上海市敬业中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题（学生版+教师版）

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（满分150分， 考试时间120分钟）
考生注意：
1.答卷前，考生务必将姓名、班级、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
2.本试卷共21道试题，请考生用黑色水笔在答题卷的相应位置作答，写在试卷上的解答一律无效.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1. 已知集合，若，则_____．
【答案】
【解析】
【详解】因为集合，且，所以，故答案为.
2. 不等式的解集是______________．
【答案】
【解析】
【详解】或.
即答案为.
3. 同时掷两颗骰子，则所得点数相等的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出同时掷两颗骰子的基本事件数、及两颗骰子的点数相等的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】同时掷两颗骰子包括的基本事件共种，
掷两颗骰子的点数相等包括的基本事件为种，
故所求的概率；
故答案为：
4. 如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，若圆锥体积为，则圆锥的侧面积为_____
【答案】
【解析】
【分析】设，可根据等腰直角三角形用表示出母线长和底面半径；利用圆锥体积构造方程求得，再根据圆锥侧面积公式求得结果.
【详解】设，则底面圆半径为
为等腰直角三角形，，
圆锥体积，
圆锥侧面积
故答案为
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解问题，涉及到圆锥体积公式的应用；关键是能够通过体积构造方程求得底面半径和圆锥的母线长.
5. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第50百分位数是______.
【答案】55
【解析】
【分析】先将茎叶图中的数据还原成从小到大排列的一列数，根据百分位数的求法求解即可.
【详解】根据茎叶图中的数据从小到大排列为：42，47，54，55，58，70，96，共7个数据；
且，这组数据的第4个数据即为所求的第50百分位数，即为55.
故答案是：55.
6. 的展开式中的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理及通项公式即可求解.
【详解】由题意可知，展开式的通项公式为，其中
所以展开式中含的项为，
即含项的系数为.
故答案为：.
7. 已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，根据题意，得到，从而联立椭圆方程求得，由此得解.
【详解】由椭圆，可得，，所以，
设，因为，则，
所以，则，
又因点在椭圆上，可得，
联立方程组，解得，即，
所以点到轴的距离为.
故答案为：．
8. 在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据线面角的定义得即为直线与平面所成的角，在中由可得结果.
【详解】连接，因为在正四棱柱 中，所以平面，
所以为直线在平面内的射影，
所以即为直线与平面所成的角，即
设正四棱柱的高为h，又，在中，，
解得，
故答案为：.
9. 设直线与圆相交于A,B两点，且弦AB的长为，则=_____.
【答案】0
【解析】
【分析】由已知可得圆心到弦的距离为1，利用点到直线的距离公式可得a的值.
【详解】解：由直线与圆相交于A,B两点，且弦AB的长为，可得圆心到弦的距离为1，
可得，
故答案：0
【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质及点到直线的距离公式，相对简单.
10. 已知､､､…､是抛物线上不同的点，点，若，则___________
【答案】40
【解析】
【分析】设，分别过，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，利用抛物线的定义可得，从而可求得结果.
【详解】设，分别过，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
､､､…､是抛物线上不同的点，点,准线为，
.
,
,
.
故答案为：40.
11. 已知分别是双曲线的左右焦点，过且倾斜角为的直线交双曲线的右支于，若，则该双曲线的渐近线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，由双曲线的定义和直角三角形中的性质，可得m，n的关系，由a，b，c的关系可得b，再由双曲线的渐近线方程即可得到所求．
【详解】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，
在直角△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
可得m＝2n，
则m﹣n＝2a＝n，即an，
2cn，即cn，
bn，
可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，
即为y＝±x，
故答案为：y＝±x．
【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和解直角三角形，考查运算能力，属于中档题．
12. 若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意研究，，三个函数图象的关系，进而转化为对恒成立即可求解答案.
【详解】如图所示，若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，
则直线在时位于上方（可重合），且位于下方（可重合），
又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意，
由，得，此时直线为，则，即对恒成立，
则，则，即实数m的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的应用问题.本题的关键点在于将原不等式转化为三个函数图象的关系，结合三次函数的凹凸性进一步转化为对恒成立，再通过求解最值得到答案.本题考查转化与化归能力，数形结合能力，属于中难题.
二. 选择题 （本题共20分， 第13，14题每小题4分， 第15，16题每小题5分）
13. 下列说法正确的是( ).
A. 函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值.
B. 函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值.
C. 函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值.
D. 函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值.
【答案】B
【解析】
【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断．
【详解】如图为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象：
对于选项A：极大值极小值，故A错误；
对于选项B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正确；
如图所示，函数f(x)在区间[a，b]上的极大值，而不是最大大值，故C错误；同时，最大值不是极大值，故D也错误．
故选：B.
14. 正方体中，为线段，上的一个动点，则下列错误的是（ ）
A. B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值D. 直线直线.
【答案】D
【解析】
【分析】结合正方体的性质，利用线面平行和垂直的性质定理和判定定理分别进行判断证明．
【详解】解：．在正方体中，，，，
面，
面，
，正确．
．平面，平面成立．即正确．
．三棱锥的底面为定值，锥体的高为定值，锥体体积为定值，即正确．
．，直线错误．
故选．
【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．
15. 已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（ ）
A. 一个离心率为的椭圆上B. 一个离心率为2的双曲线上
C. 一个离心率为的椭圆上D. 一个离心率为的双曲线上
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出圆的圆心坐标，依题意可得直线过圆的圆心，从而得到，即可得到点所满足的曲线方程，再求出离心率.
【详解】圆圆心为，
依题意可知直线过圆的圆心，则，
所以点必在双曲线即上，且该双曲线的离心率．
故选：D.
16. 有两个关于函数（为自然对数的底）的命题：①该函数在定义域上是单调函数；②该函数在区间上不存在零点，其中（ ）
A ①真､②真B. ①假､②假C. ①真､②假D. ①假､②真
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的导函数恒大于零结合函数的定义域，可知函数有两个单调递增区间，但根据函数值的变化，函数在定义域上不具有单调性，可知①假；根据函数的单调性，结合当时，，，则可知②假的.
【详解】因为函数，其定义域为，
则恒成立，故函数在上是单调递增,在单调递增，
当，，，故函数在定义域内不具有单调性；
当时，，故该函数在区间上不存在零点，
当时，，
故时，，又，
故存在，使得，
所以①假，②假，
故选：
三.解答题 （本题共76分）
17. 已知集合，集合，
（1）求集合B（用区间表示）
（2）若，求实数a的取值范围；
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对于集合B，需对分与讨论；
（2）可求得集合，利用，通过解不等式即可求得a的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以当时，，
当时，.
【小问2详解】
因为，
当时，，满足；
当时，，由，得，故，
综上，得实数a的取值范围为.
18. 长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=BC=2，直线A1C与平面ABCD所成角为.
（1）求三棱锥A﹣A1BD的体积；
（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小.
【答案】（1）；（2）arccs.
【解析】
【分析】（1）推导出AA1=AC=2，然后利用等体积法,由求解；
（2）由A1DB1C，得到∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成角(或所成角的补角)求解.
【详解】（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=BC=2，直线A1C与平面ABCD所成角为，
∴AA1=AC，
∴三棱锥A﹣A1BD的体积为：
.
（2）∵A1DB1C，
∴∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成角(或所成角的补角)，
∵A1B=A1D，BD，
∴cs∠BA1D，
∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccs.
19. 设函数
（1）求出的所有单调区间;
（2）对于任意的 使得 恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）单调减区间为，.
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数的导数可得函数的单调区间；
（2）将对任意的都有恒成立，转换成求的最大值可得实数m的取值范围.
【小问1详解】
的定义域为，，
因为恒成立，所以单调减区间为，.
【小问2详解】
令,或.
因为在单调递减，所以时，，时，.
且
所以使得 ，恒成立，只需即可.
故实数m取值范围为.
20. 已知函数．
（1）当时，求函数的图像在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）证明：当时，．
【答案】（1）.
（2）见解析. （3）见解析.
【解析】
【分析】（1）当时, ，求出，，即可写出点处的切线方程.
（2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调区间.
（3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可.
【小问1详解】
当时, ，所以.
得，点处的切线斜率为，
所以函数的图像在点处的切线方程为：.
【小问2详解】
由得，
当时，恒成立，则在R上单调递减；
当时，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述，
当时， 在R上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
小问3详解】
由（2）可知，当时，
的最小值.
要证，
只需证
只需证
设
则，
令得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，
所以得证，
即得证.
21. 设点， 分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 与向量 平行.
（1）求椭圆C的方程;
（2）当 时，求点N的坐标；
（3）当 时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的简单性质可得，解得即可；
（2）可设，根据向量的数量积坐标运算即可求出点的坐标；
（3）向量与向量平行，不妨设，设，，根据坐标之间的关系，求得的坐标，再根据向量的模，即可求出的值，根据斜率公式求出直线的斜率，根据直线平行和点斜式即可求出直线方程.
【小问1详解】
点、分别是椭圆的左、右焦点，，，
椭圆上的点到点的距离的最小值为，，
解得，椭圆的方程为；
【小问2详解】
由（1）可得，，
由点是椭圆上位于轴上方的点，可设，，
，，
，，即，
解得，，；
【小问3详解】
向量与向量平行，，由题意，
又，，即，
设，，，，，
，，
，
，，，
，
，，，
解得，或（舍去），
，
，，
，直线的方程为，
即为.
【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量的运算及斜率公式，解题的关键是利用向量的共线的运算的坐标运算及模的坐标公式求解点N的坐标，简化了运算过程，属于较难题.