[数学]黑龙江省齐齐哈尔市多校2025届高三上学期第一次联考(月考)试题(解析版)

这是一份[数学]黑龙江省齐齐哈尔市多校2025届高三上学期第一次联考(月考)试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A. 7B. 8C. 31D. 32
【答案】A
【解析】由题得，
所以，有是三个元素，所以真子集个数为.
故选：A.
2. 已知，，则“，”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】因为，，则“，，所以，
所以“，”是“”的充分条件；
当，可满足，
所以“，”是“”的不必要条件.
故选：A
3. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A. 3.8小时B. 4小时C. 4.4小时D. 5小时
【答案】B
【解析】由题意可知，即有，
令，则有，解得，
，故还需要4小时才能消除至最初的.
故选：B.
4. 若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的值域为，
则函数的值域应包含，
则有，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D.
5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】点在幂函数的图象上，则有，
解得，有，则在R上单调递增.
由，，
则，所以，
即.
故选：C.
6. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，当时，恒成立，即恒成立，
即有在上恒成立，令，则，
故当时，，当，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即，即有；
当时，，
由题意可得，当，，当，，
则有当，，当，，
分别解得，，即；
综上所述：.
故选：D.
7. 设函数,的零点分别为、,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得是函数的图象和的图象的交点的横坐标，
是的图象和函数的图象的交点的横坐标，且，都是正实数，如图所示：
故有，故，，
，，
故选：B．
8. 已知，，，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，且，
因此，
令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数与是相同的函数
B. 函数的最小值为6
C. 若函数在定义域上为奇函数，则
D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意可得，解得，所以的定义域为，．
由得，所以的定义域为,．
又因为，故函数与是相同的函数，故A正确．
对于B,，当且仅当时取等号．由于方程无解，故等号不成立，故B错误．
对于C,若为定义域上为奇函数，故定义域需要满足，则，
否则，定义域不关于原点对称，进而可得定义域为,
故，解得，经检验符合题意，故C正确，
对于D，对于已知函数f2x+1的定义域为，则，故，则函数的定义域为，D正确，
故选：ACD．
10. 若，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为，且，所以，
所以，即，故A正确；
因为，，所以，故B错误；
因为，所以，故C正确；
当时满足题设条件，但不成立，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若在上单调递增，则的取值范围是
B. 点为曲线的对称中心
C. 若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是
D. 若存在极值点，且，其中，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由，可得，
若在上单调递增，则对恒成立，
所以对恒成立，
所以对恒成立，
所以，所以的取值范围是，故A错误；
对于B，由，可得，
又，
所以，令，
又，所以关于原点对称，
所以点为曲线的对称中心，故B正确；
对于C ，因为，，
所以，
所以，
设切点为，则切线的斜率，
化简得，
由条件可知该方程有三个实根，所以有三个实根，
记，所以，
令，解得或，
当，，所以在上单调递增，
当，，所以在上单调递减，
当，，所以在上单调递增，
当时取得极大值，当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，因为
，
所以，
当，在上单调递增；
当，由，解得或，
由，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
因存在极值点，所以，得，
令，所以，因为，于是，
又
，
所以
化简得：，
因为，所以，于是，.所以，故选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. _________.
【答案】
【解析】
．
13. 已知函数y=x称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集为______；当时，的最大值为______.
【答案】
【解析】由，即，解得，
又x表示不超过的最大整数，故；
当x∈0,1时，，则，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，的最大值为.
14. 设函数，若，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】当时，，则，即，
当时，，则，即，
即有，即，
则，令，，
，
则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，即的最小值为.
四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，.
（1）若，求和；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）若，则，
，
则，；
（2）由，则，
当时，即恒成立，即；
当时，即时，，
由，
则有或，分别解得，无解，故；
综上所述：.
16. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求，的值；
（2）若，，且，求的最小值.
解：（1）不等式的解集为，
和是方程的两个实数根，且，
，解得；
（2）由（1）知，
于是有，，，
所以
当且仅当且，即等号成立，
故的最小值为
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
解：（1），
当时，恒成立，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
则当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在、上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在、上单调递增，在上单调递减；
（2）由题意可得对任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意的恒成立，
令，，则，
当时，恒成立，
故在上单调递增，则，符合要求；
当时，令，解得，
即当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即，则有，
令，即，令，，
则，即在上单调递减，
即，即当时，恒成立，不符合要求；
综上所述，.
18. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求的值，并证明：在上单调递增；
（2）求不等式的解集；
（3）若在区间上的最小值为，求的值.
（1）证明：是定义域为上的奇函数，
，，，，
此时，
经检验，符合题意；
函数的定义域为，在上任取，，且，
函数在上单调递增，
（2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数，
由可得，
，即，
或，
不等式的解集为或；
（3），，
．
令，，，
，
当时，当时，，则（舍去）；
当时，当时，，解得，符合要求，
综上可知或．
19. 已知函数.
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若恰有两个极值点，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
（1）解：当时，，，
，则，
则的图象在处的切线方程为，即；
（2）（i）解：，
令，由恰有两个极值点，，
则有两个不同实数根，，且，
则有，即；
（ii）证明：由（i）知，，且，，
则
，
则要证，即证，
即，
令，
，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，
又，，
故存在，使，即，
则当时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
由，则，
即，即，
即可得证：.