2021-2022学年山东省泰安市高新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（Word解析版）

绝密★启用前

2021-2022学年山东省泰安市高新区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组二次根式，是同类二次根式的是(    )

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

3. 如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点、、，与相交于点，且，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ；

6. 已知是的边上一点，连接，则下列不能判定∽的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在▱中，对角线与相交于点，对于下列条件：；；；能判定四边形是矩形的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，菱形的对角线与交于点，过点作垂线交延长线于点，连结，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，与是位似图形，且位似中心为，：：，若的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为，乙的速度为，乙一直向东走，甲先向南走步，后又向东北方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时所用时间为多少？若设甲与乙相遇时间为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

11. 如图，，，，为上一点，且，在上取一点，使以、、为顶点的三角形与相似，则等于(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 以上答案都不对

12. 如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点，连结、下列结论：≌；；；其中正确结论的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 使代数式有意义的的取值范围是______．
14. 若关于的一元二次方程是常数有实根，那么的取值范围是______ ．
15. 如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点即是与的比例中项，支撑点是靠近点的黄金分割点，则______ ．
     
16. 如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则______．

17. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒元下调至元，则这种药品平均每次降价的百分率为______．
18. 如图，正方形城邑的四面正中各有城门，出北门步的处步有一树木，由南门步到处步，再向西行步到处步，正好看到处的树木点在直线上，则城邑的边长为______步．

三、解答题（本大题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：；
    计算：．
20. 本小题分
    按照指定方法解下列方程：
    公式法；
    配方法；
    因式分解法．
21. 本小题分
    如图，正方形和正方形有公共点，点在在线段上．判断与的位置关系，并说明理由．

22. 本小题分
    如图，操场边的路灯照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知米，米，单杠高米，试求路灯的高度．

23. 本小题分
    如图，中，，过点作的平行线，与的平分线交于点，点是上一点，于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．
     

24. 本小题分
    “双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低元，每天将多售出台，已知每台学习机的进价为元．如果该品牌学习机商店拟获利元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？
25. 本小题分
    如图，在等腰中，，为上的高，交延长线于．
    求证：；
    点为中点，延长交于，求证：∽．
    在的条件下，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
等式两边都除以，得，
即，




，
故选：．
根据比例的性质和已知条件求出，再求出答案即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
选项，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
选项，与是同类二次根式，故该选项符合题意；
选项，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式判断即可．
本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
求出，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算法则逐项判断．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：∽，和是它们的对应角平分线，，，
两三角形的相似比为：：：，
则与的面积比是：：．
故选：．
根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，，
∽，故本选项错误；
B、，，
∽，故本选项错误；
C、，，
∽，故本选项错误；
D、根据和不能判断∽，故本选项正确；
故选D．
根据相似三角形的判定定理有两角分别相等的两三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似逐个进行判断即可．
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
▱是矩形，故正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
▱是矩形，故正确；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
▱是矩形，故正确；
四边形是平行四边形，，
▱是菱形，故错误；
能判定四边形是矩形的个数有个，
故选：．
由矩形的判定、菱形的判定分别对各个条件进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
在中，，，
，
．
故选：．
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：与是位似图形，且位似中心为，：：，
：：：，
∽，
，
．
故选：．
利用位似的性质得：：：，∽，然后根据三角形相似的性质解决问题．
本题考查了位似变换，解决本题的关键是掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
 

10.【答案】 

【解析】解：设经秒二人在处相遇，这时乙共行，
甲共行，
，
，
又，
，
，
故选：．
设经秒二人在处相遇，然后利用勾股定理列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，尤其本题中的文言文更不容易理解．
 

11.【答案】 

【解析】解：与相似，
或，
，，，
或，
解得：或．
故选：．
根据相似三角形对应边成比例得出或，再代值计算即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似得到相应的线段的关系是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，．
，
．
沿折叠得到，
，，，
．
在和中，
，
≌，
正确；
≌，
，，
设，则，．
在中，由勾股定理得：．
，，，
，
解得：，
，
正确；
，
，
，
又，
，
，，
，
，
正确；
，，
，
正确；
故选：．
根据正方形的性质得出，，求出，，根据推出≌，推出，，设，则，，在中，由勾股定理得出，求出，得出，求出，推出，根据，，直接计算．
本题考查了翻折变换，正方形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键
 

13.【答案】且 

【解析】解：根据题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
 

14.【答案】且 

【解析】解：根据题意得，，
解得且．
故答案为且．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
故答案是：．
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是矩形，
，，且，
，
又，
，
，
，
故答案为：．
连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设这种药品平均每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
设这种药品平均每次降价的百分率为，利用该药品经过两次降价后的价格该药品的原价每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出每次降价的百分率为．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设城邑的边长为步，根据题意，
∽，
，
即，解得，不合题意，舍去，
城邑的边长为步．
故答案为：．
此题文字叙述比较多，解题时首先要理解题意，找到相似三角形，利用相似三角形的性质解题，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．
本题考查的是相似三角形的应用，此类题目只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比求解．
 

19.【答案】解：


；



． 

【解析】前一个算式先算括号内的，再用乘法分配律，最后化为最简二次根式即可；
后一个算式，先用平方差，完全平方公式，化为最简二次根式，再合并即可．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的相关运算．
 

20.【答案】解：方程整理得：，
这里，，，
，
，
解得：，；
方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 

【解析】方程整理为一般形式，利用公式法求出解即可；
方程利用配方法求出解即可；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：，理由如下：
四边形，四边形是正方形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌．
，
，
即．
． 

【解析】由“”可证≌，可得，，可得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由“”可证≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
∽，
，
，
，
∽，
，即，
．
答：路灯的高度为． 

【解析】先证明∽，则利用相似比可得，再根据比例的性质得，然后证明∽，于是可利用相似比可计算出．
本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，利用三角形相似的对应边成比例求相应线段的长．
 

23.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

四边形是平行四边形，
，
▱是菱形；
解：四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】先证，再证四边形是平行四边形，然后由，即可得出结论；
由菱形的性质得，再证，则，得，然后由勾股定理求出的长即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设每台学习机售价为元，则每台学习机的销售利润为元，每天可售出台，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：该商店需要将每台学习机售价定为元或元． 

【解析】设每台学习机售价为元，则每台学习机的销售利润为元，每台可售出台，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润每台的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】证明：为上的高，，
，
，
∽，
，
，
，
；
证明：，点为中点，
，
，
为上的高，
，
，
，
，
，
，
∽；

解：，，，
，
点为中点，
，
，，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
． 

【解析】由为上的高，得，可证出∽，根据相似三角形的性质可得，由即可得出；
根据等腰三角形三线合一的性质可得，，由为上的高可得，由得，可得出，由即可证出∽；
根据勾股定理得，由中点的定义得，证出∽，根据相似三角形的性质可得，可求出，根据勾股定理可得，即可得．
本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，主要考查了学生运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．