浙江省台州市书生中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省台州市书生中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2. 已知2a＝3b（b≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3. 用配方法解方程x2+2x-1=0，变形正确的是( )
A.(x+1)2=0 B.(x-1)2=0 C.(x+1)2=2 D.(x-1)2=2
4．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，
BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（ ）
A．17.5m
B．17m
C．16.5m
D．18m
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝143°，则∠BOD的度数是（ ）
A．77°
B．74°
C．37°
D．43
6．在平面直角坐标系中，把抛物线 y=2x2，绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平
移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2(x-1)2-2B．y＝2(x+1)2-2
C．y＝-2(x-1)2-2D．y＝-2(x+1)2-2
7．已知△ABC的外接圆的半径为2，BC=23，则∠A的度数是（ ）
A．120° B．30°或120° C．30°或60° D．60°或120°
8．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获
得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房
收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
9．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于
点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ）
A．25 B．342
C．42 D．853
10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣3）2+c的图象上，若|x1﹣3|＞|x2﹣3|，则
下列结论正确的是（ ）
A．y1+y2＞0 B．y1-y2＞0C．a（y1+y2）＞0D．a（y1-y2）＞0
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为________．
12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为_______．
13．某班从三名男生（含小强）和五名女生中，选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大
赛”，规定女生选n名，若男生小强参加是必然事件，则n＝_______．
14. 有一个开口向下的二次函数，下表是函数中四对x与y的对应值．
若其中有一对对应值有误，则对于该二次函数，当时，x的取值范围是_________
15．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝_______．


第15题图 第16题图
16. 如图，是半圆⊙O的直径且．P为半圆AB上一点（不与点A、B重合），D为延长线上一点，、的角平分线相交于点C．在点P移动的过程中，线段扫过的面积为____________．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（6分）计算:（π-3.14）0+(13)-1-12-4
18．（6分）解下列方程： 4(x-3)2=(x+3) 2
19．（6分）在一个不透明的盒子中装有5张卡片，5张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，5，
这些卡片除数字外，其余都相同．
（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有偶数的卡片的概率是多少？
（2）先从盒子中任意取一张卡片，再从余下的4张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片上标有的数字之和大于5的概率．（画树状图或列表求解）
20．（8分）如图，在△ABC中，DE＝BF，BD＝EF，求证：△ADE∽△EFC．
21. （8分）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点，A，B是网格中的两个格点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图；
（1）如图①，请在网格中找出格点P，Q，连结AP，BQ，使得AP∥BQ，且满足 APBQ=32
（2）如图②，请在线段AB上找出点P，使得APPB=12.
22．（10分）如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD＝∠CAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若BD＝1，CD＝2，求EF的长．
23．（10分）已知抛物线y＝x2﹣bx+2b（b是常数）．
（1）无论b取何值，该抛物线都经过定点 D．请写出点D的坐标．
（2）该抛物线的顶点是（m，n），当b取不同的值时，求n关于m的函数解析式．
（3）若在0≤x≤4的范围内，至少存在一个x的值，使y＜0，求b的取值范围．
24．（12分）如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，
BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．继续推理就可以使问题得到解决．
（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．
①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为 ；
②若AD+BD＝14，求的最大值，并求出此时⊙O的半径．
答 案
一、选择题
1---5 BBCAB；6---10 CDDBD
二、填空题
11、4 ; 12、9 ; 13、1 ; 14、x<0或x>3 ; 15、6 ; 16、 π4+12
三、解答题
17. 原式=1+3-(4-23)=2√3
18. x1=1，x2=9
19.【解答】
（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有偶数卡片的概率是为；
（2）根据题意画图如下：
.
由图可知，共有20种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于5的有12种结果，
所以抽取的2张卡片标有数字之和大于5的概率为＝．
20. 略（方法多种，分步给分。）
21. 略（写出一种作法即可）
22．【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：
在△ABC和△AFC中，
，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF．
∴△CEF是等腰三角形；
（3）解：∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴＝＝，
∴＝，
∴AD＝4，
∴AB＝AD﹣BD＝4﹣1＝3．
在直角△ACB中，由勾股定理得到：AC2+BC2＝AB2，即4×BC2+BC2＝32．
∴BC＝EC＝FC＝．
∵AB是圆O的直径，
∴BE⊥AF，
∴AB2﹣AE2＝BF2﹣EF2，即32﹣（3﹣EF）2＝（）2﹣EF2．
解得EF＝．.
23.【解答】解：（1）当x＝2时，y＝4﹣2b+2b＝4，
∴无论b取何值，该抛物线都经过定点 D．点D的坐标为（2，4）；
（2）抛物线y＝x2﹣bx+2b
＝（x﹣）2+2b﹣
所以抛物线的顶点坐标为（，2b﹣）
∴m=
n＝2b﹣＝﹣m2+4m．
所以n关于m的函数解析式为：n＝﹣m2+4m．
（3）分类讨论：
当x=0时，y＜0 或当x=4时，y＜0
解得b＜0或b>8．
24.【解答】解：（1）CD2+BD2＝2AD2，
理由：由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，
∴CD2+BD2＝2AD2；
（2）BD2＝CD2+2AD2，
理由：如图2，
将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，
同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，在Rt△ADE中，AD＝AE，
∴∠ADE＝45°，
∴DE2＝2AD2，
∵∠ADC＝45°，
∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，
根据勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，
即：BD2＝CD2+2AD2；
（3）如图3，过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，
∴∠DCE＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，
∴CD＝CE，
根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，
连接AC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝45°＝∠ADC，
∴AC＝BC，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，
①AD＝6，BD＝8，
∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，
∴2CD2＝142，
∴CD＝7，
故答案为7；
②∵AD+BD＝14，
∴CD＝7，
∴＝AD•（BD+×7）＝AD•（BD+7）
＝AD•BD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣）2+，
∴当AD＝时，的最大值为，
∵AD+BD＝14，
∴BD＝14﹣＝，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝，
∴⊙O的半径为OA＝AB＝．
x
…
0
1
2
…
y
…
…