2023届广东省广州市执信中学高三上学期11月月考数学试题含解析

2023届广东省广州市执信中学高三上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，再由交集的定义即可得出答案.

【详解】，，

所以.

故选：C.

2．已知是虚数单位，，则（    ）

A．10 B． C．5 D．

【答案】C

【分析】由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案．

【详解】；

；

故选：C

【点睛】本题考查复数的模的求解，涉及复数的代数形式的乘除运算，属于基础题．

3．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（    ）（参考数据：，，）

A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟

【答案】C

【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.

【详解】根据题意，，即

设茶水从降至大约用时t分钟，则，

即，即

两边同时取对数：

解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.

4．已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用等比数列性质求出，进而求出公比的取值范围并用表示出，然后根据对勾函数的性质即可求解.

【详解】由等比数列性质可知，，

因为，所以，

从而

不妨令，则，

由对勾函数性质可知，在上单调递减，

故对于，，，

从而，则.

故的取值范围为.

故选：D.

5．将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为先减后增数列的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，求出这五个数随机排成一列组成一个数列的所有可能情况，该数列为先减后增，可知1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，结合1前面的情况，分类讨论求出满足条件的情况数，最后根据古典概型求出概率即可．

【详解】解：将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，

则所有可能情况有种情况，

由于该数列为先减后增，

则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，

当1前面只有一个数时，有4种情况，

当1前面只有2个数时，有种情况，

当1前面有3个数时，有4种情况，

故一共有，

故数列为先减后增数列的概率．

故选：B．

【点睛】本题考查数学排列问题，考查分类加法计数原理、排列和组合在实际问题中的应用，以及古典概型的概率的公式，考查分类讨论思想和运算能力．

6．函数的一条对称轴方程为，则（ ）

A．1 B． C．2 D．3

【答案】B

【详解】试题分析：的对称轴是化简得

【解析】三角函数性质

点评：利用对称轴处取最值求解

7．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】，令，利用导数求出函数的单调区间，令，利用导数求出函数的单调区间，从而可得出和的大小，从而可得出的大小关系，将两边同时取对数，然后作差，从而可得出的大小关系，即可得出结论.

【详解】解：，，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

即，

所以，

即，所以，

由，得，

由，得，

，

因为，

所以，所以，

所以，即，

所以，

综上所述.

故选：A.

【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.

8．定义在R上的函数 满足： 的对称轴为 ， ，且在区间 上单调递增，已知 是钝角三角形中的两锐角，则 和 的大小关系是（　　）

A． B．

C． D．以上情况均有可能

【答案】A

【分析】由题意可推得函数为偶函数且2为其一个周期，由此判断其单调性情况，结合正弦函数的单调性可得答案.

【详解】由题意知的对称轴为，可得的对称轴为，

即有，函数为偶函数，

又，即，可得，

即为， 即2为函数的的周期，

在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，

可得在上递减，

由是钝角三角形中两锐角，可得，即有，

则，即为，

则，

故选：A.

9．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层. 内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率. 若生产状态正常，有如下命题：

甲：；

乙：的取值在内的概率与在内的概率相等；

丙：；

丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则.

（参考数据：若 ，则，， ；）

其中假命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【分析】根据可判断甲；根据两个区间长度相等，对称轴落在区间可判断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出1只口罩的的过滤率大于的概率，再由二项分布的概率以及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确答案.

【详解】由知，，，

对于甲：由正态分布曲线可得：，故甲为真命题；

对于乙：，两个区间长度均为1个，但，由正态分布性质知，落在内的概率大于落在

内的概率，故乙是假命题；

对于丙：由知，丙正确；

对于丁：1只口罩的的过滤率大于的概率，，所以，

，故丁是真命题.

故选：B.

二、多选题

10．已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（    ）

A．双曲线的渐近线方程为

B．内切圆的半径为

C．

D．点到轴的距离为

【答案】ABD

【分析】由双曲线的标准方程求出渐近线方程即可判断A；因为，对两边同时平方结合勾股定理可求得，再由代入可判断C；由求得内切圆的半径可判断B；由等面积法可判断D.

【详解】解：由双曲线的方程，得，，，所以双曲线的渐近线方程为，A正确；

因为，，，所以，，解得，故，C错误；

内切圆的半径为， B正确；

设点到轴的距离为，由的面积为，可得，解得.

故选：ABD．

11．如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ）．

A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行

C．直线和夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为

【答案】BCD

【解析】由与不垂直，所以直线与直线不垂直，可判定A不正确；取的中点，分别连接，根据面面平行的判定定理，得到平面平面，进而判定B正确；连接，把直线和所成的角即为直线和所成的角，在等边中，可判定C正确；根据等体积法，可判定D正确.

【详解】在棱长为2的正方体中，可得，

又由与不垂直，所以直线与直线不垂直，所以A不正确；

取的中点，分别连接，

可得，进而可得平面，平面，

根据面面平行的判定定理，可得平面平面，

又由平面，所以平面，所以B正确；

连接，可得，所以直线和所成的角即为直线和所成的角，

即，在等边中，可得，

即直线和所成的角的余弦值为，所以C正确；

设点到平面的距离为，

由，

在直角中，，

在直角中，，

在中，，

又在中，由余弦定理可得，

则，

所以的面积为，

因为，可得，可得，

即点到平面的距离为，所以D正确.

故选：BCD

12．已知函数是的导函数，下列命题正确的有（    ）

A．成立

B．成立

C．在上有两个零点

D．“”是“成立”的充要条件

【答案】ABD

【分析】构造函数，借助导数判断单调性判断A；利用导数判断单调性判断B；分析函数在上的单调性判断C；利用充要条件的定义判断D作答.

【详解】依题意，，

对于A，，令，则，

令，当时，，即在上递增，

当时，，因此在上递减，，

即恒成立，A正确；

对于B，令，当时，，

即函数在上递增，当时，

，函数在上递增，，B正确；

对于C，由选项知，函数在上递增，当时，，无零点，

当时，，即函数在上递减，而，

即函数在上有唯一零点，因此函数在有1个零点，错误；

对于D，当时，，由选项知，不等式成立，反之，

若，，令，，

，由选项B知，在上单调递增，

当时，，则在上单调递增，，

当时，，则存在，使得，因此当时，，

则在上单调递减，当时，，不符合题意，综上得，

所以“”是“成立”的充要条件，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

三、填空题

13．已知，则的值为___________.

【答案】

【分析】赋值法求，根据二项式展开式通项求，即可求.

【详解】令，

由的展开式的通项为，

令，得，令，得，

所以，

所以.

故答案为：

14．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______.

【答案】

【分析】以，为基底，由平面向量基本定理，列方程求解，即可得出结果.

【详解】设，

则，

由于

可得， 解得，所以

故答案为：

【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查运算求解能力，属于中档题.

15．已知函数，若直线与曲线相切，求最大值_____________.

【答案】

【分析】先利用直线与曲线相切得到，所以.

设，利用导数讨论单调性，求出g(a)的最大值.

【详解】设直线y=x与曲线相切于点.

因为，所以，所以.

又因为P在切线y=x上，所以，

所以，

因此.

设，则由，

令，解得：；令，解得：；

所以g(a)在上单调递增，在上单调递减，

可知g(a)的最大值为，所以ab的最大值为.

故答案为：

四、双空题

16．已知抛物线的准线与轴的交点为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，，则________；若的中点到准线的距离为，则_________.

【答案】     16     4

【分析】由题可得，可设直线方程与抛物线联立，可得，根据抛物线方程可得，，进而可得，再结合条件即得.

【详解】由题可知，设直线，代入抛物线方程可得，

，则，

因为，

所以，又，

∴，，

∴，

又的中点到准线的距离为，

∴，即，

∴，即.

故答案为：16；4.

五、解答题

17．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，求外接圆面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式将已知转化为正弦函数，解一元二次方程可得；

（2）由余弦定理和（1）可求a的最小值，再由正弦定理可得外接圆半径的最小值，然后可解.

【详解】（1）因为，所以，

解得或（舍去），

又为锐角三角形，所以.

（2）因为，

当且仅当时，等号成立，所以.

外接圆的半径，故外接圆面积的最小值为.

18．已知数列满足.

(1)若，证明是等差数列；

(2)设，数列的前项和为，若，求.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题设中的递推关系可得均为等差数列，求出它们的通项后再利用等差数列的定义可证明是等差数列；

（2）利用分组求和和裂项相消法可求.

【详解】（1）因为，所以，

故均为等差数列，公差均为3，

故，

且，

故，所以，所以是等差数列.

（2）由（1）可得，，

当时，，

当时，，

而

19．在四棱锥中，平面，，，，，点，在线段上，满足，.

（1）求证：；

（2）若为线段上的一点，且平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）证明，再证明可得，由线面垂直的判定定理证明平面，即可求证；

（2）连接交于点，连接，由可得，再由线面平行的性质定理可得，即可得，建立如图空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，面的一个法向量，利用空间向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，

因为，，，，，，

所以四边形为矩形.

因为，所以，

所以，所以，所以 ，

因为，平面，所以平面，

因为平面，所以.

（2）连接交于点，连接，

因为，所以，

因为平面，平面，平面平面，

所以，所以，

如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，

由（1）知平面，则为平面的一个法向量，

因为，，

设平面的一个法向量为，

则，即，取，则，

所以，

设平面与平面所成锐二面角为，

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

20．甲､乙､丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去，三人经过抽签决定由甲､乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验每局比赛中：甲乙比赛甲胜概率为，乙丙比赛乙胜概率为，丙甲比赛丙胜概率为，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局.

(1)比赛完3局时，求甲､乙､丙各胜1局的概率；

(2)比赛完4局时，设丙作为旁观者的局数为随机变量X，求的X分布列和期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为．

【分析】（1）用表格列举出4局比赛的可能对手情况，可分析出甲､乙､丙各胜1局的两种情形，由此可计算出概率；

（2）由比赛规则分析丙至少比赛2局，因此可得的可能值为1或2，计算出概率后得分布列，由期望公式计算期望．

【详解】（1）用表格列出4局比赛可能的对手．

考虑前3局，甲､乙､丙各胜1局，有两种情形：

第一局若甲胜，则第2局甲丙比赛，丙胜，第3局丙乙比赛，乙胜，

第一局若乙胜，则第2局乙丙比赛，丙胜，第3局丙甲比赛，甲胜，

所求概率为．

（2）根据比赛规则，丙第一局作为旁观者，第二局必须参赛，第三局如果是旁观者，则第四局必定参与比赛，而第三局比赛时，第四局可能参与比赛了可能作为旁观，

的可能值是1或2．

由（1）中表格知，

，

，

所以的分布列为

．

21．如图，椭圆M：的两焦点为，，A，B是左右顶点，直线l与椭圆交于异于顶点的C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BC斜率之积为．

(1)求椭圆M的方程；

(2)直线AC与直线BD交于点Q，设点P与点Q横坐标分别为，，则是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)为常数，值为1

【分析】（1）由直线AC与直线BC斜率之积为，建立等式得，再结合可求解；

（2）设直线l：，则，再根据直线与直线可得，从而可得为常数.

【详解】（1）由题，，设，

则，

∴，又，

∴，，

∴椭圆M的方程为：.

（2）直线l若过原点，由对称性知不合题，

设直线l：，则

，消去x得，

设，则

∴①

AC：②，BD：③

②③联立得

①代入得

解得，即

∴，

∴为常数，值为1．

22．已知函数的最大值为，且曲线在x＝0处的切线与直线平行（其中e为自然对数的底数）．

（1）求实数a，b的值；

（2）如果，且，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【分析】（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为列出关于a，b的方程组求解；

（2）利用找到的关系式，然后引入，构造关于t的函数，将转换成关于t的函数，求最值即可．

【详解】解：（1）由已知．

则易知，又因为，故a＝0．

此时可得．

①若b＞0，则当时，递减；

当时，递增．

此时，函数有最小值，无最大值．

②若b＜0，则当时，递增；

当时，递减．

此时，解得．

所以即为所求．

（2）由，且得：．

∴．设，则

可得，所以要证，即证．

∵t＞0，所以，所以即证．

设，则．

令，则

当时，递减；当时，递增．

所以，即，所以在上递增．

所以．

．

【点睛】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的最值，以及利用导数研究双变量问题，同时考查学生利用转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想解决问题的能力．属于较难的题目．