湖南省岳阳市临湘市贺畈乡中学2023—2024学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份湖南省岳阳市临湘市贺畈乡中学2023—2024学年上学期八年级期中数学试卷，共14页。

1．（3分）下列各式中，属于最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算中，正确的是（ ）
A．（﹣2）0＝﹣1B．＝a2﹣a+
C．＝2D．0.00003＝3×10﹣5
4．（3分）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB＝DC，AC＝DBB．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．∠ACB＝∠DBC，∠A＝∠DD．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB
5．（3分）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A＝55°，∠B＝70°D．∠A：∠B＝1：2
6．（3分）下列命题为真命题的是（ ）
A．三角形的外心是三角形三个内角角平分线的交点
B．同位角相等
C．三角形的内心到三边的距离相等
D．正多边形都是中心对称图形
7．（3分）瓜达尔港是我国实施“一带一路”战略构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队预计把距离港口420km的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高50%，行驶时间缩短2h，那么汽车原来的平均速度为（ ）
A．80km/hB．75km/hC．70km/hD．65km/h
8．（3分）如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB＝20，CF＝12，则BD等于（ ）
A．12B．8C．6D．10
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
9．（4分）当x 时，分式有意义．
10．（4分）一个等腰三角形的周长是13厘米，其中有一条边长为4厘米，该三角形另外两条边长分别为 ．
11．（4分）对于实数a，b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b＝﹣ab，方程（x﹣）⊗1＝0的解为 ．
12．（4分）若关于x的方程无解，则m的值为 ．
13．（4分）已知x+＝5，则代数式x+﹣5＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N，连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm，则BC＝ cm．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝ cm．
16．（4分）已知墙面与地面成直角，直角△ABC如图放置，BC＝3cm，AC＝4cm，AB＝5cm，一木棒PQ靠在墙上，且PQ＝5cm．木棒沿墙面滑下（P向A运动，Q向C运动），P点运动到A点就停止运动，已知P点的运动速度是1cm/s，当P运动 s时，△ABC与△PQA全等．
三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分）
17．（8分）计算：
（1）（π﹣3.14）0+|﹣2|﹣（）﹣1；
（2）÷．
18．（8分）解方程：＝+1．
19．（8分）先化简，再求值：（x+2﹣）+，其中x2+x﹣5＝0．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，连接CD．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝2，则BD＝ ；
（2）如图2，作DF∥AC，且DF＝AC＝BD，连接BF，CF，求证：△ABF≌△BAC．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠AEC＝60°，ED垂直平分BC，ED＝3．
（1）求∠B的度数；
（2）过点C作AB的垂线，交BA的延长线于H，求EH的长度．
22．（8分）在△ABC中，AD⊥BC，且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE．
（1）若∠BAD＝16°，求∠CEF的度数；
（2）若DC＝8cm，求△ABE的周长．
23．（8分）2020年1月份，为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同．求每袋甲种、乙种口罩的进价分别是多少元？
24．（8分）如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．设点P的运动时间为t（s），t＞0．
（1）当t＝ 时，△PAC是直角三角形；
（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P，Q均以1cm/s的速度同时出发．那么当t取何值时，△PAQ是直角三角形？请说明理由；
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，且动点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于E．试问线段DE的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出DE的长度．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1． 解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、＝，不是最简分式，不符合题意；
D、＝，不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
2． 解：A、＝2×，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；
B、＝，分式的值保持不变，故此选项符合题意；
C、＝，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；
D、＝，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意．
故选：B．
3． 解：A．（﹣2）0＝1，故此选项不合题意；
B．＝a2﹣a+，故此选项不合题意；
C．＝﹣2，故此选项不合题意；
D．0.00003＝3×10﹣5，故此选项符合题意；
故选：D．
4． 解：根据题意知，BC边为公共边．
A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C、由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项符合题意．
故选：D．
5． 解：A、∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，选项错误；
B、∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A+∠B＝∠C，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，选项错误；
C、∵∠A＝55°，∠B＝70°，
∴∠C＝55°，
∴∠A＝∠C
∴△ABC为等腰三角形，选项正确；
D、∵∠A：∠B＝1：2，
∴∠A，∠B的度数不能确定，选项错误；
故选：C．
6． 解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故此选项不合题意；
B．两直线平行，同位角相等，故此选项不合题意；
C．三角形的内心到三边的距离相等，故此选项符合题意；
D．正多边形不一定是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
7． 解：设汽车原来的平均速度是x km/h，则升级后汽车行驶的平均速度为（1+50%）xkm/h，
根据题意得：﹣＝2，
解得：x＝70，
经检验：x＝70是原方程的解，
即汽车原来的平均速度70km/h，
故选：C．
8． 解：∵AB∥FC，
∴∠ADE＝∠EFC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝EF，
∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD＝CF，
∵AB＝20，CF＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝20﹣12＝8．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
9． 解：由题意得：3x+1≠0，
解得：x≠﹣，
故答案为：≠﹣．
10． 解：∵等腰三角形的周长为13，
∴当4为腰时，它的底长＝13﹣4﹣4＝5，4+4＞5，能构成等腰三角形；
当4为底时，它的腰长＝（13﹣4）÷2＝4.5，4+4.5＞4.5能构成等腰三角形，
即它的另外两边长分别为4，5或者4.5，4.5．
故答案为：4，5或者4.5，4.5
11． 解：由题意可得，
（x﹣）⊗1＝0，
，
给方程两边同时乘以x﹣，
得（x﹣）2﹣（x）2＝0，
化简得﹣2x＝﹣2，
解得x＝1，
检验：把x＝1代入x﹣中，x﹣≠0，
所以x＝1是原分式方程的解．
故答案为：x＝1．
12． 解：分式方程去分母得：x+4+m（x﹣4）＝4，
整理得：x+4+mx﹣4m＝4，即（m+1）x＝4m，
当m+1＝0，即m＝﹣1时，方程无解；
当m+1≠0，即m≠﹣1时，由分式方程无解，得到x＝4或x＝﹣4，
把x＝4代入整式方程得：4（m+1）＝4m，无解；
把x＝﹣4代入整式方程得：﹣8m＝4，即m＝﹣，
综上，m的值为﹣1或﹣．
故答案为：﹣1或﹣．
13． 解：∵x+＝5，
∴x+﹣5＝0，
故答案为：0．
14． 解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴BN+CN＝AN+CN＝AC，
∵AB＝AC＝8cm，
∴BN+CN＝8cm，
∵△NBC的周长是14cm．
∴BC＝14﹣8＝6（cm）．
故答案为：6．
15． 解：∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠OCB＝∠NOC，
∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，
∴∠MBO＝∠OBC，∠NCO＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴OM＝BM，ON＝CN，
∵BM＝3cm，CN＝2cm，
∴OM＝3cm，ON＝2cm，
∴MN＝MO+ON＝3+2＝5cm；
故答案为：5．
16． 解：①当AP＝BC时，△ABC与△PQA全等，
∵BC＝3cm，
∴AP＝3cm，
∵P点的运动速度是1cm/s，
∴P运动的时间为：（5﹣3）÷1＝2s；
②当PA＝AC时，△ABC与△PQA全等，
∵AC＝4cm，
∴AP＝4cm，
∵P点的运动速度是1cm/s，
∴P运动的时间为：（5﹣4）÷1＝1s，
故答案为：1或2．
三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分）
17． 解：（1）原式＝1+2﹣2
＝1；
（2）原式＝÷
＝＝×
＝．
18． 解：去分母，得3x＝2x+3x+6，
整理，得2x＝﹣6，
解，得x＝﹣3．
经检验，x＝﹣3是原方程的解．
所以原方程的解为x＝﹣3．
19． 解：原式＝÷（﹣）+
＝÷
＝﹣+
＝
＝，
∵x2+x﹣5＝0，
∴x2+x＝5，
∴原式＝＝﹣．
20． （1）解：∵CD⊥AB，∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3，
故答案为：3；
（2）证明：∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BAC＝60°，
又∵DF＝BD，
∴△BDF为等边三角形，
∴∠DBF＝∠BAC＝60°，BF＝DF，
即BF＝AC，
在△ABF和△BAC中，
，
∴△ABF≌△BAC（SAS）．
21． 解：（1）∵ED垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE，
∵∠AEC＝∠B+∠BCE＝60°，
∴∠B＝∠ECD＝30°；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
∵DE＝3，∠ECD＝30°，
∴EC＝2DE＝6，
∵CH⊥AB，
∴∠CHA＝90°，
∵∠AEC＝60°，
∴∠HCE＝30°，
∵EC＝6，
∴EH＝EC＝3．
22． 解：（1）∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD＝DE，
∴AE＝AB＝EC，
∴∠B＝∠AEB，∠EAC＝∠C，
∵∠BAD＝16°，
∴∠B＝90°﹣16°＝74°，
∴∠AEB＝74°，
∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，
∴∠C＝＝37°，
∴∠CEF＝90°﹣∠C＝53°；
（2）由（1）知：EC＝AE＝AB，
∵DE＝BD．
∴AB+BD＝EC+DE＝DC，
∴△ABE的周长为AB+BD+AE+DE＝2DC＝2×8＝16（cm）．
23． 解：设每袋甲种口罩的进价为x元，则每袋乙种口罩进价为（40﹣x）元，
依题意得：＝，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
则40﹣x＝25，
答：每袋甲种口罩进价为15元，每袋乙种口罩进价为25元．
24． 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
若△PAC是直角三角形，则∠APC＝90°，
∴∠ACP＝30°，
∴AP＝AC＝3，
∴t＝3÷1＝3（s），
故答案为：3s；
（2）分两种情况：
①当∠APQ＝90°时，如图2﹣1所示：
则∠AQP＝90°﹣∠A＝30°，
∴AQ＝2AP，
由题意可得：AP＝BQ＝t，则AQ＝6﹣t，
∴6﹣t＝2t，
解得：t＝2；
②当∠AQP＝90°时，如图2﹣2所示：
则∠APQ＝90°﹣∠A＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（6﹣t），
解得：t＝4；
综上，当t为2s或4s时，△PAQ是直角三角形；
（3）线段DE的长度不变化，理由如下：
过点Q作QF⊥AC，交AC的延长线于F，如图3所示：
∵PE⊥AC，QF⊥AC，
∴∠AEP＝∠DEP＝∠CFQ＝90°，
∵∠QCF＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠QCF，
又∵AP＝CQ，
∴△APE≌△CQF（AAS），
∴AE＝CF，PE＝QF，
又∵∠PDE＝∠QDF，
∴△PDE≌△QDF（AAS），
∴DE＝DF＝EF，
∵EF＝CE+CF，AC＝CE+AE，
∴EF＝AC＝6，
∴DE＝EF＝3，
即线段DE的长度不变，为定值3．