上海市南洋模范中学2023-2024学年高二下学期4月段考数学试卷（原卷版+解析版）

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一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1. 已知双曲线C焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
2. 直线被圆截得的弦长为________.
3. 直线：，：它们的夹角为________
4. 设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为________．
5. 若椭圆的离心率为，则______.
6. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
7. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.
8. 已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为__________．
9. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．
10. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
11. 已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点.当时，，则________.
12. 已知曲线，，其中.
①当时，曲线与有4个公共点；
②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；
③，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；
④，曲线围成的区域内整点（即横、坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域内整点个数.
其中，所有正确结论的序号是________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知直线与直线互相平行，则实数值为( )
A. B. 2或C. 2D.
14. 设为坐标原点，为抛物线焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
15. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A. B. C. D.
16. 《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线，若双曲线右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 已知平面内两定点，动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求．
18. 已知直线和圆．
（1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
19. 某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为，线路AB段上的任意一点N到景点M的距离比到景点的距离都多6km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
（1）求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
（2）规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
20. 已知双曲线的左、右焦点为．
（1）若双曲线的离心率为，且，是正三角形，求的方程；
（2）若，点在双曲线的右支上，且直线的斜率为．若，求
（3）在（1）的条件下，若动直线与恰有1个公共点且与的两条渐近线分别交于记的面积为，的面积为（是坐标原点），问：是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不存在，请说明理由.
21. 已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，过F与垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点.
（1）若，求点M的横坐标；
（2）证明：直线过定点；
（3）设G为直线与直线交点，求面积的最小值.