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    2024届江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高三上学期10月质量检测数学试题含解析

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    这是一份2024届江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高三上学期10月质量检测数学试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.集合,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】先解出集合A,B的具体区间,再按照交集的定义求解即可.
    【详解】对于集合A, ;
    对于集合B, ;
    由于 ,
    , ;
    故选:D.
    2.已知,向量,,则“”是“”的( )
    A.必要不充分条件B.充分不必要条件
    C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【分析】首先利用向量平行的坐标表示求,再根据充分,必要条件的定义判断.
    【详解】若向量,则,即
    解得:或,
    所以“”是“”的充分不必要条件.
    故选:B
    3.,,,且三点共线,则=( )
    A.8B.4C.2D.1
    【答案】A
    【分析】由已知可求,由三点共线得,根据向量共线的定理即可求出的值.
    【详解】由题得,
    因为三点共线,
    所以,
    所以存在实数,使得,
    所以,
    所以,解得.
    故选:A
    4.若数列的前项和为,且,则( )
    A.684B.682C.342D.341
    【答案】B
    【分析】根据等比数列求和公式以及并项求和法得出结果.
    【详解】,,,,,
    所以.
    故选:B.
    5.在下列关于直线与平面的命题中,真命题是( )
    A.若,且,则B.若,且,则
    C.若,且,则D.若,且,则
    【答案】B
    【分析】利用线面垂直的判定条件说明、推理判断AB;利用线面平行的判定说明判官CD作答.
    【详解】对于A,,当平面的交线为时,满足,此时,A错误;
    对于B,由,得存在过直线的平面,,由于,
    则平面与平面必相交,令,于是,
    显然,而,则,同理,又是平面内的两条相交直线,因此,B正确;
    对于C,平面为一正三棱柱的两个侧面所在平面,直线为底面正三角形的一边所在直线,
    显然,与平面不平行,C错误;
    对于D,,令,当直线在平面内,且时,满足,此时不成立,D错误.
    故选:B
    6.如图,有一古塔,在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处,塔顶C的仰角为30°,在A的正东方向且距D点60的B点测得塔底位于北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面),则塔的高度CD约为( )(参考数据:)
    A.38mB.44mC.40mD.48m
    【答案】D
    【分析】转化为解三角形问题,利用正弦定理、直角三角形的性质进行求解.
    【详解】如图,根据题意,平面ABD,,,,.
    在中,因为,所以,
    所以.在中,.
    故A,B,C错误.
    故选:D.
    7.如图,在中,M为线段的中点,G为线段上一点,,过点G的直线分别交直线,于P,Q两点,,,则的最小值为( ).
    A.B.C.3D.9
    【答案】B
    【分析】先利用向量的线性运算得到,再利用三点共线的充要条件,得到,再利用基本不等式即可求出结果.
    【详解】因为M为线段的中点,所以,又因为,所以,
    又,,所以,
    又三点共线,所以,即,
    所以,
    当且仅当,即时取等号.
    故选:B.
    8.已知函数,若函数有6个不同的零点,且最小的零点为,则( ).
    A.6B.C.2D.
    【答案】B
    【分析】根据函数图象变换,画出图像,找到对称轴,进而数形结合求解即可.
    【详解】由函数的图象,经过翻折变换,可得函数的图象,
    再经过向右平移1个单位,可得的图象,
    最终经过翻折变换,可得的图象,如下图:
    则函数的图象关于直线对称,

    因为函数最小的零点为,且,
    故当时,方程有4个零点,
    所以,要使函数有6个不同的零点,且最小的零点为,则,或,
    所以,关于方程的两个实数根为
    所以,由韦达定理得,
    故选:B
    【点睛】本题解题的关键点在于数形结合,将问题转化为关于方程的两个实数根为,进而得.
    二、多选题
    9.若复数(为虚数单位),复数的共轭复数为,则下列结论正确的是( )
    A.复数所对应的点位于第一象限B.
    C.D.
    【答案】AC
    【分析】通过复数中,对复数进行化简,可以判断A选项;通过共轭复数的定义得到,可判断B选项;通过复数的乘除运算法则可判断C、D选项.
    【详解】因为,所以,
    所以,
    对于A,复数在复平面内对应的点在第一象限,故A正确;
    对于B,由,可得,故B错误;
    对于C,,故C正确;
    对于D,,故D错误.
    故选:AC
    10.在中,内角的对边分别为,且,,则角的大小是( )
    A.B.C.D.
    【答案】AD
    【分析】由可得,进而利用可得结合内角和定理可得C值.
    【详解】∵,
    ∴,
    由,可得,
    ∵,∴
    ∴,即
    解得,又
    ∴或,即或
    故选:AD
    11.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个半圆,设圆锥的顶点为,,是底面圆周上的两个不同的动点,给出下列四个结论,其中成立的是( )
    A.圆锥的侧面积为
    B.母线与圆锥的高所成角的大小为
    C.可能为等腰直角三角形
    D.面积的最大值为
    【答案】BD
    【分析】根据给定条件,求出圆锥的母线长,再逐项分析判断作答.
    【详解】由圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个半圆,得,则,
    对于A,圆锥侧面积为,A错误;
    对于B,圆锥底面圆直径为2,即圆锥轴截面三角形为等边三角形,则母线与圆锥的高所成角的大小为,B正确;
    对于C,由选项B知,等腰的顶角满足:,则不可能为等腰直角三角形,C错误;
    对于D,面积,D正确.
    故选:BD
    12.同学们,你们是否注意到,自然下垂的铁链;空旷的田野上,两根电线杆之间的电线;峡谷的上空,横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上,这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为(其中,是非零常数,无理数),对于函数以下结论正确的是( )
    A.是函数为偶函数的充分不必要条件;
    B.是函数为奇函数的充要条件;
    C.如果,那么为单调函数;
    D.如果,那么函数存在极值点.
    【答案】BCD
    【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB;利用导数,分类讨论函数的单调性,结合极值点的概念即可判断CD.
    【详解】对于A,当时,函数定义域为R关于原点对称,
    ,故函数为偶函数;
    当函数为偶函数时,,故,
    即,又,故,
    所以是函数为偶函数的充要条件,故A错误;
    对于B,当时,函数定义域为R关于原点对称,
    ,故函数为奇函数,
    当函数为奇函数时,,
    因为,,故.
    所以是函数为奇函数的充要条件,故B正确;
    对于C,,因为,
    若,则恒成立,则为单调递增函数,
    若则恒成立,则为单调递减函数,
    故,函数为单调函数,故C正确;
    对于D,,
    令得,又,
    若,
    当,,函数为单调递减.
    当,,函数为单调递增.函数存在唯一的极小值.
    若,
    当,,函数为单调递增.
    当,,函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值.
    所以函数存在极值点,故D正确.
    故答案为:BCD.
    三、填空题
    13.已知是定义域为的奇函数,当时,,则 .
    【答案】-2
    【分析】利用函数的奇偶性和区间内的函数解析式求值.
    【详解】是定义域为的奇函数,当时,,
    则有.
    故答案为:-2
    14.函数在上单调递增,则的最大值为 .
    【答案】
    【分析】由得到,结合正弦函数图象得到不等式组,求出,,利用,求出,从而得到,得到答案.
    【详解】,则,
    因为,所以要想在上单调递增,
    需要满足且,,
    解得:,,
    所以,解得:,
    因为,所以,
    因为,所以,
    的最大值是.
    故答案为:.
    15.已知正方体的棱长为2,、分别为、的中点,则过、、三点的平面截该正方体所得截面图形的周长为 .
    【答案】
    【分析】先通过辅助线作出截面图形,根据长度和比值可求截面的周长.
    【详解】如图延长直线,分别交,的延长线于点,,连接,,分别交,,于点,,连接,,则五边形为所得截面,
    又正方体的棱长为2,、分别为、的中点,
    所以,
    平面平面,所以平面与以上两个平面的交线,
    所以,,,
    所以,.
    在中,所以,
    在中,所以.
    同理可得,.
    则五边形周长为.
    16.如图所示,在直角梯形ABCD中,已知,,,,M为BD的中点,设P、Q分别为线段AB、CD上的动点,若P、M、Q三点共线,则的最大值为 .
    【答案】
    【分析】建立直角坐标系,设,,由P、M、Q三点共线,设,求得,代入计算知,构造函数,,结合函数的单调性求得最值.
    【详解】如图所示,建立直角坐标系,则,,,,,
    又Q是线段CD上的动点,设,
    则,可得
    设,,
    由P、M、Q三点共线,设
    利用向量相等消去可得:,
    令,,则在上单调递减,
    故当时,取得最大值
    故答案为:
    【点睛】方法点睛:本题考查向量的坐标运算,求解向量坐标运算问题的一般思路:
    向量的坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算可用坐标进行,实现了向量坐标运算完全代数化,将数与形紧密的结合起来,建立直角坐标系,使几何问题转化为数数量运算,考查学生的逻辑思维与运算能力,属于较难题.
    四、解答题
    17.在梯形中,,,,.
    (1)求的值;
    (2)若的面积为4,求的长.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)由已知结合正弦定理即可直接求解;
    (2)由已知结合和差角公式及三角形面积公式可先求,然后结合余弦定理可求.
    【详解】(1)解:在中,,,
    由正弦定理得,则;
    (2)解:因为,为锐角,所以,
    所以,
    又为锐角,所以,
    因为,所以,
    由余弦定理得,
    所以.
    18.已知数列的首项,其前项和为,且,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设,求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)消去和式得递推公式,从而利用等比数列定义及通项公式即可求解;
    (2)利用错位相减法求和即可.
    【详解】(1)已知,
    当时,,即,由,解得.
    当时,,
    则相减得.
    当时,也成立.
    所以对于都有成立.
    上式化为,所以是等比数列,首项为4,公比为3,
    则,即.
    (2)因为,
    则,
    两式相减得,

    所以.
    19.如图为函数的部分图象.

    (1)求函数解析式和单调递增区间;
    (2)若将的图像向右平移个单位,然后再将横坐标压缩为原来的倍得到图像,求函数在区间 上的最大值和最小值.
    【答案】(1),,
    (2)最大值,最小值
    【分析】(1)由图象,先求,再求出,然后代入最值点求即可得的解析式,最后整体代入法解出递增区间即可;
    (2)由题意图象变换得到,求出整体角的范围,转化为求正弦函数的最值即可.
    【详解】(1)由图象知,,
    又则,
    则,将代入得,,
    得,解得,
    由,得当时,,
    所以.
    令,,
    得,,
    所以的单调递增区间为.
    (2)将的图像向右平移个单位得

    然后再将横坐标压缩为原来的倍得到的图像.
    已知,则,则.
    故当时,最小值为;
    当时,的最大值为.
    20.如图所示,四棱锥的底面为正方形,顶点P在底面上的射影为正方形的中心为侧棱的中点.

    (1)求证:平面;
    (2)若,四棱锥的体积为,求与平面所成角.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2);
    【分析】(1)利用三角形中位线结合线面平行的判定定理进行证明;
    (2)构建空间直角坐标系,然后利用法向量求解与平面所成角.
    【详解】(1)
    连接,因为底面是正方形,且顶点P在底面上的射影为正方形的中心,
    所以,
    又因为点是中点,
    所以由三角形中位线定理可得;
    因为平面,平面,
    所以平面;
    (2),
    解得:
    以故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

    由已知可得

    设平面的一个法向量是.
    由,得,
    令,则,
    所以与平面所成角的正弦值为,
    所以与平面所成角为.
    21.已知向量.
    (1)当时,函数取得最大值,求的最小值及此时的解析式;
    (2)现将函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.已知是函数与图象上连续相邻的三个交点,若是锐角三角形,求的取值范围.
    【答案】(1),
    (2)
    【分析】(1)根据数量积的坐标公式结合辅助角公式化简,再根据余弦函数的最值即可得解;
    (2)先根据平移变换得到函数的解析式,作出两个函数的图象,不妨设在轴下方,为的中点,根据,求得,再由为锐角三角形时,只需要即可,即可得解.
    【详解】(1)

    当时,函数取得最大值,即,
    解得,且,则,
    此时;
    (2)由函数的图象沿轴向左平移个单位,
    得到,
    由(1)知,作出两个函数图象,如图:

    为连续三交点,(不妨设在轴下方),为的中点,
    由对称性可得是以为顶角的等腰三角形,
    根据图像可得,即,
    由两个图像相交可得,即,化简得,
    再结合,解得,
    故,可得,
    当为锐角三角形时,只需要即可,
    由,
    故的取值范围为.
    【点睛】关键点点睛:作出两个函数的图象,根据,求出等腰三角形底边上的高是解决本题的关键.
    22.已知函数.
    (1)若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围;
    (2)若函数有两个不同的极值点,,当时,求证:.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【分析】(1)将问题转化为方程在上有两个不同根.构造函数,即可利用导数求解函数的单调性,进而可求解.
    (2)将问题转化为,根据极值点将问题进一步转化为在上恒成立. 构造函数,利用导数求解单调性,即可求证.
    【详解】(1)由题意知,方程在上有两个不同根,
    即方程在上有两个不同根,即方程在上有两个不同根.
    令,,则,
    则当时,,时,,
    则函数在上单调递增,在上单调递减,所以.
    又因为,当时,,当时,,
    所以的取值范围为.
    (2)证明:即证,两边取对数,等价于要证,

    可知,分别是方程的两个根,
    即,,
    所以原式等价于.
    因为,,所以原式等价于要证明.
    又由,作差得,,即,
    所以原式等价于,令,,
    则不等式在上恒成立.
    令,,又,
    当时,时,,所以在上单调递增.
    又,,所以在恒成立,所以原不等式恒成立.
    【点睛】方法点睛:利用导数证明或判定不等式问题:
    1.通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性与极值(最值),从而得出不等关系;
    2.利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题,从而判定不等关系;
    3.适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论,从而判定不等关系;
    4.构造“形似”函数,变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.
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