江苏省常熟市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份江苏省常熟市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x-y-3=0的倾斜角是( )
A. π3B. 2π3C. π4D. 3π4
2.等比数列{an}中，a1=2，a2⋅a3=32，则a4的值为( )
A. 8B. 16C. 32D. 64
3.直线l:x-2y-2=0与圆C:(x-1)2+(y-2)2=9的位置关系是( )
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法判断
4.已知数列{an}满足a1=12，an+1=1-1an，则a2024=( )
A. -1B. 2C. 3D. 12
5.若直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y+4=0平行，则m的值为( )
A. -2B. -2或1C. 1D. -23
6.等差数列{an}的前n项和为Sn，当S11为定值时，2a2+a7+ak也是定值，则k的值为( )
A. 11B. 13C. 15D. 不能确定
7.若点P在直线x+y+3=0上，M是圆x2+y2=1上的动点，N是圆(x-9)2+(y-2)2=16上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为( )
A. 13B. 11C. 9D. 8
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1={an+1,n为奇数,an+2,n为偶数,则S20的值为( )
A. 300B. 29C. 210D. 29-1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 若an=-2n+11，则数列{an}的前5项和S5最大
B. 若等比数列{an}是递减数列，则公比q满足00
D. 已知{an}为等差数列，则数列{Snn}也是等差数列
10.下列结论中正确的是( )
A. 已知直线l过点P(2,3)，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y-5=0
B. 已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y-3)2=1，则圆O和圆C有4条公切线
C. 若直线l:x-y+m=0上存在点P，过点P作圆O:x2+y2=4的切线PA，PB，切点分别为A，B，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围为[-4,4]
D. 已知圆C:(x-6)2+y2=9，点M的坐标为(2,4)，过点N(4,0)作直线l交圆C于A，B两点，则|MA+MB|的取值范围是[8,12]
11.如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C，D，使得AC=DB=14AB，以CD为边在线段AB的上方作一个正方形，然后擦掉 CD，就得到图2;对图2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图3;依此类推，我们就得到以下的一系列图，设为图1，图2，图3，⋯，图n，⋯，各图中线段的长度和为an，数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A. S5=898B. 数列{an}是等比数列
C. 存在正实数m，使得Sn(-1)n⋅m-2对任意的n∈N*成立，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
已知圆O:x2+y2=1和点M(1, 3).
(1)过点M作圆O的切线，求切线的方程;
(2)已知A(2,4)，设P为满足方程PA2+PO2=34的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得PB2PN2为定值?若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值;若不存在，则说明理由;
(3)过点M作直线l交圆O于两个不同的点C，D(线段CD不经过圆心O)，分别在点C，D处作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查直线的倾斜角的定义，属于基础题．
根据斜率直接求出倾斜角即可.
【解答】
解：设直线x-y-3=0的倾斜角α，0≤α0，故C正确；
对于选项D，若{an}为等差数列，则Sn=a1n+n(n-1)2d，∴Snn=d2n+a1-d2，则Sn+1n+1-Snn=d2(为常数)，∴数列{Snn}也是等差数列，故D正确.
故选：ACD.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查截距式方程，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，与圆相关的轨迹问题，两圆的公切线，点到圆上点的最值问题，属于中档题.
对于A，当直线过原点时，直线也满足条件，故可判断A;
对于B，判断两圆的位置关系即可；
对于C，可判断点P的轨迹是圆心为O，半径为OP的圆，又点P在直线l上，故直线l与该圆有公共点，易求出m的取值范围;
对于D，弦AB中点D的轨迹是以NC为直径的圆，求出|MD|的最值，即可求出|MA+MB|的取值范围.
【解答】
解：对于A，当直线过原点时，直线方程为y=32x，满足条件，∴A错误；
对于B，圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0)，半径r1=2，
圆C:(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为C(2,3)，半径r2=1，
则圆心距|OC|= 22+32= 13，又r1+r2=3，
由 13>3，可知|OC|>r1+r2，
∴两圆相离，∴圆O与圆C共有4条公切线，∴B正确;
对于C，连接OA，OB，OP，如图，
则易知四边形OAPB为正方形，
∴|OP|= 2r=2 2，∴点P的轨迹是圆心为O，半径为2 2的圆，
又点P在直线l上，故直线l与该圆有公共点，
∴圆心O到直线l的距离|m| 2≤2 2，∴-4≤m≤4，
∴实数m的取值范围为[-4,4]，∴C正确；
对于D，取AB中点D，连接CD，如图所示：
则CD⊥ND，
∴点D的轨迹是以NC为直径的圆，圆心为G(5,0)，半径r=1，
∵|MG|= (2-5)2+(4-0)2=5，
∴|MG|-r≤|MD|≤|MG|+r，即4≤|MD|≤6，
∴|MA+MB|=2|MD|∈[8,12]，
∴|MA+MB|的取值范围是[8,12]，∴D正确.
故选BCD.
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查数列的通项公式以及数列的单调性，数列的求和公式，同时考查了归纳推理的应用，属于中档题．
an+1-an=22n，利用累加法求出数列{an}的通项公式，可判断BD选项正误；利用等比数列的求和公式可判断A选项的正误，利用数列{Sn}的单调性可判断C选项的正误．
【解答】
解：由题意知，a1=1,a2=a1+2×12,a3=a2+2×122，
以此类推可得an+1-an=22n，
故an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+⋯...+(an-an-1)
=1+221+222+⋯..+22n-1=1+2×12[1-(12)n-1]1-12=3-(12)n-2，
故数列an不是等比数列，故B错误；
S5=3×5-2(1-125)1-12=11+123=898，故A正确；
因为an=3-12n-2>0恒成立，且an单调递增，
则数列Sn单调递增，所以，数列Sn无最大值，
因此，不存在正数m，使得Sn100，
③1+2+4+8+(-2-n)=0，解得：n=13，总共有(1+13)×132+4=95，不满足N>100，
④1+2+4+8+16+(-2-n)=0，解得：n=29，总共有(1+29)×292+5=440，满足N>100，
∴该款软件的激活码440.
故答案为440.
15.【答案】解：(1)设点A'的坐标为(x',y').
因为点A与A'关于直线l对称，所以AA'⊥l，且AA'的中点在l上，
而直线l的斜率是-3，所以kAA'=13.
又因为kAA'=y'-4x'+4,所以y'-4x'+4=13…①．
再因为直线l的方程为3x+y-2=0，AA'的中点坐标是(x'-42,y'+42)，
所以3⋅x'-42+y'+42-2=0…②．
由①和②，解得x'=2，y'=6.所以A'点的坐标为(2,6).
(2)关于点A对称的两直线l与l'互相平行，于是可设l'的方程为3x+y+c=0.
在直线l上任取一点M(0,2)，其关于点A对称的点为M'(x',y')，于是M'点在l'上，且MM'的中点为点A，
由此得x'+02=-4,y'+22=4，即：x'=-8，y'=6.
于是有M'(-8,6).因为M'点在l'上，
所以3×(-8)+6+c=0，∴c=18.
故直线l'的方程为3x+y+18=0.
【解析】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程的求法，对称点的求法，考查计算能力转化思想，是中档题．
(1)设出点A关于直线l的对称点A'的坐标，利用斜率乘积等于-1，中点坐标公式在对称轴上，列出方程组求解即可；
(2)直线l关于点A的对称直线l'，两条直线平行，设出l'的方程，通过直线l上的一点M(0,2)，求出关于A的对称点，代入l'方程，即可求解．
16.【答案】解：(1)已知Sn=2an-2①，
当n=1时，S1=2a1-2，得a1=2，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-2②，
①-②得：an=2an-2an-1，即an=2an-1，
又a1=2≠0，an≠0，则anan-1=2(n≥2,n∈N*)，
所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则an=2n.
因为a2=4b1，所以b1=1，
又由nbn+1-(n+1)bn=n2+n，得bn+1n+1-bnn=1(n∈N*)，
所以{bnn}是首项为1，公差为1的等差数列，则bnn=1+n-1=n，即bn=n2.
(2)由(1)得cn=14n2-1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
则Tn=12(11-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1.
【解析】本题主要考查递推公式、数列的前n项和及Sn与an的关系、裂项相消法求和等，属于中档题.
(1)利用已知条件分别得到anan-1=2(n≥2,n∈N*)和bn+1n+1-bnn=1(n∈N*)即可；
(2)由(1)得cn=12(12n-1-12n+1)，然后利用错位相减法即可.
17.【答案】解：(1)依题意，设圆心C(a,a+1)，半径为r，则|PC|=|QC|=r，
即 (a-3)2+(a+1-2)2= (a-5)2+(a+1-4)2，解得a=3，
所以C(3,4)，r=|PC|=2，得圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(2)设圆C到直线l1的距离为d，由|MN|=2 r2-d2=2 3，得d=1，
若直线l1的斜率不存在，即直线为x=4，符合题意，
若直线l1的斜率存在，设y-1=k(x-4)，即kx-y-4k+1=0，
由圆心C到直线l1的距离为1，即|3k-4-4k+1| k2+1=1，得k=-43，
所以直线方程为4x+3y-19=0，
综上，所求直线l1的方程为x=4或4x+3y-19=0.
(3)依题意设D(m,m+2)，由两圆外切，可知|CD|=3+2=5，
所以 (m-3)2+(m+2-4)2=5，解得m=-1或m=6，
所以D(-1,1)或(6,8)，
所以圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9.
【解析】本题考查了求圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，属于中档题;
(1)依题意，设圆心C(a,a+1)，半径为r，|PC|=|QC|=r，列得关于a的方程，解得即可.
(2)弦长|MN|=2 3可得圆C到直线l1的距离为d=1，分斜率不存在和存在，分别求解即可.
(3)依题意设D(m,m+2)，由两圆外切，可知|CD|=3+2=5，所以 (m-3)2+(m+2-4)2=5，解得m即可.
18.【答案】解：(1)设等差数列{bn}的公差为d，前n项和为An，
则An=nb1+n(n-1)2d=d2n2+(1-d2)n，
所以A2n=2dn2+(2-d)n.
因为{bn}是“和等比数列”，
所以A2n=kAn，即2dn2+(2-d)n=kd2n2+(k-kd2)n，对任意的n∈N*都成立，
所以2d=kd2,2-d=k-kd2,解得k=4,d=2,，
即{bn}的和公比为4.
(2)可知bn=1+2(n-1)=2n-1，则cn=n22n-1，
所以Tn=12+223+325+⋯+n22n-1，
所以122Tn=123+225+⋯+n-122n-1+n22n+1，
所以34Tn=12+123+125+⋯+122n-1-n22n+1=12×[1-(122)n]1-122-n22n+1，
即34Tn=23-3n+43×22n+1，所以Tn=89-3n+49×22n-1.
设Pn=Tn-3n+422n-1=89-3n+49×22n-1-3n+422n-1=89-109×3n+422n-1，
Pn+1-Pn=-109×3n+722n+1+109×3n+422n-1=5(n+1)4n>0.
不等式Tn-3n+422n-1>(-1)nm-2对任意的n∈N*恒成立，
即不等式Pn>(-1)nm-2对任意的n∈N*恒成立.
当n为奇数时，-m-21;
当n为偶数时，m-2