福建省泉州市永春县2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份福建省泉州市永春县2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在实数，0、﹣2.36、π、、中，无理数的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．x5+x5＝x10B．（x3y2）2＝x5y4
C．x6÷x2＝x3D．x2•x3＝x5
4．若要说明命题：“如果a＜b，那么a2＜b2”是假命题，则可以举的反例是（ ）
A．a＝2，b＝3B．a＝﹣2，b＝﹣3C．a＝﹣3，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝3
5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后（ ）
A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DACC．∠B＝∠D＝90°D．∠BCA＝∠DCA
6．多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．10B．20C．±10D．±20
7．如果多项式x2﹣mx﹣35分解因式为（x﹣5）（x+7），则m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．12D．﹣12
8．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A．a（b﹣x）＝ab﹣ax
B．b（a﹣x）＝ab﹣bx
C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx
D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2
9．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，∠B＝30°，则∠1的度数为（ ）
A．50°B．65°C．60°D．55°
10．如图，△ABC中，BC＝10，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD△BDC的最大值为（ ）
A．40B．28C．20D．10
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．25的平方根是 ．
12．比较大小：2 （用“＞”或“＜”号填空）．
13．计算：4a2b2c÷（﹣2ab2）＝ ．
14．已知：，那么x+y的立方根等于 ．
15．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，则DE的长是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，过点A作AF⊥AD，过点C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于点F，其中DE＝EF．下列结论：①△ABD≌△ACF；②BD+CE＝DE△ADE＝8，S△CEF＝3．则S△ABC＝19；④∠BAD＝45°﹣∠CAE．其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（共86分）
17．计算：
（1）﹣﹣+|1﹣|；
（2）（﹣a2）3﹣6a2•a4．
18．分解因式：
（1）3x2﹣27；
（2）（a+1）（a﹣5）+9．
19．先化简，再求值：[（x+2y）2+（3x+y）（3x﹣y）﹣3y（y﹣x）]÷（2x），y＝2．
20．如图，点F、C在BE上，BF＝CE，∠B＝∠E．
求证：AB＝DE．
21．如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
（1）用含a，b的整式表示花坛的面积；
（2）若a＝2，b＝1，工程费为500元/平方米
23．如图1，在△ACO中，OA＝OC，∠BAO＝∠DCO．
（1）求证：OB＝OD；
（2）如图2，AB交CD于点P，若，求证：A，O
24．【阅读】“若x满足（10﹣x）（x﹣3）＝17，求（10﹣x）2+（x﹣3）2的值”．
设10﹣x＝a，x﹣6＝b，
则（10﹣x）（x﹣3）＝ab＝17，a+b＝（10﹣x）+（x﹣3），（7﹣x）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×17＝15．
（1）【理解】
①若x满足（50﹣x）（x﹣35）＝100，则（50﹣x）2+（x﹣35）2的值为 ；
②若x满足（x﹣1）（3x﹣7）＝，试求（7﹣3x）2+9（x﹣1）2的值；
（2）【应用】
如图，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，使FO＝FE，过点O、T作MO、MT的垂线，求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值）
25．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），得到直线EF交直线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时
（2）如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，CF之间的数量关系并说明理由．
（3）当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，CF之间的数量关系．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．在实数，0、﹣2.36、π、、中，无理数的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
解：，π，是无限不循环小数；
0，是整数，它们不是无理数；
综上，无理数共3个，
故选：B．
【点评】本题主要考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平方根和算术平方根的定义解答．
解：±＝±2，，＝＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根，算术平方根的定义．
3．下列运算正确的是（ ）
A．x5+x5＝x10B．（x3y2）2＝x5y4
C．x6÷x2＝x3D．x2•x3＝x5
【答案】D
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则进行计算，从而作出判断．
解：A、x5+x5＝2x5，故此选项不符合题意；
B、（x3y8）2＝x6y4，故此选项不符合题意；
C、x6÷x2＝x7，故此选项不符合题意；
D、x2•x3＝x2，正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题关键．
4．若要说明命题：“如果a＜b，那么a2＜b2”是假命题，则可以举的反例是（ ）
A．a＝2，b＝3B．a＝﹣2，b＝﹣3C．a＝﹣3，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝3
【答案】C
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
解：当a＝﹣3，b＝﹣2时，
但a7＞b2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
5．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后（ ）
A．CB＝CDB．∠BAC＝∠DACC．∠B＝∠D＝90°D．∠BCA＝∠DCA
【答案】D
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
解：A、添加CB＝CD，能判定△ABC≌△ADC；
B、添加∠BAC＝∠DAC，能判定△ABC≌△ADC；
C、添加∠B＝∠D＝90°，能判定△ABC≌△ADC；
D、添加∠BCA＝∠DCA时，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是（ ）
A．10B．20C．±10D．±20
【答案】C
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
解：由于（x±5）2＝x2±10x+25
∴m＝±10
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
7．如果多项式x2﹣mx﹣35分解因式为（x﹣5）（x+7），则m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．12D．﹣12
【答案】A
【分析】把多项式相乘展开，然后利用系数对应即可求解．
解：∵（x﹣5）（x+7），
＝x4+7x﹣5x﹣35
＝x3+2x﹣35
＝x2﹣mx﹣35，
∴m＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解与多项式相乘是互逆运算，利用多项式相乘，然后再对应系数相同．
8．通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A．a（b﹣x）＝ab﹣ax
B．b（a﹣x）＝ab﹣bx
C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx
D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2
【答案】D
【分析】要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
解：图1中，阴影部分＝长（a﹣x）宽（a﹣2b）长方形面积，
∴阴影部分的面积＝（a﹣x）（b﹣x），
图3中，阴影部分＝大长方形面积﹣长a宽x长方形面积﹣长b宽x长方形面积+边长x的正方形面积，
∴阴影部分的面积＝ab﹣ax﹣bx+x2，
∴（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2．
故选：D．
【点评】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．
9．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，∠B＝30°，则∠1的度数为（ ）
A．50°B．65°C．60°D．55°
【答案】B
【分析】由△ABC≌△ADE，则∠ACB与∠AED是一组对应角，∠B与∠D是一组对应角，对于△ACF，外角∠ACB等于除∠ACF外的两个内角之和．
解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝105°，
∴∠ACB＝∠AED＝105°，∠B＝∠D＝30°．
由三角形外角的性质可得∠ACB＝∠AFC+∠CAD，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAD＝95°．
∴∠GFD＝∠AFC＝95°．
∵∠GFD＝95°，∠D＝30°，
∴∠1＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．
10．如图，△ABC中，BC＝10，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD△BDC的最大值为（ ）
A．40B．28C．20D．10
【答案】D
【分析】延长AB，CD交于点E，可证△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，则S△BDC＝S△BCE，当BE⊥BC时，S△BEC最大为20，即S△BDC最大为10．
解：如图：延长AB，CD交于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝4，
∴AE﹣AB＝4，即BE＝8；
∵DE＝DC，
∴S△BDC＝S△BEC，
∴当BE⊥BC时，S△BDC最大，
即S△BDC最大＝××10×4＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S△BDC＝S△BEC是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．25的平方根是 ±5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】运用开平方和平方的互逆运算关系进行求解．
解：∵（±5）2＝25，
∴25的平方根是±4，
故答案为：±5．
【点评】此题考查了实数平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用开平方和平方的互逆运算关系．
12．比较大小：2 ＞ （用“＞”或“＜”号填空）．
【答案】见试题解答内容
【分析】先估算出的值，再根据两正数比较大小的法则进行比较即可．
解：∵≈1.732，
∴6＞．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，能估算出的值是解答此题的关键．
13．计算：4a2b2c÷（﹣2ab2）＝ ﹣2ac ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式求解．
解：4a2b4c÷（﹣2ab2）＝﹣7ac；
故答案为﹣2ac．
【点评】本题考查了整式的除法，牢记法则是解题的关键．
14．已知：，那么x+y的立方根等于 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】根据算术平方根及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后求得x+y的值，再利用立方根的定义即可求得答案．
解：由题意可得x﹣1＝0，y+7＝0，
则x＝1，y＝﹣5，
那么x+y＝1﹣2＝﹣8，
x+y的立方根为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查算术平方根及偶次幂的非负性，立方根，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
15．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC．AD⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，则DE的长是 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出DE的值．
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC＝1，CE＝AD＝3．
∴DE＝EC﹣CD＝3﹣1＝2
故选答案为2．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，过点A作AF⊥AD，过点C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于点F，其中DE＝EF．下列结论：①△ABD≌△ACF；②BD+CE＝DE△ADE＝8，S△CEF＝3．则S△ABC＝19；④∠BAD＝45°﹣∠CAE．其中正确的是 ①③④ （填序号）．
【答案】①③④．
【分析】由ASA证明△ABD≌△ACF，故①正确；得AD＝AF，BD＝CF，再由三角形的三边关系得CF+CE＞EF，得BD+CE＞DE，故②不正确；然后证△AED≌△AEF（SSS），得S△AEF＝S△ADE＝8，由三角形的面积关系S△ABC＝S△ABD+S△AEC+S△ADE＝S△AEF+S△CEF+S△ADE＝19，故③正确，最后由全等三角形的性质得∠DAE＝∠FAE＝45°，则∠BAD＝45°﹣∠CAE，故④正确；即可得出答案．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵AF⊥AD，BC⊥CF，
∴∠DAF＝∠BAC＝∠ECF＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAF+∠DAC，∠ACF＝90°﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAD＝∠CAF，∠B＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），故①正确；
∴AD＝AF，BD＝CF，
∵CF+CE＞EF，DE＝EF，
∴BD+CE＞DE，故②不正确；
在△AED和△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SSS），
∴S△AEF＝S△ADE＝8，
∵S△AEF+S△CEF＝S△ACF+S△AEC＝S△ABD+S△AEC，
∴S△ABC＝S△ABD+S△AEC+S△ADE＝S△AEF+S△CEF+S△ADE＝8+5+8＝19，故③正确，
∵△AED≌△AEF，
∴∠DAE＝∠FAE＝∠DAF＝，
∴∠BAD＝90°﹣∠DAE﹣∠CAE＝90°﹣45°﹣∠CAE＝45°﹣∠CAE，故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系以及三角形面积等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明△ABD≌△ACF和△AED≌△AEF是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17．计算：
（1）﹣﹣+|1﹣|；
（2）（﹣a2）3﹣6a2•a4．
【答案】（1）；
（2）﹣7a6．
【分析】（1）根据立方根、平方根、绝对值的性质计算；
（2）根据积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则以及合并同类项法则计算．
解：（1）原式＝﹣（﹣3）﹣2+[﹣（4﹣）]
＝3﹣3﹣1+
＝；
（2）原式＝﹣a6﹣6a4
＝﹣7a6．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、实数的运算，掌握立方根、平方根、绝对值的性质、积的乘方法则、单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
18．分解因式：
（1）3x2﹣27；
（2）（a+1）（a﹣5）+9．
【答案】（1）3（x+3）（x﹣3）；
（2）（a﹣2）2．
【分析】（1）先提取公因式3，再利用平方差公式即可；
（2）先把多项式进行变形，然后利用完全平方公式即可．
解：（1）原式＝3（x2﹣6）
＝3（x+3）（x﹣3）；
（2）原式＝a2﹣4a﹣7+9
＝a2﹣3a+4
＝（a﹣2）6．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解，注意因式分解要彻底．
19．先化简，再求值：[（x+2y）2+（3x+y）（3x﹣y）﹣3y（y﹣x）]÷（2x），y＝2．
【答案】5x+y，﹣3．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项以及多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算，得到答案．
解：原式＝（x2+4xy+8y2+9x8﹣y2﹣3y3+3xy）÷2x
＝（10x3+7xy）÷2x
＝5x+y，
当x＝﹣4，y＝2时×2＝﹣3．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．如图，点F、C在BE上，BF＝CE，∠B＝∠E．
求证：AB＝DE．
【答案】见试题解答内容
【分析】欲证明AB＝DE，只要证明△ABC≌△DEF即可．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB＝DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，记住一般三角形全等的四种判定方法，属于中考常考题型．
21．如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
（1）用含a，b的整式表示花坛的面积；
（2）若a＝2，b＝1，工程费为500元/平方米
【答案】（1）（4a2+2ab+3b2）平方米；（2）11500元．
【分析】（1）利用“花坛的面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积”先列出代数式，化简即可；
（2）把a、b的值代入，计算出花坛的面积和造价．
解：（1）由题意，得（2a+3b）（7a+b）﹣2a•3b
＝3a2+6ab+6ab+3b2﹣2ab
＝（4a2+7ab+3b2）平方米．
答：花坛的面积为（4a2+2ab+2b2）平方米．
（2）a＝2，b＝7，
花坛的总工程费为：（4×25+2×2×8+3×16）×500
＝（4×4+2+3×1）×500
＝23×500
＝11500（元）．
答：建花坛的总工程费为11500元．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，看懂题图列出代数式是解决本题的关键．
23．如图1，在△ACO中，OA＝OC，∠BAO＝∠DCO．
（1）求证：OB＝OD；
（2）如图2，AB交CD于点P，若，求证：A，O
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【分析】（1）由“SAS”可证△AOB≌△COD，可得OB＝OD；
（2）由△AOB≌△COD得∠OAB＝∠OCD，∠AOB＝∠COD，从而得出∠AOC＝∠BOD，∠AOC＝∠APC，根据∠APC+∠APD＝180°和∠APD＝90°+∠COB进一步得出结论．
【解答】证明：（1）在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴OB＝OD，
（2）由（1）知：△AOB≌△COD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠AOB＝∠COD，
∴∠OAC+∠OCA＝∠CAP+∠ACO+∠OCP＝∠CAP+∠ACP，∠AOB﹣∠BCO＝∠COD﹣∠BCO，
∴∠APC＝∠AOC，∠AOC＝∠BOD，
∵∠APC+∠APD＝180°，
∴∠AOC+∠APD＝180°，
∵∠APD＝90°+∠COB，
∴∠AOC+（90°+∠COB）＝180°，
∴2∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC+∠BOD+∠BOC＝180°，
∴A，O，D三点共线；
【点评】本题考查了全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是熟记全等三角形的判定与性质．
24．【阅读】“若x满足（10﹣x）（x﹣3）＝17，求（10﹣x）2+（x﹣3）2的值”．
设10﹣x＝a，x﹣6＝b，
则（10﹣x）（x﹣3）＝ab＝17，a+b＝（10﹣x）+（x﹣3），（7﹣x）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×17＝15．
（1）【理解】
①若x满足（50﹣x）（x﹣35）＝100，则（50﹣x）2+（x﹣35）2的值为 25 ；
②若x满足（x﹣1）（3x﹣7）＝，试求（7﹣3x）2+9（x﹣1）2的值；
（2）【应用】
如图，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，使FO＝FE，过点O、T作MO、MT的垂线，求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值）
【答案】（1）①25；②23；
（2）1856．
【分析】（1）直接利用题中所给的运算方法解题即可；
（2）用x表示出大正方形的边长，进而表示面积，利用完全平方公式和它的变形解题即可．
解：（1）①解：设50﹣x＝a，x﹣35＝b；
则（50﹣x）（x﹣35）＝ab＝100，a+b＝（50﹣x）+（x﹣35）＝15，
∴（50﹣x）2+（x﹣35）2
＝a5+b2
＝（a+b）2﹣6ab
＝152﹣2×100
＝25．
故答案为：25；
②设3﹣3x＝a，3（x﹣8）＝b．
则，a﹣b＝3（x﹣7）﹣（3x﹣7）＝3，即，
∴（4﹣3x）2+5（x﹣1）2
＝（4x﹣7）2+（2x﹣3）2
＝a8+b2
＝（a﹣b）2+4ab
＝
＝23，
（2）如图，可知：DE＝ME＝3x﹣44，
∴MO＝ME+EF+OF＝（2x﹣44）+2（x﹣30），
∵长方形EFGD的面积是200，
∴（4x﹣44）（x﹣30）＝200，即（2x﹣44）（2x﹣60）＝400，
设（5x﹣44）（2x﹣60）＝ab＝400，a﹣b＝（2x﹣44）﹣（8x﹣60）＝16，
∴S四边形MORT＝MO2＝[（2x﹣44）+6（x﹣30）]2＝（a+b）2＝（a﹣b）7+4ab＝162+2×400＝1856．
【点评】本题考查换元法，能运用完全平方公式变形是解题的关键．
25．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），得到直线EF交直线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时
（2）如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，CF之间的数量关系并说明理由．
（3）当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，CF之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）BD＝CF﹣3，证明见解答过程；
（3）画图见解答过程，若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3．
【分析】（1）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD+CF＝CE+BE＝BC＝3即可；
（2）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，即可得出BD＝CF﹣3；
（3）分点E在线段BC上和在BC延长线上两种情况讨论即可．
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
（2）如图，设G点在FE的延长线，
∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°，
∴∠F＝∠BED，
又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，
即BD＝CF﹣3；
（3）①若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，
∴∠BDE＝∠CEF，
又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝2；
②若E在BC延长线上，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3；
综上，若E在线段BC上；若E在BC延长线上．
【点评】本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．