2023年安徽省滁州市定远县育才学校中考一模数学试题

这是一份2023年安徽省滁州市定远县育才学校中考一模数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下面的数中，比0小的是( )
A. 12022B. 2022C. |-2022|D. -2022
下列计算正确的是( )
A. (-a)4÷a3=aB. a2⋅a3=a6
C. (-x3y)2=x5y2D. (x-y)2=x2-y2
如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，下列说法正确的是( )
A. 主视图和左视图相同
B. 主视图和俯视图相同
C. 左视图和俯视图相同
D. 三种视图都不相同
中央财政给某市投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应是( )
A. 0.1692×1012B. 1.692×1012C. 1.692×1011D. 16.92×1010
若关于x的一元二次方程x(x-2)=2mx有两个相等的实数根，则实数m的值为( )
A. -1B. 0C. -1或0D. 4或1
某校为了了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制两幅不完整统计图(A：不太了解．B：基本了解，C：比较了解，D：非常了解)，根据图中信息可知，下列结论错误的是( )
A. 本次调查的样本容量是50
B. “非常了解”的人数为10人
C. “基本了解”的人数为15人
D. “比较了解”部分所对应的圆心角度数为120°
一种商品，先提价20%，再降价10%，这时的价格是2160元．则该商品原来的价格是( )
A. 2400元B. 2200元C. 2000元D. 1800元
如图，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，则有( )
A. ∠1=50°
B. ∠1=40°
C. ∠1=35°
D. ∠1=20°
已知二次函数y=ax2+bx+c自变量x的部分取值和对应函数值y如表：
则在实数范围内能使得y<0成立的x取值范围是( )
A. x>3B. x<-1C. -13
如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°，AD=2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②OD=AB；③S平行四边形ABCD=AC⋅CD；④S四边形OECD=32S△AOD：⑤OE=14AD.其中成立的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
使21-3x有意义的x的取值范围是______．
用一个a的值说明命题“如果a2≥1，那么a≥1”是错误的，这个值可以是a= ．
如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，∠P=42°，则∠BOC=______．
如图所示，在边长为22的正方形ABCD中，E为边AD的中点，P为对角线BD上的一个动点，连接PA、PE，则PA+PE的最小值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题8分)
先化简，再求值：(2x+1-1)÷x2-2x+12x+2，其中x=2+1．
(本小题8分)
2022年北京冬奥会引起了全民运动的热潮，滑雪场为了吸引儿童们从小健身锻炼，热爱雪上运动，预备开展儿童冬季雪具售卖活动，新进了数量相同的儿童雪车和滑雪板，儿童滑雪板的进货单价比儿童雪车的进货单价贵30元，滑雪板和雪车分别花费5400元和3600元．请问：儿童雪车与儿童滑雪板的进货单价各是多少元？
(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5)，B(-2,1)，C(-1,3)．
(1)画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°得到的图形△A1B1C，并写出点A1的坐标；
(2)将△ABC先向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2；
(3)如果将(2)中的△A2B2C2看成是由△ABC经过一次平移得到的，请计算平移的距离AA2．
(本小题8分)
实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1=∠2．
(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
(2)如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变．若入射光线m与反射光线n平行但方向相反，则两平面镜的夹角∠ABC为多少度？
(本小题10分)
为测量底部不能到达的建筑物AB的高度，某数学兴趣小组在山坡的顶端C处测得建筑物顶部A的仰角为20°，在山脚D处测得建筑物顶部A的仰角为60°，若山坡CD的坡度i=1：3，坡长CD=20米，求建筑物AB的高度．(精确到1米)(参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19，2≈1.41，3≈1.73)
(本小题10分)
已知⊙O中，AB是直径，AC是弦，∠BAC=32°．
(1)如图1，连接BC，求∠ABC的度数；
(2)如图2，过点C作弦CD⊥AB，H为垂足，求∠BOD的度数．
(本小题12分)
中国共产党的助手和后备军——中国共背团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：背年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了______名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
(本小题12分)
如图，若二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(-1,0)、B(4,0)，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
(本小题14.分)
【综合与实践】
问题情境
图形变换包括平移、旋转、对称、位似等，其中旋转就是将图形上的每一点在平面内绕着旋转中心旋转固定角度的位置移动，其中“旋”是过程，“转”是结果．旋转的性质则是解决实际问题的关键．数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题．如图1，△ABC与△EDC都是等腰直角三角形，点E，D分别在AC和BC上，连接EB.将线段EB绕点B顺时针旋转90°，得到的对应线段为BF.连接BE，DF.“兴趣小组”提出了如下两个问题：
①AE=BD，AE⊥BD；②DF=AB，DF⊥AB
解决问题：
(1)请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题．
探索发现：
(2)“实践小组”在图1的基础上，将△EDC绕点C顺时针旋转角度α(0°<α<90°)，其它条件保持不变，得到图2．
①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
②如图3，当AD=AF时，请求出此时旋转角α的大小．
答案和解析
1.D 【解析】∵12022>0，2022>0，|-2022|=2022>0，-2022<0，
∴D选项符合题意，故选：D．
2.A 【解析】A，根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”知(-a)4÷a3=a4÷a3=a4-3=a，符合题意；
B，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知a2⋅a3=a2+3=a5，不符合题意；
C，根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”知(-x3y)2=x6y2，不符合题意；
D，根据完全平方公式知(x-y)2=x2-2xy+y2，不符合题意；故选：A．
3.A 【解析】该几何体的主视图和俯视图相同，均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，俯视图是一个“田”字，故选：A．
4.C 【解析】169200000000=1.692×1011．故选：C．
5.A 【解析】方程化为一般式为x2-2(m+1)x=0，
根据题意得Δ=4(m+1)2-4×0=0，
解得m=-1．故选：A．
6.D 【解析】这次抽样调查的家长有5÷10%=50(人)，即本次调查的样本容量是50，故选项A不合题意；
表示“基本了解”的人数为：50×30%=15(人)，故选项C不合题意；
表示“非常了解”的人数为：50-5-15-20=10(人)，故选项B不合题意；
“比较了解”部分所对应的圆心角是：360°×2050=144°；故选项D符合题意．故选：D．
7.C 【解析】设该商品原来的价格是x元，依题意有：
(1+20%)×(1-10%)x=2160，
解得x=2000．
故该商品原来的价格是2000元．故选：C．
8.D 【解析】∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠1=90°-∠ABC=90°-70°=20°．故选：D．
9.C 【解析】观察表中数据可得该二次函数的对称轴为直线x=1，
∵x=-1时y=0，
根据二次函数的对称性，
∴当x=3时，y=0，
观察表中数据，可知函数为开口向上的二次函数，
∴当-110.D 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，AO=CO，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵BC=AD=2AB，
∴EC=AE=BE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO>AB，
∴OD>AB，故②错误；
∴S▱ABCD=AB⋅AC=AC⋅CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD=1：4，
∴S四边形OECD=32S△AOD，故④正确．
∵AO=OC，BE=EC，
∴AB=2OE，
∵AD=2AB，
∴OE=14AD，故⑤正确，故选：D．
11.x<13
【解析】使21-3x有意义，则1-3x>0，
解得：x<13．故答案为：x<13．
12.-2(答案不唯一)
【解析】当a=-2时，a2=4>1，而-2<1，
∴命题“若a2≥1，那么a≥1”是假命题，
故答案为：-2(答案不唯一)．
13.42°
【解析】∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOB=180°-∠P，
∵∠AOB=180°-∠BOC，
∴∠BOC=∠P=42°，故答案为：42°．
14.10
【解析】连接CP，CE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD，
∵BP=BP，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴AP=CP，
∴PA+PE=CP+PE，
∴当E、P、C三点共线时，CP+PE最小值为CE，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CE=CD2+DE2=(22)2+(2)2=10．
故答案为：10．
15.(2x+1-1)÷x2-2x+12x+2
=2-(x+1)x+1⋅2(x+1)(x-1)2
=2-x-1x+1⋅2(x+1)(x-1)2
=1-xx+1⋅2(x+1)(x-1)2
=21-x，
当x=2+1时，原式=21-2-1=-2．
16.设每个儿童雪车的进货单价为x元，则每个儿童滑雪板的进货单价为(x+30)元，
依题意得：5400x+30=3600x，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的根，且符合题意，
∴x+30=60+30=90．
答：每个儿童雪车的进货单价为60元，每个滑雪板的进货单价为90元．
17.(1)如图，△A1B1C即为所求．
点A1的坐标为(1,5)．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

(3)由勾股定理得，
AA2=42+42=42．
∴平移的距离AA2为42．
18. (1)∵AB//CD(已知)，
∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)，
∵∠1=∠2，∠3=∠4(已知)，
∴∠1=∠2=∠3=∠4(等量代换)，
∴180°-∠1-∠2=180°-∠3-∠4(等量减等量，差相等)，
∴∠5=∠6(等量代换)，
∴m//n(内错角相等，两直线平行)；
(2)如图，

∵∠1=∠2，∠1+∠2+∠MAC=180°，
∴∠2=12(180°-∠MAC)，
同理，∠3=12(180°-∠ACN)，
∵m//n，
∴∠MAC+∠ACN=180°，
∴∠2+∠3=12[(180°-∠MAC)+(180°-∠ACN)]=12×360°-12×(∠MAC+∠ACN)=180°-90°=90°，
∴∠ABC=180°-(∠2+∠3)=90°，
即两平面镜的夹角∠ABC为90°．
19. 【解析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，过点C作CE⊥BD，垂足为E，

由题意得：
CF//EB，
∵山坡CD的坡度i=1：3，
∴CEDE=13=33，
在Rt△CDE中，tan∠CDE=CEDE=33，
∴∠CDE=30°，
∵CF//EB，
∴∠CDE=∠DCF=30°，
∵∠ADB=60°，
∴∠ADC=180°-∠CDE-∠ADB=90°，
∵∠ACF=20°，
∴∠ACD=∠ACF+∠DCF=50°，
在Rt△ACD中，CD=20米，
∴AD=CD⋅tan50°≈20×1.19=23.8(米)，
在Rt△ADB中，AB=AD⋅sin60°=23.8×32≈21(米)，
∴建筑物AB的高度约为21米．
20. (1)∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵∠BAC=32°，
∴∠ABC=58°；
(2)∵AB是直径，CD⊥AB，
∴BC=BD，
∴∠BOD=2∠BAC，
∵∠BAC=32°，
∴∠BOD=64°．
21.【解析】(1)在这次调查中，一共抽取的学生为：40÷72°360∘=200(名)，
故答案为：200；
(2)C的人数为：200-20-80-40=60(名)，
补全条形统计图如下：

(3)1280×80200=512(名)，
答：估计参加B项活动的学生为512名；
(4)画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为416=14．
22. (1)把A(-1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+4，
得a-b+4=016a+4b+4=0，
解得a=-1b=3，
∴该二次函数的表达式为y=-x2+3x+4．
(2)存在，理由如下：
设Q(m,-m2+3m+4)，
当m>0时，如图1，
∵矩形是以BC为边，
∴QK//BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，
过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，
∵CQ=BK，∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠HCQ=∠GBK=45°，
∴△CHQ≌△BGK(AAS)，
∴HC=HQ=BG=GK，
∴m=-m2+3m+4-4，
∴m=2或m=0(舍)，
∴HQ=2，
∴K(6,2)；
当m<0时，如图2，
∵矩形是以BC为边，
∴QK//BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，
设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，
过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，
∵∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠OBH=∠OHB=45°，∠FCO=∠CFO=45°，
∴OF=OC=OB=OH=4，∠HQG=∠EFK=45°，
∵KC=BQ，CF=HB，
∴FK=QH，
∴△QHG≌△KFE(AAS)，
∴QG=HG=EF=EK，
∴-m=-4-(-m2+3m+4)，
∴m=-2或m=4(舍)，
∴GQ=2，
∴K(-6,-2)；
综上所述，K点的坐标为(-6,-2)或(6,2)．
23. (1)证明：∵△ABC与△EDC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC，
∴AE=DB．
∵∠AEB=∠C+∠EBC，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠C=∠EBF=90°，
∴∠AEB=∠DBF．
∵EB=BF，
∴△AEB≌△DBF(SAS)，
∴AB=DF，∠ABE=∠DFB．
∵∠ABE+∠ABF=90°，
∴∠DFB+∠ABF=90°，
∴∠AQF=90°，即AB⊥DF；
(2)①如图2，
延长AE与BD交于点P．
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠DCB．
∵AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．
∵∠AOC=∠BOP，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠CBD+∠BOP=90°，
∴∠APB=90°，即AE⊥BD．
∵∠AEB=∠APB+∠EBD，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠APB=∠EBF=90°，
∴∠AEB=∠DBF．
∵EB=BF，
∴△AEB≌△DBF(SAS)，
∴AB=DF，∠ABE=∠DFB．
∵∠ABE+∠ABF=90°，
∴∠DFB+∠ABF=90°，
∴∠AQF=90°，即AB⊥DF；
②∵AD=AF，AB⊥DF，
∴AB垂直平分DF．
∴BD=BF=BE，
∵EC=DC，BC=BC，
∴△BEC≌△BDC(SSS)，
∴∠ECB=∠DCB=12∠ECD=45°．
∴旋转角α的大小是45°．
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
5
0
-3
-4
-3
…