2024届四川省成都市教科院附中高三上学期10月月考数学（文）试题含答案

这是一份2024届四川省成都市教科院附中高三上学期10月月考数学（文）试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，则复数的虚部为（ ）
A．3iB．C．3D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出复数作答.
【详解】由，得，
所以复数的虚部为.
故选：D
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的求解方法，结合集合的交集，可得答案.
【详解】由不等式，分解因式可得，解得，则，
所以.
故选：A.
3．为加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，拧紧保障居民的生命财产的“安全阀”，某社区开展了“防电信诈骗进社区，筑牢生命财产防线”专题讲座，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份防电信诈骗手段知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数大于75%
B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%
C．讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【分析】根据题意图中的数据分析，结合中位数、众数、极差的定义和方差的意义依次判断选项即可.
【详解】由图可知，讲座前10位居民问卷答题的正确率分别为
，
讲座后10位居民问卷答题的正确率分别为
.
A：讲座前10位居民问卷答题的正确率按小到大排列为
其中位数为，故A错误；
B：讲座后10位居民问卷答题的正确率的众数为，故B正确；
C：由图可知，10位讲座前的居民问卷答题的正确率波动比讲座后的大，
所以10位讲座前的居民问卷答题的正确率的方差大于讲座后的方差，故C错误；
D：讲座前10位居民问卷答题的正确率的极差为，
讲座后10位居民问卷答题的正确率的极差为，
，故D错误.
故选：B.
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分、必要条件的定义以及对数不等式即可得解
【详解】一方面若，则有，进一步，
所以“”是“”的充分条件；
另一方面若，则有，进一步有，即，
但不足以保证，不妨设虽然有，但不满足，所以“”不是“”的必要条件.
综合以上两方面有“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．若圆锥的表面积为，底面圆的半径为，则该圆锥的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用圆锥的表面积公式可求得圆锥的母线长，再利用勾股定理可求得该圆锥的高.
【详解】设圆锥的母线长为，高为，
则该圆锥的表面积为，解得，
因此，该圆锥的高为.
故选：B.
6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将不超过30的素数列举出，再利用古典概型的概率公式计算即可.
【详解】不超过30的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个，
随机选取两个不同的数共有种，
其中和等于30的有这3种情况，
所以在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是.
故选：B.
7．函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】判断函数的奇偶性可说明C错误；判断函数的单调性结合选项中图象可判断D错误；判断函数的周期性可判断A，B。
【详解】由于，，
故，
即为奇函数，图像关于原点对称，故C中图象错误；
令，由于在上单调递增，
故在上单调递增，同理推得在上单调递增，
故在上单调递增，D错误；
由于的最小正周期依次为，
故的最小正周期为，
故在上的图象和在上的图像平移后应该重合，
B中图象不满足，故B错误，
只有A中图象符合函数满足的上述性质，A正确，
故选：A
8．把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数图像的伸缩以及平移变换可得到函数的解析式，作出函数以及的图象，数形结合，即可得答案.
【详解】由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
得到的图象，再将该图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
即，
作出以及的图象，如图，
由图象可知的图象与直线的交点个数为3，
故选：C
9．已知数列的前项和为，若（，且）且，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出，由题得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，得，再求的值.
【详解】由及（，且），得，
所以，
所以.
因为，
所以，
则数列是以为首项，2为公比的等比数列.
所以. 则，
即.
故选B.
【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和通项的求法，考查数列的前n项和和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
10．已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】C
【分析】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小
【详解】由圆的方程，可知圆心，半径，
直线过定点，
因为，则定点在圆内，
则点和圆心连线的长度为，
当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时，
由圆的弦长公式可得，
故选：C
11．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．或2
【答案】B
【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.
【详解】解：在中，因为，
所以，则，
所以，
故选：B
12．已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】分段写出函数的解析式，并确定其单调减区间，再结合集合的包含关系求解作答即可.
【详解】由题意知，
函数的单调递减区间为，
则或，
由，解得，
而，故需满足，即，此时不存在；
由，解得，
则需满足，即，即，
故，即，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解的含义，结合其解析式，求出函数的单调区间，进而转化为集合间的包含关系，列不等式求解即可.
二、填空题
13．已知向量，，且，则 ．
【答案】-2
【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.
【详解】由题意向量，，且，
得，
故答案为：-2
14．已知实数x，y满足，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的区域，利用斜率模型数形结合进行求解即可.
【详解】解析：根据题意，作出所表示的可行域，如图所示（阴影部分）．

表示可行域内的点与所连直线的斜率，
联立，解得即，
数形结合可知的最大值是．
故答案为：
15．已知函数，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围 ．
【答案】(-3，-1)
【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．
【详解】设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），
则6x2﹣3，
化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，
令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，
则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，
则x＝0，x＝1．
∴g（x）在（1，+）上单增，在（0，1）上单减，
且g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，
又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，
则（t+3）（t+1）＜0，
解得，﹣3＜t＜﹣1．
故答案为(-3，-1).
【点睛】本题考查了导数的几何意义，同时考查了斜率的表示方法，考查了用导数解决函数零点个数的判断，属于难题．
16．记的面积为，内角所对的边分别为，且，则的值为 .
【答案】
【分析】根据三角形面积公式及余弦定理可得，利用均值不等式及正弦函数的有界性可得，即可求出.
【详解】由题得，
所以，
所以，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
又，其中，
所以，故，
所以，
所以.
故答案为：
三、解答题
17．已知函数（，，）的图象相邻两条对称轴间的距离为．函数的最大值为2，且______．
请从以下3个条件中任选一个，补充在上面横线上，①为奇函数；②当时；③是函数的一条对称轴．并解答下列问题：
(1)求函数的解析式；
(2)在中，、，分别是角，，的对边，若，，的面积，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由最大值确定A，根据相邻两条对称轴间的距离为确定最小正周期，从而确定，选①，可得，求解即可；选②，，求解即可；选③，整体思想，求解即可.
（2）利用面积公式求出，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）由题意得，
∴最小正周期，则，
∴.
若选①，为奇函数，则，
∴，即
∵，即，
∴即，
∴.
若选②，当时，
∴即，
∵，
∴，
∴.
若选③，是函数的一条对称轴，
∴即
∵，
∴，
∴.
（2）∵，
∴,即，
∵即，
∴，即，
又∵，的面积，
∴得，
在中，由余弦定理得：，
解得.
18．2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长是现稳中有进的可喜现象服务业的消费越来越火爆，绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销现随机抽取7家超市，得到其广告支出（单位：万元）与销售组（单位：万元）数据如下：
(1)建立关于的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；
(2)若将超市的销售额与广告支出的比值称为该超市的广告效率值，当时，称该超市的广告为“好广告”．从这7家超市中随机抽取2家超市，求恰好有一家超市的广告为“好广告”的概率．
附注：参考数据，，，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，，再代入公式求解即可.
（2）根据已知条件得到有3家超市的广告是“好广告”，再利用古典概型公式计算概率即可.
【详解】（1），，
，.
所以回归方程为.
（2）超市A，，超市B，，超市C，，
超市D，，超市E，，超市F，，
超市G，， 共有3家超市的广告是“好广告”.
从这7家超市中随机抽取2家超市，
共有：，
，共21个基本事件。
令事件M：从这7家超市中随机抽取2家超市，恰好有一家超市的广告为“好广告”，
事件M包含：，共12个基本事件。
.
所以恰好有一家超市的广告为“好广告”的概率为.
19．已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）．
(1)求证：；
(2)求点与平面的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）如图，取AB中点O，连接交于,
∵为等边三角形，
∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
故平面，
而平面，∴，
又∵,，
∴.
∴，
又∵平面,平面,，
∴平面，
∵平面，
∴.
（2）设点与平面的距离为，
∵ABCD是正方形，△PAB为等边三角形，
∴,，
又∵平面平面，平面，平面平面，
故⊥平面，
而平面，所以，，
∴在中，，
∴,则易得，
由（1）知，平面，
∴为三棱锥的高，
∴
又∵，
得.
故点与平面的距离为.
20．已知函数．
(1)证明：；
(2)证明：函数（）在上有唯一零点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，求得其最大值，即可证明不等式；
（2）求出函数的导数，由于其正负不好判断，故再构造函数，再次求导，不断利用所求导数的正负判断原函数的单调性，再结合零点存在定理，即可证明结论.
【详解】（1）证明：令，则，
设，当时取等号，
故在R上单调递减，而，
故当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
故，即.
（2）由于，
故，令，
则，（），，
故即在上单调递减，
又，
故存在唯一实数使得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
又，则在上恒成立，
而，
故存在唯一零点使得，
即函数（）在上有唯一零点.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第二问中证明函数唯一零点问题，解答时要根据函数的结构特征构造函数，并求导判断其单调性，难点就在于要多次构造函数，不断利用函数单调性解决函数零点问题，其中涉及到“隐零点”问题要特别注意.
21．已知椭圆：（）的左，右焦点为，，离心率为，点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线，分别与椭圆交于点，，的周长为8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：为定值．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；
（2）假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出和，代入整理可得定值；当时，易求，由此可得结论.
【详解】（1）令，
由题意得：解得，
∴椭圆的标准方程为：.
（2）设，，，
设直线，的直线方程分别为，，
由得：，
，
，
即，，
∴，
同理由得：，，
；
【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
④化简所得函数式，消元可得定值.
22．在直角坐标系中，曲线M的参数方程为（为参数，），曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
(1)求曲线M，N的极坐标方程；
(2)若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）先化成直角坐标方程，然后由即可化为极坐标方程.
（2）把分别代入（1）中所求得的表达式得，结合已知即可求解.
【详解】（1）由题意曲线M的参数方程为（为参数，），
可得，即，
又由，可得，
所以曲线M的极坐标方程为，
由，可得，即，
即曲线N的极坐标方程为.
（2）将代入，可得，
将代入，可得
则，
因为，所以，
又因为，所以．
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为，正数满足，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；
（2）由（1）求得函数的最小值为2，得到，结合由柯西不等式，证得，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，
当时，可得，
令，即，解得；
当时，可得，
令，即，解得，此时无解；
当时，可得，
令，即，解得，
综上所述，不等式的解集为.
（2）解：由（1）可知，，
当时，；当时，；
当时，，所以函数的最小值为2，所以，
所以.
由柯西不等式，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以，所以.
超市
A
广告支出
1
2
4
6
10
13
20
销售额
19
32
44
40
52
53
54