2024届四川省泸县第五中学高三上学期10月月考数学（文）试题含答案

这是一份2024届四川省泸县第五中学高三上学期10月月考数学（文）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.
【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为，而全集，集合，，
所以.
故选：C
2．复数（，为虚数单位），在复平面内所对应的点在上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出复数在复平面内所对应的点的坐标，代入，求得，再根据复数的模的公式即可得解.
【详解】解：复数在复平面内所对应的点的坐标为，
因为点在上，
所以，解得，
所以，
所以.
故选：B.
3．若实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】D
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．
【详解】解：可行域如图所示，作出直线，可知要取最大值，
即直线经过点．
解方程组得，，
所以．
故选：D．
4．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】从各项图象的区别，确定先判断函数奇偶性(对称性)，再求导研究的符号,判断单调性即可.
【详解】，
是偶函数，图象关于y轴对称，排除选项AB.
当时，，则，由，，
故存在使得，即函数在区间上不单调，排除D.
故选：C.
【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．非充分非必要条件
【答案】C
【分析】利用“”“”，即可判断出结论.
【详解】解：“”“”，
“”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查了简易逻辑的判定、不等式的解法，属于基础题.
6．天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度.星体的视星等，绝对星等，距地球的距离有关系式（为常数）.若甲星体视星等为，绝对星等为，距地球距离；乙星体视星等为，绝对星等为，距地球距离，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数的运算可求得的值.
【详解】由已知可得，
上述两个等式作差得，因此，.
故选：A.
7．已知为等边三角形，，设点，满足，，与交于点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】先根据已知条件确定出点位置，然后用表示出，最后根据向量的数量积运算求解出的结果.
【详解】因为，所以，所以，
所以为的一个靠近的三等分点，又因为，所以为的中点，
过作交于点，如下图所示：
因为且，所以，所以，
所以，
所以，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是确定点的位置，通过将待求的向量都转化为，即可直接根据数量积的计算公式完成求解.
8．把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由辅助角公式化简，再结合奇偶函数特征即可求解.
【详解】，
函数向左平移个单位后可得，
因为关于轴对称，为偶函数，所以，
解得，当时，取到最小正值.
故选：D
9．已知偶函数在区间上单调递增，且，则满足
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】,故, 又,故,故选D.
10．已知函数，其中为函数的导数，则（ ）
A．0B．2C．2020D．2021
【答案】B
【解析】先求出，则，再求出，得到，从而求出，求出答案.
【详解】
所以
所以
所以
所以
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查函数的对称性和求导函数以及求导函数的奇偶性，解答本题的关键是由解析式求得，从而得到，求出，得到，得到，考查计算能力，属于中档题.
11．已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意画出图形分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，结合已知由，求出三棱锥外接球的半径，则外接球的表面积可求.
【详解】如图，
由已知可得，与均为等边三角形，
取中点，连接，，则，
∵平面平面，则平面，
分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，
则为三棱锥的外接球的球心，
由与均为边长为的等边三角形，
可得，
，
，
∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为.
故选：D.
12．，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】利用三角函数函数值的正负和正弦函数在上的单调性判断即可.
【详解】因为,所以,可得,
因为,所以,可得,
因为,
又因为,
由正弦函数在上的单调性知,，
即.
故选:A
【点睛】本题考查利用三角函数函数值的正负和正弦函数的单调性比较大小;特殊角三角函数值的运用和选取合适的临界值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
二、填空题
13．已知幂函数在上单调递减，则 .
【答案】
【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．
【详解】由题意，解得或，
若，则函数为，在上递增，不合题意．
若，则函数为，满足题意．
故答案为：．
14．已知，则 ．
【答案】
【分析】由可得，再由二倍角公式可得，代入即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故答案为：
15．已知中，内角的对边分别为，且，则 .
【答案】(或)
【解析】利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为，求角的值.
【详解】根据余弦定理可知，
所以原式，变形为，
根据正弦定理边角互化，可知，
又因为，
则原式变形整理为,
即，因为，
所以（或）
故答案为（或）
【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
16．已知函数. 若对定义域内不相等的，都有，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由条件知函数单调递增，根据分段函数为增函数建立不等式组求解，求解过程需构造函函数利用单调性求解.
【详解】由 ，
可得，即函数在定义域内单调递增，
，即 ，
又 单调递增，且，
由，得，
实数的取值范围是.
故答案为：[e，2e).
三、解答题
17．已知函数.
（1）求单调递增区间；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的递增区间可得结果；
（2）由得到，由可得，再根据可求得结果.
【详解】（1），
由，得，
则函数单调递增区间为.
（2）由得，即，
由，，可得，
则，
所以.
【点睛】关键点点睛：第（2）问将拆为已知角和特殊角是本题解题关键.
18．已知曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）判断函数在区间上零点的个数，并证明．
【答案】（1），；（2）在上有且只有一个零点．证明见解析.
【解析】（1）求出即得的值，求出即得的值；
（2）先证明在上为单调递增函数且图象连续不断，再求出，，即得证.
【详解】（1）因为，
所以，
又因为，
因为曲线在点处的切线方程为．
所以，
所以
所以；
（2）在上有且只有一个零点，
因为，，，
所以在上为单调递增函数且图象连续不断，
因为，，
所以在上有且只有一个零点．
【点睛】方法点睛：研究零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令得到，画出的图象得解）.
19．已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足，且．
(1)求；
(2)若点，分别在边和上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式、正弦定理和得到，，再利用同角三角函数基本公式得到，利用和差公式得到，即可得到；
（2）利用三角形面积公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式即可得到的最小值.
【详解】（1）因为，
所以，因为，所以，
又，且为锐角，所以，
所以．
因为．所以．所以．
（2）设，，根据题设有，
所以，可得，
所以，
当且仅当时等号成立．
所以的最小值为．
20．如图，，，D为BC中点，平面，，，.
(1)证明：平面；
(2)求点C到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由平面，证得平面平面，证得平面，
得到，证得平面，得到，，从而证得，进而证得平面，即可得到.
（2）设点到平面距离为，即为三棱锥的高，利用，结合锥体的体积公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）证明：∵平面，平面，∴平面平面，
平面平面，
又∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴，∴平面.
∵平面，∴.
∵，平面，∴平面.
∵平面，∴，，∴与都为直角三角形，
又∵，，
∴，，.
∴，.
∵平面，平面，，
∴平面，∵平面，.
（2）解：设点到平面距离为，即为三棱锥的高，
∵，∴，
∵平面，平面，∴，
∴为直角三角形，.
∵为直角三角形，，
∴，即点到平面的距离为.
21．已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）若函数有极大值点，证明：．
【答案】（1）极大值点为；极小值点为（2）证明见解析
【分析】（1）求，求出的解，进而求出单调区间，即可求出极值点；
（2）根据（1）中极大值关系，求出的范围，将用表示，要证的不等式转化为证明关于的不等式，构造函数，用导数法求函数的最值，即可证明不等式.
【详解】（1），
对于，，
令，则，，
在上，函数单调递增；
在上，函数单调递减；
在上，函数单调递增，
所以函数的极大值点为，极小值点为．
（2）由（1）知函数的极大值点为，
则，
由得，
要证，只需证，
只需证，即证，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增；
，即，
当时，单调递减，
又，则，
即.
【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值，不等式的证明，构造函数是解题的关键点和难点，属于较难题.
22．如图，在极坐标系中，已知点， 曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，曲线是过极点且与曲线相切于点的圆.
(1)分别写出曲线、的极坐标方程；
(2)直线与曲线、分别相交于点、（异于极点），求面积的最大值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）分析可知曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，结合图形可得到曲线的极坐标方程，设为曲线上的任意一点，根据三角函数的定义可得出曲线的极坐标方程；
（2）设、，由题意得，，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得结果.
【详解】（1）解：由题意可知，曲线是以极点为圆心，以为半径的半圆，
结合图形可知，曲线的极坐标方程为.
设为曲线上的任意一点，可得．
因此，曲线极坐标方程为．
（2）解：因为直线与曲线、分别相交于点、（异于极点），
设、，由题意得，，
所以，．
因为点到直线的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.
23．已知函数．
(1)当时，求函数的定义域；
(2)设函数的定义域为，当时，，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)将代入，列出不等式，再解含绝对值符号的不等式作答.
(2)利用给定条件去掉绝对值符号，转化成恒成立的不等式，分离参数构造函数推理作答.
【详解】（1）当时，，依题意，，
当时，不等式化为：，解得，则有，
当时，不等式化为：，解得，则有；
当时，不等式化为：，解得，则有，
综上得：或，
所以函数的定义域为.
（2）因当时，，则对，成立，
此时，，，则，
于是得，成立，而函数在上单调递减，
当时，，从而得，解得，又，则，
所以实数的取值范围是.