山东省泰安市宁阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数除法化简，然后由复数几何意义可得答案.
【详解】因为，
所以，复数对应点为，位于第一象限.
故选：A
2. 已知，则等于（ ）
A. 10B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.
【详解】由向量，可得，
所以.
故选：B.
3. 在中，为边上的中线，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
4. 在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（ ）.
A 4B. 5C. 6D. 6或
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理化简可得，再结合条件即可求得答案.
【详解】由得，即，
又，，故，（舍），
故选：C
5. 在复数范围内方程的根为（ ）
A. 和1B. 和5C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可.
【详解】由，则方程的根为.
故选：D
6. 在中，若，且，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解.
【详解】，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
7. 如图，在山脚测得山顶仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则山高（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，根据正弦定理求得，结合，即可求解.
【详解】在中，，
由正弦定理得，可得，
过点作，可得
所以.
故选：D.

8. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设向量，的夹角为，求得的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域等知识求得正确答案.
【详解】设向量，的夹角为，则，
因为，
所以，
令，则，
因为，所以，又，所以.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，下列结论正确的有（ ）
A. B. 若，则
C D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘法运算及共轭复数的概念判断选项D.
【详解】设，
对于A，，，故选项A正确；
对于B，因为，
则，则或，
所以中至少有一个0，即或，故选项B不正确；
对于C，由复数模的运算性质可知，
，
=，
所以，故选项C正确；
对于D，当，则，
可得，解得，即，
所以，故选项D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则，且四点构成平行四边形
B. 若为非零实数，且，则与共线
C. 在中，若有，那么点一定在的平分线所在直线上
D. 若向量，则与的方向相同或相反
【答案】BC
【解析】
【分析】根据相等向量的定义即可判断A；根据平面向量共线定理即可判断B；根据平面向量加法的平行四边形法则即可判断C；根据共线向量的定义即可判断D.
【详解】对于A，若，则，
则，故四点共线或构成平行四边形，故A错误；
对于B，若为非零实数，且，
则，所以与共线，故B正确；
对于C，设分别是与方向相同的单位向量，
则，
设，则，
所以，又为公共始点，所以三点共线，
因为，所以平行四边形为棱形，
所以平分，
所以点一定在的平分线所在直线上，故C正确.

对于D，若向量，当时，此时的方向是任意的，故D错误.
故选：BC.
11. 如图，直线与的边分别相交于点，设，则（ ）
A. 的面积B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，由正弦定理和面积公式求出A正确；B选项，，由正弦定理得到B错误；CD选项，利用向量加法法则得到，进而由数量积的运算法则得到答案.
【详解】A选项，由正弦定理得，即，
的面积，A正确；
B选项，因为，所以，
由正弦定理得，B错误；
CD选项，因为，所以，
即，
故，
即，
所以，C错误，D正确，
故选：AD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，，则在方向上的投影向量是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设与方向相同的单位向量为， 则在方向上的投影向量与共线，可用表示,由已知表示单位向量，并求出可得所求向量.
【详解】设与方向相同的单位向量为，则，
则在方向上的投影向量为.
故答案为：.
13. 在中，，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据正弦定理得到三边的比例，再根据余弦定理求出角，进而可得.
【详解】因为，
由正弦定理得，
不妨设，则，，
由余弦定理得：，
因，所以，
，
故答案为：
14. 已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为_______.
【答案】14
【解析】
【分析】由，根据复数减法的几何意义将问题转化为点的距离问题，然后结合图形可解.
【详解】，
记，对应点为，对应点为，复平面原点为，
由可知，点在单位圆上，
由复数减法的几何意义可知，表示点的距离，
易知，，
因为，
所以，故的最大值为14.
故答案为：14
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，，试求：
（1）；
（2）与的夹角.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用数量积即可求得的值；
（2）利用向量的夹角公式即可求得与的夹角.
【小问1详解】
由，可得，则，
即，又，，则，
则
【小问2详解】
，
又，则，
故与夹角为.
16. 设复数．
（1）若是实数，求；
（2）若是纯虚数，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用复数的加法及复数的分类求出，再利用复数乘法求解即得.
（2）利用复数除法及复数的分类求出即得.
【小问1详解】
由，得，而是实数，
于是，解得，
所以．
【小问2详解】
依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
17. 已知，.
（1）若，且、、三点共线，求的值.
（2）当实数为何值时，与垂直？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由、、C三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；
（2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，，
且、、三点共线，则可得，
即，
解得；
【小问2详解】
由题意可得，，
因为与垂直，则可得,
解得.
18. 在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知中，，
故，即,
即,
所以，而，
故，即，
又，故；
【小问2详解】
由于点是上的点，平分，且，
则，
由，得，
即，则，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
所以，
即面积的最小值为.
19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线．
（1）求的范围
（2）求的最小值，
（3）若，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）解法主要是将所给条件通过数量积运算实数化进而通过实数运算结合基本不等式求解即可；解法将向量问题坐标化，进而通过实数运算结合不等式求解即可.
（2）解法将向量通过模运算及数量积公式实数化，进而转为实数运算，结合不等式解出答案；解法通过坐标法和数量积运算将问题转化为实数运算问题，结合不等式求解即可；解法主要是根据题意设参数，再根据数量积运算结合三角函数、不等式求最值.
（3）解法1主要是通过平面向量基本定理选择基底表示向量，再设参数结合不等式求解；解法通过坐标法将问题实数化，进而求出参数最值；解法设参数两个参数，由向量相等得出它们的三角表示，再由三角函数性质结合不等式求解即可.
【小问1详解】
，
，
为锐角，，
解法一：
.
取的中点为，，
.
解法二：以为原点，以为轴，建立直角坐标系，
，
，
，，
，
.
故小问1答案为：.
【小问2详解】
解法一：由题意知：
，
，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系设点，则，
，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
解法三：
设，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为．
故小问答案为：
【小问3详解】
解法一：由题意知：
令，则原式
当且仅当即，等号成立，的最小值为
解法二：由题意知：
以为原点，以为轴，建立直角坐标系
三点共线
，
，
，
，
，
.
解法三：由题意知：
，
，
，
下同解法二.
故小问答案为：.
【点睛】方法点睛：建立直角坐标系，将向量问题坐标化进而通过实数运算求解即可.