的顶点坐标为( )
A．(－3，－3) B．(－2，－2) C．(－1，－3) D．(0，－6)
5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系不正确的是( )
A．a＜0 B．abc＞0 C．a＋b＋c＞0 D．b2－4ac＞0
6．一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直下滑，下滑的距离s(m)与时间t(s)之间的表达式为s＝10t＋t2，若滑到坡底的时间为2 s，则此人下滑的高度为( )
A．24 m B．6 m C．12eq \r(3) m D．12 m
7．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
8．已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，则tan∠CAB的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2\r(5),5) D．2
9．如图，两建筑物的水平距离为32 m，从点A测得点C的俯角为30°，点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为( )
(第9题)
A．14 m B．17 m C．20 m D．22 m
10．二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是( )
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．－1＜t＜1
二、填空题(每题3分，共30分)
11．已知y＝(a＋1)x2＋ax是二次函数，那么a的取值范围是__________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝2eq \r(2)，AB＝2eq \r(3).设∠BCD＝α，那么cs α的值是________．
(第12题 (第16题)
(第19题) (第20题)
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝eq \r(2)，则∠B＝________．
14．将抛物线y＝－2(x－1)2－2向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为__________________．
15．抛物线y＝2x2－12x＋16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的表达式是______________．
16．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴的一个交点为A(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是______________．
17．已知二次函数y＝3x2＋c的图象与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为________．
18．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____________ .
19．如图，B港在观测站A的正北，B港离观测站A 10eq \r(3) n mile，一艘船从B港出发向正东匀速航行，第一次测得该船在观测站A的北偏东30°方向的M处，半小时后又测得该船在观测站A的北偏东60°方向的N处，则该船的速度为________n mile/h.
20．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，AB＝2eq \r(3)，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为__________________．
三、解答题(21题5分，22题7分，23，24题每题8分，25，26题每题10分，27题12分，共60分)
21．计算：6tan230°－cs 30°·tan 60°－2sin 45°＋cs 60°.
22.如图，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝6，AD＝BC，cs∠ADC＝eq \f(3,5)，求CD的长．
(第22题)
23．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20 m，水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的函数表达式；
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2 m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
(第23题)
24．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1 790 m．如图，DE∥BC，BD＝1 700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度(结果精确到0.1 m)．
(第24题)
25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过B，C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD.求：
(1)此抛物线的函数表达式；
(2)此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积．
(第25题)
26．旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元．租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1 100元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
27．已知：函数y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a为常数)．
(1)若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；
(2)若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交于点C，且x2－x1＝2.
①求抛物线的表达式；
②作点A关于y轴的对称点D，连接BC，DC，求sin ∠DCB的值．
(第27题)
答案
一、1.A 2.C 3.D 4.B 5.C
6．D 点拨：把t＝2代入s＝10t＋t2，得s＝24.∵是含30°角的直角三角形，∴易求得此人下滑的高度为12 m.
7．C 8.D 9.A
10．B 点拨：∵二次函数图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)，∴a＜0，－eq \f(b,2a)＞0，∴b＞0.∵抛物线过点(－1，0)，∴a－b＋1＝0，即a＝b－1，∴b－1＜0，即b＜1.又t＝b－1＋b＋1＝2b，∴0＜t＜2.
二、11.a≠－1 12.eq \f(\r(6),3) 13.45°
14．y＝－2x2－1 点拨：将抛物线y＝－2(x－1)2－2向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得抛物线y＝－2(x－1＋1)2－2＋1，即y＝－2x2－1.
15．y＝－2x2＋12x－20
16．－1＜x＜3
17．eq \f(4,3) 点拨：将y＝4x代入y＝3x2＋c，
得4x＝3x2＋c，即3x2－4x＋c＝0.
∵两函数图象只有一个交点，
∴方程3x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根．
∴(－4)2－4×3c＝0，解得c＝eq \f(4,3).
18．eq \f(25,2) cm2 点拨：设其中一段铁丝长为x cm，则另一段长为(20－x) cm，设两个正方形的面积之和为y cm2，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20－x,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,8)(x－10)2＋eq \f(25,2)，∴当x＝10时，y有最小值eq \f(25,2).
19．40 点拨：∵AB＝10eq \r(3)，∠BAM＝30°，∠BAN＝60°，∴BN＝30，BM＝10，∴MN＝20，故v＝eq \f(s,t)＝eq \f(20,\f(1,2))＝40(n mile/h)．
20．(1＋eq \r(7)，3)或(2，－3)
点拨：∵△ABC是等边三角形，
AB＝2eq \r(3)，∴AB边上的高为3.
又∵点C在二次函数图象上，
∴点C的纵坐标为±3.
令y＝3，则x2－2x－3＝3，
解得x＝1±eq \r(7)；
令y＝－3，则x2－2x－3＝－3，
解得x＝0或2.
∵点C在该函数y轴右侧的图象上，
∴x＞0.
∴x＝1＋eq \r(7)或x＝2.
∴点C的坐标为(1＋eq \r(7)，3)或(2，－3)．
三、21.解：原式＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)－eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)－2×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)＝2－eq \f(3,2)－eq \r(2)＋eq \f(1,2)＝1－eq \r(2).
22．解：在Rt△ACD中，∵cs∠ADC＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(3,5)，
∴设CD＝3k(k＞0)，则AD＝5k.
∵BC＝AD，∴BC＝5k.
又BD＝BC－CD，∴6＝5k－3k，
解得k＝3.
∴CD＝3×3＝9.
23．解：(1)设所求抛物线的函数表达式为y＝ax2.
设D(5，b)，则B(10，b－3)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100a＝b－3，,25a＝b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,25)，,b＝－1.))
∴y＝－eq \f(1,25)x2.
(2)∵b＝－1，eq \f(1,0.2)＝5(h)，
∴再持续5 h才能到达拱桥顶．
24．解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M.
由题意可得EM⊥AC，DF＝CM，∠AEM＝29°.
在Rt△DFB中，sin∠DBF＝eq \f(DF,BD)，∠DBF＝80°，
∴DF＝BD·sin 80°.
∴AM＝AC－CM＝AC－DF＝(1 790－1 700·sin 80°) m.
在Rt△AME中，sin∠AEM＝eq \f(AM,AE)，
∠AEM＝29°，
∴AE＝eq \f(AM,sin 29°)＝eq \f(1 790－1 700·sin 80°,sin 29°)≈238.9 m.
答：斜坡AE的长度约为238.9 m.
25．解：(1)由已知得C(0，4)，B(4，4)．
把B与C的坐标分别代入y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)×16＋4b＋c＝4，,c＝4，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝4.))
∴此抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,2)x2＋2x＋4.
(2)∵y＝－eq \f(1,2)x2＋2x＋4＝－eq \f(1,2)(x－2)2＋6，
∴抛物线顶点D的坐标为(2，6)．
∴S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝eq \f(1,2)×4×4＋eq \f(1,2)×4×(6－4)＝8＋4＝12.
26．解：(1)由题意知若观光车能全部租出，则0＜x≤100.
由50x－1 100＞0，解得x＞22.
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元．
(2)设每天的净收入为y元．
当0＜x≤100时，y1＝50x－1 100.
∴y1随x的增大而增大．
∴当x＝100时，y1有最大值，最大值为3 900.
当x＞100时，y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50－\f(x－100,5)))x－1 100＝－eq \f(1,5)x2＋70x－1 100＝－eq \f(1,5)(x－175)2＋5 025.
∴当x＝175时，y2有最大值，最大值为5 025.
∵5 025＞3 900，
∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多．
27．解：(1)函数y＝ax2－(3a＋1)x＋2a＋1(a为常数)，若a＝0，则y＝－x＋1，图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；
当a≠0且图象过原点时，2a＋1＝0，a＝－eq \f(1,2)，有两个交点(0，0)，(1，0)；
当a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y＝0，有Δ＝(3a＋1)2－4a(2a＋1)＝0，解得a＝－1，
有两个交点(0，－1)，(1，0)．
综上得，a＝0或－eq \f(1,2)或－1时，函数图象与坐标轴有两个交点．
(2)①∵抛物线与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，
∴x1，x2为ax2－(3a＋1)x＋2a＋1＝0的两个根．
∴x1＋x2＝eq \f(3a＋1,a)，x1x2＝eq \f(2a＋1,a).
∵x2－x1＝2，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a＋1,a)))eq \s\up12(2)－4·eq \f(2a＋1,a).
解得a＝－eq \f(1,3)(开口向上，a＞0，舍去)或a＝1.
∴y＝x2－4x＋3.
②∵抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴相交于点C，且x1＜x2，
∴A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)．
∵D为A关于y轴的对称点，
∴D(－1，0)．
如图，过点D作DE⊥CB于E.
(第27题)
∵OC＝3，OB＝3，OC⊥OB，
∴△OCB为等腰直角三角形．
∴∠CBO＝45°.
∴△EDB为等腰直角三角形．
∵DB＝4，∴DE＝2eq \r(2).
在Rt△COD中，∵DO＝1，CO＝3，
∴CD＝eq \r(DO2＋CO2)＝eq \r(10).
∴sin ∠DCB＝eq \f(DE,CD)＝eq \f(2\r(5),5).
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…