2023-2024学年四川省成都市高三上学期11月月考数学（文）模拟试题（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市高三上学期11月月考数学（文）模拟试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题5分，共60分）
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则复数的虚部为（ ）
A．3iB．C．3D．
3．为加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，拧紧保障居民的生命财产的“安全阀”，某社区开展了“防电信诈骗进社区，筑牢生命财产防线”专题讲座，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份防电信诈骗手段知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数大于75%
B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%
C．讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
4．（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知是第三象限角，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
8．已知命题p：在中，若，则；q：若，则，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A．B．C．D．
10．函数y＝ (其中e为自然对数的底数)的大致图像是( )
A．B．
C．D．
11．定义在上的偶函数满足，且在处的导数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知双曲线的右焦点为，点、在双曲线上，且关于原点对称.若，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若，满足，则的最小值是 ．
14．已知函数，则 ．
15．函数的零点个数为 .
16．如图，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，若，则最小值为 .
三、解答题（17-21每题12分，22，23，选做一题10分）
17．在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
18．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
（1）求的值；
（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.
19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．
20．已知：函数（）．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）函数在区间上满足，求a的取值范围．
21．已知椭圆过点，离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；
(3)设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
23．
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围.
组别
分组
频数
频率
第1组
8
0.16
第2组
▆
第3组
20
0.40
第4组
▆
0.08
第5组
2
合计
▆
▆
1．B
【分析】化简集合A，再根据交集的定义可求得结果.
【详解】，，
，又，
.
故选：B.
2．D
【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出复数作答.
【详解】由，得，
所以复数的虚部为.
故选：D
3．B
【分析】根据题意图中的数据分析，结合中位数、众数、极差的定义和方差的意义依次判断选项即可.
【详解】由图可知，讲座前10位居民问卷答题的正确率分别为
，
讲座后10位居民问卷答题的正确率分别为
.
A：讲座前10位居民问卷答题的正确率按小到大排列为
其中位数为，故A错误；
B：讲座后10位居民问卷答题的正确率的众数为，故B正确；
C：由图可知，10位讲座前的居民问卷答题的正确率波动比讲座后的大，
所以10位讲座前的居民问卷答题的正确率的方差大于讲座后的方差，故C错误；
D：讲座前10位居民问卷答题的正确率的极差为，
讲座后10位居民问卷答题的正确率的极差为，
，故D错误.
故选：B.
4．C
【分析】根据诱导公式和正弦和角公式求解即可.
【详解】解：因为
所以，，
所以，
.
故选:C.
5．A
【分析】由充分、必要条件的定义以及对数不等式即可得解
【详解】一方面若，则有，进一步，
所以“”是“”的充分条件；
另一方面若，则有，进一步有，即，
但不足以保证，不妨设虽然有，但不满足，所以“”不是“”的必要条件.
综合以上两方面有“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．A
【分析】由正弦函数、幂函数、对勾函数性质判断各函数的奇偶性、区间单调性即可.
【详解】由定义域为R且，易知为奇函数，
又，故在上递减，A符合.
由在上递增，B不符合；
由定义域为，显然区间不满足定义域，C不符合；
由定义域为R且，即为偶函数，D不符合；
故选：A
7．B
【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.
【详解】因为是第三象限角，故，
则，
故在第二象限，
故选：B
8．A
【分析】根据条件分别判断命题，命题的真假，然后结合复合命题的真假关系进行判断即可.
【详解】命题p：在中，若，由正弦定理得，所以，为真命题，
当，对于，当且仅当时等号成立，
所以命题q：若，则，为真命题，
所以为真命题，假命题，假命题，假命题，
故选：A.
9．B
【分析】先将不超过30的素数列举出，再利用古典概型的概率公式计算即可.
【详解】不超过30的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个，
随机选取两个不同的数共有种，
其中和等于30的有这3种情况，
所以在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是.
故选：B.
10．B
【分析】方法一：排除法，根据函数值的特点，排除即可；
方法二：根据导数和函数的单调性即可判断.
【详解】方法一：排除法：当时，，排除C，
当时，恒成立，排除A、D，
故选B.
方法二：，
由，可得，令，可得或，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以只有B符合条件，
故选B.
该题考查的是有关函数图象的识别问题，注意在识别函数图象的过程中，可以从函数的定义域，函数的单调性，函数图象的对称性，函数图象所过的特殊点以及函数值的符号等方面来确定.
11．A
【分析】根据给定条件探求出函数的性质，由此求出，再借助复合函数求导问题求出即可得解.
【详解】上的偶函数满足，则当时，，
，于是得，即f(x)是周期函数，周期为4，则有，
对两边求导得，即，于是当时，，
曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A
结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为.
12．C
【分析】设该双曲线的左焦点为，分析可知四边形为矩形，利用三角形的面积公式、勾股定理以及双曲线的定义可求得的值，即可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】因为双曲线的右焦点为，所以，设该双曲线的左焦点为.
由题意可知为、的中点，则四边形为平行四边形，
因为，所以，四边形为矩形，所以，，
由的面积为，得，则.
又，则，
所以.
则由双曲线的定义可得，所以，则离心率.
故选：C.
13．1
【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.
【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，，
令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，
画直线：，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，最小，，
所以的最小值是1.
故1
14．##1.5
【分析】先计算，再计算的值.
【详解】由题可得：=，
所以.
故答案为.
15．1
【分析】在同一坐标系中作出与的图象，由图即可得出答案.
【详解】解：注意到，在同一坐标系中作出与的图象，
易知零点个数为1.
故1.
16．1
【分析】根据函数图象及平移关系求得，进而可得，再利用均值不等式求最小值即可.
【详解】由题意可得，
由函数图象可得，，解得，
将点代入得，
解得，即，
又因为，所以，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以最小值为，
故1
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合正弦的二倍角公式变形可得；
（2）由面积公式求得，再由余弦定理求出，从而可得周长．
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，则，
因为，所以，
又因为，所以；
（2）因为，所以，
又由余弦定理得， ，所以，
则，
所以的周长为：．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）根据频率分布表可得b.先求得内的频数,即可由总数减去其余部分求得.结合频率分布直方图,即可求得的值.
（2）根据频率分布表可知在内有4人,在有2人.列举出从这6人中选取2人的所有可能,由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】（1）由频率分布表可得
内的频数为,
∴
∴内的频率为
∴
∵内的频率为0.04
∴
（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,
设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、
从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.
至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.
所以.
∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.
19．(1)证明见解析
(2)当为中点时，；证明见解析
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得，由线面垂直的判定与性质可证得结论；
（2）利用面面平行的判定可证得平面平面，由此可得平面，由线面垂直的性质可证得结论.
【详解】（1）连接，
四边形为菱形，，又，为等边三角形，
为中点，；
，为中点，，
又，平面，平面，
平面，.
（2）当为中点时，，证明如下：
分别为中点，，又平面，平面，
平面；
分别为中点，，，
四边形为平行四边形，，又平面，平面，
平面，又，平面，
平面平面，
由（1）知：平面，平面，
平面，.
20．（1）；（2）递减区间为，；递增区间为；（3）.
【分析】（1）求出导函数，得切线斜率，写出切线方程并整理；
（2）求出导函数，由得增区间，得减区间，注意在定义域内求单调区间；
（3）利用（2）的单调性，分类讨论在上的最小值，由最小值可得结论．
【详解】解：（1）若，则，，
所以，即切线的斜率等于—2；
又，切点为；
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）的定义域为，
（），
当或时，，在和上单调递减；
当时，，在单调递增；
所以的递减区间为，；递增区间为；
（3）①当，即时，在上单调递增，，
解得，因此；
②当，即时，在上单调递减，上单调递增，
，解得，因此；
③当时，定义域是，但在要有定义，故排除；
④当，在上单调递减，
，与矛盾，因此无解；
综上所述，a的取值范围为．
本题考查导数的几何意义，用导数确定函数的单调性，研究不等式恒成立问题．在解决不等式恒成立求参数范围时，注意问题的转化，常常转化为求函数的最值，由最值满足的不等关系得参数范围，由于含有参数，因此常常需要分类讨论得函数单调性，得最值．
21．(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由三角形的面积求得直线的方程.
（3）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得的坐标的关系式，进而证得线段PQ的中点为定点.
【详解】（1）依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时，所以直线的方程为.

当直线的斜率为时，，
此时，所以直线的方程为.

当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，
原点到直线的距离为，
由消去并化简得，
设，，
则.
所以
，
则，解得（舍去）.

综上所述，直线的方程为或.
（3）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，
则，
由，，.

依题意可知直线的斜率存在，
直线的方程为，令，
得
，
同理可求得，
所以
，
所以线段PQ的中点为定点.
求解椭圆的标准方程，主要是要求得，这是两个未知参数，要求得两个未知参数，则需要两个已知条件来求解，本题中，点的坐标以及椭圆的离心率是两个已知条件，再结合即可求得椭圆的标准方程.
22．（1）：，：；（2），此时.
【详解】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.
（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
23．（1）; （2）.
【详解】试题分析：（1）将的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最后对各个解集求并集得出原不等式的解集；
（2）在上无解相当于，从而得到关于的一元二次不等式，解得的范围.
试题解析：
（1）由题意得.
则原不等式转化为或或.
原不等式的解集为.
（2）由题得，
由（1）知，在上的最大值为，即，
解得或，即的取值范围为.