初中数学第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理2 线段垂直平分线学案设计

这是一份初中数学第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理2 线段垂直平分线学案设计，共6页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

学习目标：
1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法；
2.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．
自主学习
一、知识链接
1.经过线段________并且______于这条线段的________，叫做这条线段的垂直平分线.
2.线段是轴对称图形，它的对称轴是它的 线.
二、新知预习
操作：如图，已知线段AB，作直线MN的垂直平分线段AB.
问题：（1）设两弧线的一个交点为P，量出AP，PB的长度，它们有什么关系？
（2）用学过的方法证明AP与BP的关系．
合作探究
一、探究过程
探究点1：线段垂直平分线的性质
问题 通过上述“操作”，你认为线段的垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离，有什么特点？
【要点归纳】线段垂直平分线上的点到线段两端的距离________.
例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D.若
△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
【方法总结】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
例2 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.
【要点归纳】三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离_______.
【变式题】某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？在图中作出购物中心的位置．
例3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F.若BE⊥AE，求证：
(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.
【方法总结】证明线段相等的常用方法：1.由全等得对应线段相等；2.由线段垂直平分线的性质得出线段相等.
探究点2：线段垂直平分线的判定
问题 写出垂直平分线性质定理的逆命题，你认为它是真命题还是假命题？
【要点归纳】到线段两端距离________的点在这条线段的______________上.
例4 如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
二、课堂小结
线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质与判定
线段垂直平分线的性质
三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离______.
证明线段相等
当堂检测
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

第1题图 第2题图 第3题图
2.小明做了一个如图所示的风筝，其中EH=FH，ED=FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线．其中蕴含的道理是 .
3.如图，△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=50°，则∠BDC= °.
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D，求证：BE+DE＝AC．
5.如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD＝DE，若AB+BD＝DC，求证：点E在线段AC的垂直平分线上．
6.如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
拓展提升
7.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O．
（1）找出图中相等的线段；
（2）OE，OF分别是点O到∠CAD两边的距离，试说明它们的大小有什么关系?
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.中点 垂直 直线 2.垂直平分
二、新知预习
操作：如图所示：
问题：（1）AP=BP． （2）由作图知MN垂直平分AB，设MN与AB相交于点C，所以AC=BC，∠ACP=∠BCP，又因为CP=CP，所以△ACP≌△BCP.所以AP=BP .
合作探究
一、探究过程
探究点1：
【要点归纳】相等
例1 C
例2 证明：∵点P是边AB，BC的垂直平分线的交点，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC．
【要点归纳】相等
【变式题】解：如图，连接AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点即得AB的垂直平分线；同理连接BC，作出BC的垂直平分线，两条直线交于点P，则点P就是购物中心的位置.
例3 证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE=EC．∵在△ADE与△FCE中，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC=AD．
（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE=EF，AD=CF，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB=BF=BC+CF，∵AD=CF，∴AB=BC+AD．
探究点2：
【要点归纳】相等 垂直平分线
例4 证明：∵OE平分∠AOB，∴∠COE=∠DOE．∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE=∠ODE=90°.在△OCE和△ODE中，∴△OCE≌△ODE（AAS），∴OC=OD，又∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．
二、课堂小结
相等
当堂检测
1. B
2.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
3.100
4.证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵ED⊥AB，BE平分∠ABC，∴CE＝DE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵AC＝AE+CE，∴BE+DE＝AC．
5.证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD＝DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴AB+BD＝AE+DE，又∵AB+BD＝DC，∴DC＝AE+DE，∴DE+EC＝AE+DE.∴EC＝AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．
6.解：AD垂直平分EF.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD．在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AD为EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF．
7.解：（1）∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD.
（2）OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，，∴△AOC≌△AOD（SSS），∴∠CAO＝∠DAO，又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴∠AEO=∠AFO，又∵AO=AO，∴△AOE≌△AOF（AAS），∴OE＝OF．