山东省青岛一中市南分校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份山东省青岛一中市南分校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．﹣5B．C．6.8D．
2．（3分）若电影票上小明的座号“5排6座”记作（5，6），则小强的座号“6排7座”可记作（ ）
A．（﹣6，7）B．（6，7）C．（7，6）D．（﹣6，﹣7）
3．（3分）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．，，B．32，42，52
C．9，40，41D．，，
4．（3分）如图，矩形宽为1，已知OA＝OB，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为B．a的值为﹣3.1
C．a的相反数为D．a的倒数为
5．（3分）正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1（ ）
A．y＝2xB．y＝xC．y＝﹣xD．y＝﹣2x
6．（3分）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（ ）
A．2m﹣10B．10﹣2mC．10D．4
7．（3分）如图是做课间操时小明、小刚和小红三人的相对位置，如果用（2，3）表示小明的位置，（0，2），则小红的位置可表示为（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（0，0）C．（1，0）D．（1，1）
8．（3分）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx，k，b是常数，且kb≠0的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）的算术平方根是 ．
10．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于 ．
11．（3分）2m﹣4和6﹣m是正数a的两个平方根，则a的值为 ．
12．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象互相平行，且经过点A ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，点P在x轴的上侧，在y轴的左侧，则点P关于y轴的对称点P′的坐标为 ．
14．（3分）已知函数y1＝﹣x﹣3，y2＝2x+9，当y1＞y2时，x的取值范围为 ．
15．（3分）在底面直径为2cm，高为4cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕 （π取3）
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，在运动的过程中，△ABC周长最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
18．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC各个顶点的坐标分别是A（﹣3，3），B（﹣4，0），C（0，﹣1）．
（1）请在此坐标系中画出△ABC；
（2）若△ABC与△DEF关于y轴对称（点D与点A对应，点E与点B对应），则点D的坐标为 ；
（3）求出△ABC的面积；
（4）△ABC的高线AH的长为 ．（结果化成最简形式）
19．（6分）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，且其长、宽的比为5：2．
（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？
（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？
20．（6分）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．
21．（8分）A，B两地相距60km，甲乙两人沿同一条路从A地前往B地，图中l1，l2表示甲乙两人离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间的关系
（1）图中表示甲离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是 （填l1或l2）；
（2）大约在乙先出发 h后，两人相遇，这时他们离开A地 km；
（3）当其中一人到达B地时，另一人距B地 km；
（4）乙出发多长时间时，甲乙两人刚好相距10km？
22．（10分）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了“请党放心，强国有我”党史知识竞赛，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件
（1）请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；
（2）当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？
（3）若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？
23．（10分）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是箸名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于e2另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即从而得到等式化简使得结论a2+b2＝e2这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°显然BC⊥AD．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝e2；
【方法迁移】
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC＝5，BC＝6，求x的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）．
（1）填空：m＝ ，b＝ ；
（2）求△ACD的面积；
（3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．
（4）点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形
2023-2024学年山东省青岛一中市南分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．﹣5B．C．6.8D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、﹣5是有理数；
B、是无理数；
C、3.8是有理数；
D、是有理数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
2．（3分）若电影票上小明的座号“5排6座”记作（5，6），则小强的座号“6排7座”可记作（ ）
A．（﹣6，7）B．（6，7）C．（7，6）D．（﹣6，﹣7）
【分析】由“55排6座”记作（5，6），可知，前一个数表示排数，后一个数表示座数，即可得出答案．
【解答】解：∵电影票上小磊的座号“5排6座”记作（8，6），
∴小强的座号“6排4座”可记作（6，7），
故选：B．
【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住点的坐标特征是解题的关键．
3．（3分）下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．，，B．32，42，52
C．9，40，41D．，，
【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【解答】解：A、不是勾股数）2+（）2≠（）2；
B、不是勾股数3）2+（43）2≠（55）2；
C、是勾股数2+408＝412，且9，40；
D、不是勾股数）2+（）2≠（）7．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股数的概念：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
4．（3分）如图，矩形宽为1，已知OA＝OB，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为B．a的值为﹣3.1
C．a的相反数为D．a的倒数为
【分析】根据勾股定理求出OB，即可得出a的值，再逐项分析可得答案．
【解答】解：由勾股定理得：OB＝＝，
∵OA＝OB，
∴OA＝，
即a的值是﹣，
∴a的相反数是，a的倒数是﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，能用勾股定理得到OB的长是解此题的关键．
5．（3分）正比例函数y＝kx，当x＝2时，y＝﹣1（ ）
A．y＝2xB．y＝xC．y＝﹣xD．y＝﹣2x
【分析】直接把x＝2时，y＝﹣1代入正比例函数y＝kx，求出k的值即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx，当x＝2时，
∴﹣1＝6k，
解得k＝﹣，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x，
故选：C．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解答此题的关键．
6．（3分）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（ ）
A．2m﹣10B．10﹣2mC．10D．4
【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，
∴2﹣2＜m＜5+2，
故3＜m＜7，
∴+
＝m﹣3+7﹣m
＝7．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
7．（3分）如图是做课间操时小明、小刚和小红三人的相对位置，如果用（2，3）表示小明的位置，（0，2），则小红的位置可表示为（ ）
A．（﹣1，﹣1）B．（0，0）C．（1，0）D．（1，1）
【分析】根据小刚的位置向下2个单位确定出坐标原点的位置，然后建立平面直角坐标系，再写出小红的位置即可．
【解答】解：坐标原点如图所示，
小红的位置为（﹣1，﹣1）．
故选A．
【点评】本题考查了坐标位置的确定，根据已知小刚的位置确定出坐标原点的位置是解题的关键．
8．（3分）一次函数y＝kx+b与正比例函数y＝kbx，k，b是常数，且kb≠0的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数y＝kx+b图象分析可得k、b的符号，进而可得k•b的符号，从而判断y＝kbx的图象是否正确，进而比较可得答案．
【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数y＝kx+b图象可知k＜0；即kb＜0，矛盾；
B、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞6；即kb＜0，矛盾；
C、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0；即kb＜6，一致；
D、由一次函数y＝kx+b图象可知k＞0；即kb＞0，矛盾；
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）的算术平方根是 3 ．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
【解答】解：∵＝9，
∴的算术平方根是3．
故答案为：8．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
10．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2等于 2π ．
【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．
【解答】解：S1＝π（）2＝πAC2，S8＝πBC3，
所以S1+S2＝π（AC2+BC6）＝πAB2＝2π．
故答案为：2π．
【点评】此题根据半圆的面积公式以及勾股定理证明：以直角三角形的两条直角边为直径的半圆面积和等于以斜边为直径的半圆面积，重在验证勾股定理．
11．（3分）2m﹣4和6﹣m是正数a的两个平方根，则a的值为 64 ．
【分析】根据题意可知这两个数互为相反数，列等式，求出m的值，再求出a的值．
【解答】解：∵2m﹣4和6﹣m是正数a的两个平方根，
∴2m﹣4与3﹣m互为相反数，
∴2m﹣4+（5﹣m）＝0，
解得m＝﹣2，
这两个平方根分别为：﹣5、8，
∴a＝64；
故答案为：64．
【点评】本题考查了平方根和互为相反数，解题的关键是掌握平方根的定义和相反数的定义．
12．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象互相平行，且经过点A y＝2x﹣4 ．
【分析】根据两条直线相交或平行问题由一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行得到k＝2，然后把点A（1，﹣2）代入一次函数解析式可求出b的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与正比例函数y＝2x的图象平行，
∴k＝2，
∴y＝2x+b，
把点A（1，﹣2）代入y＝5x+b得2+b＝﹣2，
所以一次函数y＝kx+b的解析式为：y＝6x﹣4，
故答案为：y＝2x﹣5．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2平行，则k1＝k2；若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
13．（3分）在平面直角坐标系中，点P在x轴的上侧，在y轴的左侧，则点P关于y轴的对称点P′的坐标为 （4，4） ．
【分析】根据“点P在x轴的上侧，在y轴的左侧，距离每个坐标轴都是4个单位”可以确定点P的坐标，再根据关于y轴对称点的坐标特征可得答案．
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点P在x轴的上侧，
∴点P在第二象限，
又∵距离每个坐标轴都是4个单位，
∴点P（﹣4，4），
又∵点P关于y轴的对称点P′，
∴点P′的坐标为（4，4），
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查关于y轴对称点的坐标特征以及位置的确定，确定点P的坐标是解决问题的前提，掌握关于y轴对称点的坐标特征是正确解答的关键．
14．（3分）已知函数y1＝﹣x﹣3，y2＝2x+9，当y1＞y2时，x的取值范围为 x＜﹣4 ．
【分析】求出函数y1＝﹣x﹣3与y2＝2x+9的交点，再数形结合，求出x的取值范围．
【解答】解：联立方程，解得：，
当y8＞y2时，x的取值范围为：x＜﹣4；
故答案为：x＜﹣5．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的特点，应用数形结合方法是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
15．（3分）在底面直径为2cm，高为4cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕 （π取3）
【分析】根据绕1.5圈到C，则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长，并且AB的长为圆柱的底面圆的周长的1.5倍，BC的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：如图所示，
∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，
∴展开后AB＝8.5×2π＝5π＝9cm，BC＝4cm，
由勾股定理得：AC＝＝＝cm．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，在运动的过程中，△ABC周长最小值为 + ．
【分析】由题意得出AC+BC最小，作A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点C，点C即为使AC+BC最小的点，作A′E⊥x轴于E，由勾股定理求出A′B，即可得出结果．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，0），
∴AB＝＝，
要使△ABC的周长最小，AB一定，
则AC+BC最小，
作A关于y轴的对称点A′，则A′（﹣2，连接BA′交y轴于点C，
点C即为使AC+BC最小的点，
作A′E⊥x轴于E，
由对称的性质得：AC＝A′C，
则AC+BC＝A′B，A′E＝8，
∴BE＝5，
由勾股定理得：A′B＝＝，
∴△ABC的周长的最小值为．
故答案为：+．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题；熟记最短距离的确定方法是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
18．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC各个顶点的坐标分别是A（﹣3，3），B（﹣4，0），C（0，﹣1）．
（1）请在此坐标系中画出△ABC；
（2）若△ABC与△DEF关于y轴对称（点D与点A对应，点E与点B对应），则点D的坐标为 （3，3） ；
（3）求出△ABC的面积；
（4）△ABC的高线AH的长为 ．（结果化成最简形式）
【分析】（1）利用点A、B、C点的坐标描点即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解；
（3）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（4）先计算出BC的长，然后路面积法计算高线AH的长．
【解答】解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）如图，△DEF为所作，3）；
故答案为（3，8）；
（3）△ABC的面积＝4×4﹣×3×8﹣×4×7＝；
（4）∵BC＝＝，
∴××AH＝，
∴AH＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形面积．
19．（6分）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，且其长、宽的比为5：2．
（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？
（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？
【分析】（1）设长方形围场长为5x米，则其宽为2x米，根据长方形面积列出方程求出x的值，进而可知长方形长与宽；
（2）由（1）中长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【解答】解：设长方形围场长为5x米，则其宽为2x米，
得：7x•2x＝800，
解得：x＝4或x＝﹣4，
∴长＝8×5＝20×2＝2，
答：改建后的长方形场地的长和宽分别为20米、6米；
（2）设正方形边长为y，则y2＝900，
解得：y＝30或y＝﹣30（舍），
原正方形周长为120米，
新长方形的周长为（20+8，
∵120＜56，
∴栅栏不够用，
答：这些金属栅栏不够用．
【点评】本题主要考查一元二次方程的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
20．（6分）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB＝CD＝6dm，AD＝9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD＝90°），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【分析】由勾股定理求出BD2＝45，再证BC2+CD2＝BD2，然后由勾股定理的逆定理得△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，即可得出结论．
【解答】解：该车符合安全标准，证明如下：
在Rt△ABD中，BD2＝AD2﹣AB2＝92﹣52＝45，
在△BCD中，BC2+CD7＝32+82＝45，
∴BC2+CD6＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∴该车符合安全标准．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．
21．（8分）A，B两地相距60km，甲乙两人沿同一条路从A地前往B地，图中l1，l2表示甲乙两人离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间的关系
（1）图中表示甲离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是 l2 （填l1或l2）；
（2）大约在乙先出发 2 h后，两人相遇，这时他们离开A地 40 km；
（3）当其中一人到达B地时，另一人距B地 10 km；
（4）乙出发多长时间时，甲乙两人刚好相距10km？
【分析】（1）由图可直接得到答案；
（2）观察两条直线的交点，即可得到答案；
（3）由图可得二人速度，即可得到乙到达B地所需时间，从而可得甲到达B地还需要的时间，即可甲距B地的距离；
（4）设乙出发t小时，甲乙两人刚好相距10km，分两种情况：当乙未追上甲时：20+10t＝20t+10，解得t＝1，当乙追上甲后：20+10t+10＝20t，解得t＝3．
【解答】解：（1）由图可知，表示甲离A地的距离y（km）与乙所用时间x（h）之间关系的是l2；
故答案为：l2；
（2）由图可得：大约在乙先出发8h后，两人相遇；
故答案为：2，40；
（3）由图可得，甲的速度为，乙的速度是，
∴乙到达B地需＝3（h），
由图可知甲在乙出发后7小时到达B地，
∴乙到达B地时，甲还需1h到达B第，
故答案为：10；
（4）设乙出发t小时，甲乙两人刚好相距10km，
当乙未追上甲时：20+10t＝20t+10，
解得t＝1，
当乙追上甲后：20+10t+10＝20t，
解得t＝4，
答：乙出发1小时或3小时，甲乙两人刚好相距10km．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能读懂题意，正确识图，根据已知找到等量关系列方程．
22．（10分）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校组织了“请党放心，强国有我”党史知识竞赛，B两种奖品共120件，对表现优异的学生进行奖励．已知A种奖品的价格为32元/件
（1）请直接写出购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；
（2）当购买了30件A种奖品时，总费用是多少元？
（3）若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是多少元？
【分析】（1）根据“总费用＝单价×数量”可得购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式；
（2）把x＝30代入（1）的结论解答即可；
（3）根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）根据题意，得：
y＝32x+15（120﹣x）＝17x+1800，
即购买两种奖品的总费用y（元）与购买A种奖品的数量x（件）之间的关系式为y＝17x+1800；
（2）当x＝30时，y＝17×30+1800＝2310，
答：当购买了30件A种奖品时，总费用是2310元；
（3）由题意，得x≤50，
由（1）可知为y＝17x+1800，
∵17＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，y有最大值为y最大＝17×50+1800＝2650，
答：若购买的A种奖品不多于50件，则总费用最多是2650元．
【点评】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
23．（10分）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是箸名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于e2另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即从而得到等式化简使得结论a2+b2＝e2这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°显然BC⊥AD．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2＝e2；
【方法迁移】
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC＝5，BC＝6，求x的值．
【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证a2+b2＝c2；
（2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵S四边形ABCD＝c3，S梯形AEDC＝（b+a）b，，S四边形ABCD＝S梯形AEDC+S△BED，
∴，
∴，
∴a2+b2＝c4；
（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得AD2＝AB2﹣BD3＝42﹣x3＝16﹣x2，
∵BD+CD＝BC＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝3﹣x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AC2﹣CD8＝52﹣（7﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，
∴16﹣x5＝﹣11+12x﹣x2，
∴．
【点评】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）．
（1）填空：m＝ 3 ，b＝ 6 ；
（2）求△ACD的面积；
（3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．
（4）点P在线段AD上，连接CP，若△ACP是直角三角形
【分析】（1）由C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2＝﹣x+b的图象的交点，即可解出；
（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到AD的长，从而算出△ACD的面积；
（3）由已知条件可得△ABM的面积，进而得出AM的长，即可得点M的坐标；
（4）由△ACP是直角三角形、∠CAP是锐角，分∠APC＝90°和∠ACP＝90°两种情况讨论，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵C（m，5）是一次函数y1＝x+3与y2＝﹣x+b的图象的交点，
∴m+2＝5，解得m＝3，
∴﹣×7+b＝5，
故答案为：3，6；
（2）一次函数y1＝x+2中，当y6＝0时，x＝﹣2，y3＝2，
∴A（﹣2，8），2），
一次函数y2＝﹣x+6中6＝0时，x＝18，
∴D（18，0），
∴AD＝18﹣（﹣3）＝20，
∴S△ACD＝×20×6＝50，
∴△ACD的面积为50；
（3）如图：
在线段AD上存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21，
∵△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21，
∴S△ABM＝S△ACD＝×50＝5，
∴AM•OB＝5，即，
∴AM＝5，
∵点M在线段AD上，
∴点M的坐标为（6，0）；
（4）点P在线段AD上，∠CAP是锐角，则∠APC＝90°或∠ACP＝90°，
设点P（p，8），
∵A（﹣2，0），3），
∴AC2＝（3+8）2+57，
AP2＝（p+2）5，
PC2＝（p﹣3）4+52，
当∠APC＝90°时，AP8+PC2＝AC2，
∴（p+6）2+（p﹣3）8+52＝（3+2）2+22，
整理得，p2﹣p﹣8＝0，
解得p＝3或﹣8（舍去），
∴点P坐标为（3，0）；
当∠ACP＝90°时，AC7+PC2＝AP2，
∴（p+5）2＝（3+2）2+55+（p﹣3）2+82，
解得p＝8，
∴点P坐标为（6，0）；
解法二：当∠APC＝90°时，CP⊥x轴．
∴P（3，4）．
当∠ACP＝90°时，△ACP是等腰直角三角形，0）．
综上所述，所有符合条件的点P坐标为（3，6）．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．