高一上学期期中数学试卷（提高篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·江苏·高一假期作业）以下选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：3x+2>5，q：−2x−3>−5
B．p：a>2,b<2，q：a>b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax=1有唯一解
【解题思路】根据充分必要条件的定义判断即可.
【解答过程】对于A，p:3x+2>5⇒x>1，q:−2x−3>−5⇒x<1，所以p推不出q，q推不出p，
所以p是q既不充分也不必要条件；
对于B，p:a>2,b<2⇒q:a>b；当a=1,b=0时，满足a>b，但q推不出p，
故p是q的充分不必要条件；
对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立推出“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要不充分条件；
对于D，若a≠0，则关于x的方程ax=1有唯一解；若关于x的方程ax=1有唯一解，则a≠0，
所以p⇔q，故p是q的充分必要条件.
故选：D.
2．（5分）（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知函数fx=0,x<1,x+1,1≤x<2,−x2+5,x≥2,若ffa=1，则a=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解题思路】先求出fx在各段上的值域，根据ffa=1求得fa的值，进一步求得a.
【解答过程】当x<1时，fx的值域为0，
当1≤x<2时，fx的值域为2,3；
当x≥2时，fx的值域为−∞,1.
要使ffa=1，则fa=2，所以a+1=2，解得a=1.
故选：D.
3．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知集合S=x0≤x≤2022,x∈N，A⊆S，B=a+ba,b∈A,a>b，C=a−ba,b∈A,a>b．若B∩C=∅，则集合A中元素个数的最大值为（ ）
A．1347B．1348C．1349D．1350
【解题思路】通过假设A=m,m+1,m+2,⋯,2022,m≤2022,m∈N，求出相应的B,C，通过B∩C=∅建立不等关系求出相应的值.
【解答过程】设A=a1,a2,⋯,ak满足题意，
其中a1则2a1∴|B|≥2k−3，
a1−a1∴|C|≥k−1，
∵B∩C=∅，
|B∪C|=|B|+|C|≥3k−4，
B∪C中最小的元素为1，最大的元素为4043 ，
∴|B∪C|=|B|+|C|≤4043，
∴3k−4≤4043(k∈N∗)，
∴k≤1349，
实际上当674，675,676,⋯,2022时满足题意，证明如下：
设A=m,m+1,m+2,⋯,2022,m∈N，
则B=2m+1,2m+2,⋯,4043,C=1,2,⋯,2022−m,
由题知2022−m<2m+1，即m≥674，
故m 的最小值为674，
于是m=674 时，A 中的元素最多，
即A=674,675,676⋯,2022时满足题意，
终上所述，集合A 中元素的个数的最大值为1349
故选：C.
4．（5分）（2023春·河南周口·高一校考阶段练习）下列不等式：
①cab>c>0；
②a+mb+m>aba,b,m>0；
③a2+b22≥a+b22a,b∈R；
④a+b≤2a2+b2a,b∈R
其中恒成立的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解题思路】对于①，利用不等式的性质可得解；对于②，利用作差法可知a+mb+m−ab=mb−abb+m，只b>a时，a+mb+m>ab成立；对于③，利用作差法知a2+b22−a+b22=a−b24≥0即可判断； 对于④，利用③的结论结合不等式的性质可判断；
【解答过程】对于①，∵a>b>0，∴1a<1b，又c>0，∴ca对于②，a+mb+m−ab=mb−abb+m，∵a,b,m>0，∴mbb+m>0，但b−a符号不确定，当b>a时，a+mb+m>aba,b,m>0，故②不恒成立；
对于③，a2+b22−a+b22=2a2+2b2−a2−b2−2ab4=a2+b2−2ab4=a−b24≥0，∴a2+b22≥a+b22，故③恒成立；
对于④，由③知a2+b22≥a+b22，∴a2+b22≥a+b24，∴2a2+b2≥a+b2，两边同时开方，可得2a2+b2≥a+b，故④恒成立；
故恒成立的结论是①③④
故选：B．
5．（5分）（2023·全国·高三专题练习）设正实数x,y满足x>12,y>1，不等式4x2y−1+y22x−1≥m恒成立，则m的最大值为 （ ）
A．8B．16C．22D．42
【解题思路】设y−1=b,2x−1=a，求出x,y的值，代入4x2y−1+y22x−1中化简，利用基本不等式求出结果.
【解答过程】设y−1=b,2x−1=a，则y=b+1b>0,x=12a+1a>0
所以4x2y−1+y22x−1=a+12b+b+12a≥2a+1b+1ab=2ab+a+b+1ab
=2ab+1ab+a+bab≥22ab⋅1ab+2abab=2⋅2+2=8
当且仅当a=b=1即x=2,y=1时取等号
所以4x2y−1+y22x−1的最小值是8，则m的最大值为8.
故选A.
6．（5分）（2023·全国·高三专题练习）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）(x∈[120,500])之间的函数关系可近似表示为y=13x3−80x2+5040x,x∈[120,144)12x2−200x+80000,x∈[144,500]，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120B．200C．240D．400
【解题思路】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分x∈[120,144)和x∈[144,500]分析讨论求出其最小值即可
【解答过程】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S=13x2−80x+5040,x[120,144)12x−200+80000x,x∈[144,500]，
当x∈[120,144)时，S=13x2−80x+5040=13(x−120)2+240，
当x=120时，S取得最小值240，
当x∈[144,500] 时，S=12x+80000x−200≥212x⋅80000x−200=200，
当且仅当12x=80000x，即x=400时取等号，此时S取得最小值200，
综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D.
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式组x2−2x−8>02x2+(2k+7)x+7k<0仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．−5,3∪4,5B．−5,3∪4,5C．−5,3∪4,5D．−5,3∪4,5
【解题思路】解不等式x2−2x−8>0，得x>4或x<−2，再分类讨论不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解集，结合集合关系求得参数k的取值范围.
【解答过程】解不等式x2−2x−8>0，得x>4或x<−2
解方程2x2+(2k+7)x+7k=0，得x1=−72，x2=−k
（1）当k>72，即−k<−72时，不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解为：−k此时不等式组x2−2x−8>02x2+(2k+7)x+7k<0的解集为−k,−72，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则−5≤−k<−4，即4（2）当k<72，即−k>−72时，不等式2x2+(2k+7)x+7k<0的解为：−72此时不等式组x2−2x−8>02x2+(2k+7)x+7k<0的解集为−72,−k，
若不等式组的解集中仅有一个整数，则−3<−k≤5，即−5≤k<3；
综上，可知k的取值范围为−5,3∪4,5
故选：B.
8．（5分）（2023秋·山东济宁·高一统考期末）已知函数fx是定义在R上的偶函数，若∀a，b∈0,+∞，且a≠b，都有afa−bfba−b<0成立，则不等式f1t−2t2−tf2t−1>0的解集为（ ）
A．−1,0∪12,+∞B．−12,0∪1,+∞
C．−∞,−1∪12,+∞D．−∞,−12∪1,+∞
【解题思路】根据题意，构造函数gx=xfx，求出函数gx的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.
【解答过程】令gx=xfx，由题意知gx在0,+∞上为减函数，
又fx为R上的偶函数，所以gx为R上的奇函数，
又gx在0,+∞上为减函数，g0=0，
所以gx在R上为减函数，
①当t>0时，1tf1t>2t−1f2t−1，即g1t>g2t−1，
所以1t<2t−1，所以1<2t2−t，解得t>1；
②当t<0时，1tf1t<2t−1f2t−1，即g1t所以1t>2t−1，所以1<2t2−t，解得t<−12.所以t<−12或t>1.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023春·浙江金华·高一校考阶段练习）对于集合A,B ，定义A−B={x|x∈A，且x∉B}，下列命题正确的有（ ）
A．若A−B=A，则A∩B=∅
B．若A∪B=A，则A−B=∁AB
C．若A={x∈N∗|−1≤x<5}，B={x|x≤2，或x>3}，则A−B={3}
D．若A={x|x≥0}，B={x|−3≤x≤3}，则(A−B)∪(B−A)={x|−3≤x≤0，或x>3}
【解题思路】根据集合新定义即A−B={x|x∈A，且x∉B}，一一判断各选项，可得答案.
【解答过程】因为A−B={x|x∈A，且x∉B}，
所以若A−B=A，则A∩B=∅，故A正确，
若A∪B=A，则B⊆A,则A−B=∁AB，故B正确;
A={x∈N∗|−1≤x<5}={1,2,3,4}，B={x|x≤2，或x>3}，则A−B={3}，故C正确，
若A={x|x≥0}，B={x|−3≤x≤3}，则A−B={x|x>3}，B−A=x|−3≤x<0，
∴(A−B)∪(B−A)={x|−3≤x<0或x>3}，故D错误.
故选：ABC.
10．（5分）（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x∣x<−3或x>4}，则下列结论正确的有（ ）
A．a>0
B．不等式bx+c>0的解集为{x∣x<−6}
C．a+b+c>0
D．不等式cx2−bx+a<0的解集为x∣x<−14或x>13
【解题思路】根据不等式ax2+bx+c>0解集为{x∣x<−3或x>4}，可判断a的正负，确定−3,4是ax2+bx+c=0的两根，从而求出b=−ac=−12a，由此一一判断每个选项，可得答案.
【解答过程】关于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x∣x<−3或x>4},
结合二次函数y=ax2+bx+c和一元二次方程ax2+bx+c=0以及不等式的关系，
可得a>0，且−3,4是ax2+bx+c=0的两根，A正确；
则−3+4=−ba−3×4=ca，故b=−ac=−12a，
所以bx+c>0即−ax−12a>0,∴x<−12，即bx+c>0的解集为{x∣x<−12}，B错误；
由于x的不等式ax2+bx+c>0解集为{x∣x<−3或x>4},
故x=1时，ax2+bx+c<0，即a+b+c<0，C错误；
由以上分析可知不等式cx2−bx+a<0即−12ax2+ax+a<0，
因为a>0，故12x2−x−1>0,∴x<−14或x>13，
故不等式cx2−bx+a<0的解集为x∣x<−14或x>13，D正确，
故选：AD.
11．（5分）（2023春·湖北武汉·高一校考期末）已知a>0，b>0，下列命题中正确的是（ ）
A．若ab−a−2b=0，则a+2b≥8
B．若a+b=2，则ba+4b≥5
C．若a+b=1，则2a+4+b+1≤23
D．若1a+1+1b+2=13，则ab+a+b≥14+66
【解题思路】对于A，由已知得ab=a+2b，利用基本不等式可求得结果，对于B，由已知可得2−aa+4b，化简后利用基本不等式即可，对于C，变形后利用柯西不等式判断，对于D，先对已知化简可得a=2b+7b−1，然后代入ab+a+b中化简变形后利用基本不等式即可.
【解答过程】对于A，因为ab−a−2b=0，所以ab=a+2b，
因为a>0，b>0，所以ab=a+2b≥22ab，当且仅当a=2b时取等号，
所以ab2≥8ab，所以ab≥8，当且仅当a=2b=4时取等号，
所以a+2b≥8，当且仅当a=2b=4时取等号，所以A正确，
对于B，因为a+b=2，所以b=2−a，
所以ba+4b=2−aa+4b=2a+4b−1=12(a+b)2a+4b−1
=126+4ab+2ba−1
=2ab+ba+2≥22ab⋅ba+2=22+2，
当且仅当2ab=ba，即a=22−2,b=4−22取等号，所以B错误，
对于C，由a+b=1，a>0，b>0，由柯西不等式得
2a+4+b+12=a+2⋅2+b+1⋅12 ≤a+2+b+1(2+1)=12，
所以2a+4+b+1≤23，当且仅当a+22=b+11，即a=23,b=13时取等号，
所以C正确，
对于D，由1a+1+1b+2=13，得3(b+2)+3(a+1)=(a+1)(b+2)，
化简得ab=a+2b+7，所以a=2b+7b−1，
因为a>0，b>0，所以b>1，
所以ab+a+b=2a+3b+7=4b+14b−1+3b+7
=3(b−1)+18b−1+14
≥23(b−1)⋅18b−1+14=66+14，
当且仅当3(b−1)=18b−1，即b=6+1时取等号，
所以ab+a+b≥14+66，所以D正确，
故选：ACD.
12．（5分）（2022秋·河北沧州·高一统考期中）已知函数fx满足对任意x1,x2∈0,+∞，都有fx1x2=fx1−fx2，且当x>1时，fx>0，函数Fx是定义域为R的偶函数，满足Fx+4=Fx，且当x∈0,2时，Fx=fx，则（ ）
A．F1=0B．F2022=F−12
C．Fx在−2,0上单调递增D．F−92【解题思路】当x2=x1>0时可求得F1=0，可判断A；易知函数Fx的周期为4， 再利用函数fx和Fx性质可得F2022=−F−12可知B错误；由对任意x1,x2∈0,+∞，fx1x2=fx1−fx2，且当x>1时，fx>0可得fx在0,+∞上单调递增，所以Fx在0,2上单调递增，根据偶函数性质可得C错误；利用函数Fx的周期性和单调性即可得出D正确.
【解答过程】对于A，取x2=x1>0，可得f1=fx1−fx1=0，因为1∈0,2，所以F1=f1=0，故A正确；
对于B，取x1=2x2，可得
fx1x2=f2=fx1−fx2>0,fx2x1=f12=fx2−fx1=−f2<0，
又F2022=F4×505+2=F2=f2,F−12=F12=f12，
所以F2022=−F−12≠F−12，故B错误；
对于C，对任意x1>x2>0，因为x1x2>1，
所以fx1−fx2=fx1x2>0，所以fx在0,+∞上单调递增，
又x∈0,2时，Fx=fx，则Fx在0,2上单调递增，
再由Fx是偶函数性质可得Fx在−2,0上单调递减，故C错误；
对于D，F−10=F10=F2,F−92=F92=F12+4=F12,
F3=F−1+4=F−1=F1，
因为Fx在0,2上单调递增，所以F12所以F−92故选：AD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·四川遂宁·高二校考期中）已知命题“∃x0∈[1，2]， x02−2ax0+1>0”是真命题，则实数a的取值范围为 −∞,54 ．
【解题思路】由题意可得2a＜x0+1x0在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a的范围．
【解答过程】命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣2ax0+1＞0”是真命题，
即有2a＜x0+1x0在[1，2]的最大值，
由x0+1x0在[1，2]递增，可得x0＝2取得最大值52，
则2a＜52，可得a＜54，
则实数a的取值范围为（﹣∞，54）．
故答案为（﹣∞，54）．
14．（5分）（2023秋·安徽淮北·高一校考期末）正数a,b满足9a+1b=2，若a+b≥x2+2x对任意正数a,b恒成立，则实数x的取值范围是 x−4≤x≤2 .
【解题思路】先利用基本不等式求解出a+b的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果.
【解答过程】因为a+b=12⋅9a+1b⋅a+b=1210+9ba+ab，
所以a+b≥1210+29ba⋅ab=1210+6=8，
取等号时a=3b9a+1b=2，即a=6b=2，
所以x2+2x≤8，解得x−4≤x≤2，
故答案为：x−4≤x≤2.
15．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数fx=m−12xm2−4m+2在0,+∞上单调递增，函数gx=2x−3t，任意x1∈1,5时，总存在x2∈1,5使得fx1=gx2，则t的取值范围是 13，73 ．
【解题思路】根据题意得到fx=x2，再计算值域为fx=x2∈1,25，得到g5≥25，g1≤1计算得到答案.
【解答过程】幂函数fx=m−12xm2−4m+2，则m−12=1∴m=0或m=2，
当m=2时，fx=x−2在0,+∞上单调递减，舍去；
故fx=x2，当x∈1,5时：fx=x2∈1,25，
故g5=25−3t≥25∴t≤73；g1=2−3t≤1，∴t≥13，
综上所述：t∈13，73.
故答案为：13，73.
16．（5分）（2023春·宁夏石嘴山·高二校考期末）函数f(x)的定义域为R，其图像是一条连续的曲线，f(x)在[0,1]上单调递增，且fx+1为偶函数，f(x+2)为奇函数，则下列说法中，正确说法的序号是 ②③⑤ .
①f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
②f(x)的最小正周期为4；
③f(x)在[2021,2023]上单调递减；
④f2024是f(x)的一个最大值；
⑤f1+f2+f3+⋅⋅⋅+f2024=0.
【解题思路】由fx+1为偶函数，可得f(x)的图象关于直线x=1对称，由f(x+2)为奇函数，可得f−x+2=−fx+2，再结合前面的可得f−x=−fx，fx+4=fx，从而可得f(x)为奇函数，周期为4，然后逐个分析判断.
【解答过程】对于①②，因为fx+1为偶函数，所以f−x+1=fx+1，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，所以fx+2=f−x，
因为f(x+2)为奇函数，所以f−x+2=−fx+2，所以f−x+2=−f−x，
所以fx+2=−fx，所以f−x=−fx，fx+4=fx，
所以f(x)为奇函数，周期为4，所以①错误，②正确，
对于③，因为f(x)为奇函数，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在[−1,1]上递增，
因为f(x)的图象关于直线x=1对称，所以f(x)在[1,3]上递减，
因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[2021,2023]上单调递减，所以③正确，
对于④，因为f(x)的定义域为R，且为奇函数，所以f0=0，
因为f(x)在[−1,1]上递增，f(x)在[1,3]上递减，f(x)的周期为4，所以f(x)在[3,4]上递增，f4=f0=0，所以f(x)在[0,4]上的最大值为f1，
因为f2024=f4×506=f0=0，所以f2024不是f(x)的一个最大值，所以④错误，
对于⑤，因为f−x+2=−fx+2，所以当x=0时，得f2=0，当x=1时，得f1+f3=0，所以f1+f2+f3+f4=0，
因为f(x)的周期为4，所以f1+f2+f3+⋅⋅⋅+f2024=506×f1+f2+f3+f4=0，所以⑤正确，
故答案为：②③⑤.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·全国·高三专题练习）判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则不用写出否命题，只需判断合题真假，并给出证明.
（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程x2−8x−10=0的每一个根都不是奇数.
（4）若ab≠0，则a+b=1的充要条件是a2+b+ab−a2−b2=0.
【解题思路】（1）利用特称命题的概念进行判断，结合不等式判断真假；
（2）利用特称命题的概念进行判断，结合三角形判断真假；
（3）利用全称命题的概念进行判断，方程判断真假；
（4）利用全称命题和特称命题的概念进行判断，结合充要条件判断真假.
【解答过程】（1）该命题是特称命题，
该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3>0
该命题的否定是真命题.
（2）该命题是特称命题，
该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形
该命题的否定是假命题.
（3）该命题是全称命题，
该命题的否定是：方程x2−8x−10=0至少有一个根是奇数
该命题的否定是假命题.
（4）该命题既不是全称命题又不是特称命题
该命题是假命题.
证明：当a2+b+ab−a2−b2=0时，有b+ab=b2，
则b(1+a)=b2，
又因为ab≠0，可知a≠0且b≠0
1+a=b即a−b=−1
故由a2+b+ab−a2−b2=0推不出a+b=1，
由此即可判断a+b=1的充要条件是a2+b+ab−a2−b2=0是假命题.
18．（12分）（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）已知集合A={x|2a−1≤x≤a+1}，B={x|0≤x≤3}．
(1)若a＝1，求A∪B；
(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件．
在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：
若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【解题思路】（1）由并集定义计算；
（2）若选择①，则由A∪B＝B，得A⊆B，然后分类讨论：A=∅与A≠∅两类求解；
若选择②，得A是B的真子集，同样分类A=∅与A≠∅求解．
【解答过程】（1）当a=1时，集合A={x|1≤x≤2}，因为B={x|0≤x≤3}，
所以A∪B={x|0≤x≤3}；
（2）若选择①，则由A∪B＝B，得A⊆B．
当A=∅时，即2a−1>a+1，解得a>2，此时A⊆B，符合题意；
当A≠∅时，即2a−1≤a+1，解得a≤2，所以2a−1≥0a+1≤3，解得：12≤a≤2；
所以实数a的取值范围是[12,+∞)．
若选择②，则由“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B．
当A=∅时，2a−1>a+1，解得a>2，此时A⫋B，符合题意；
当A≠∅时，2a−1≤a+1，解得a≤2，所以2a−1≥0a+1≤3且等号不同时取，解得12≤a≤2；
所以实数a的取值范围是[12,+∞)．
19．（12分）（2022·高一课时练习）（1）已知x>0,y>0，且满足8x+1y=1.求x+2y的最小值；
（2）当0（3）已知a>0,b>0，求a2a+b+2b2b+a的最大值.
【解题思路】（1）由已知把x+2y变形为x+2y8x+1y，展开后用基本不等式求得最小值；
（2）分离参数化为m≤1x+11−4x恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解；
（3）令2a+b=u,2b+a=v，u,v>0，可得a=2u−v3,b=2v−u3，代入所求式子化简整理，运用基本不等式可得所求最大值；
【解答过程】（1）由x>0,y>0，8x+1y=1可得
x+2y=x+2y8x+1y=10+xy+16yx≥10+2xy⋅16yx=18 ；
当且仅当8x+1y=1xy=16yx，即x=12y=3时，等号成立，
所以，x+2y的最小值为18
（2）不等式1x+11−4x−m≥0恒成立化为m≤1x+11−4x恒成立，
又因为00，因此1x+11−4x=4x+1−4x1x+11−4x=5+4x1−4x+1−4xx≥5+24x1−4x×1−4xx=9
当且仅当4x1−4x=1−4xx，即x=16时，等号成立，
所以m≤9，
即实数m的最大值为9．
（3）令2a+b=u,2b+a=v，u,v>0，
可得a=2u−v3,b=2v−u3，
所以，a2a+b+2b2b+a=1u⋅2u−v3+2v⋅2v−u3=2−v3u+2u3v≤2−2v3u⋅2u3v=2−223；
当且仅当v=2u时，上式取得等号，
可得a2a+b+2b2b+a的最大值为2−223．
20．（12分）（2023·全国·高三专题练习）设fx是定义在a,b上的函数，用分点T:a=x00，使得和i=1nfxi−fxi−1≤M（i=1,2,…,n）恒成立，则称fx为a,b上的有界变差函数．
(1)函数fx=x2在0,1上是否为有界变差函数？请说明理由；
(2)设函数fx是a,b上的单调递减函数，证明：fx为a,b上的有界变差函数；
(3)若定义在a,b上的函数fx满足：存在常数k，使得对于任意的x1,x2∈[a,b]时，fx1−fx2≤k⋅x1−x2．证明：fx为a,b上的有界变差函数．
【解题思路】（1）利用函数在0,1是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出来，求出值，取M大于等于此值，满足有界变差函数的定义；
（2）利用函数为减函数，将连和符号中的绝对值符号去掉，将连和用函数值的差表示出，求出连和的值，将M取此值，满足有界变差函数的定义；
（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差函数的定义．
【解答过程】（1）fx=x2在0,1上是增函数，故对任意划分T：fxn>fxn−1，
i=1nfxi−fxi−1=fx1−fx0+fx2−fx1+⋯+fxn−fxn−1
=f1−f0=1，
取常数M≥1，则和式i=1nfxi−fxi−1≤M恒成立．
故函数fx在0,1是有界变差函数．
（2）函数fx是a,b上的单调递减函数，
任意的划分T:a=x0i=1nfxi−fxi−1=f(x0)−fx1+fx1−fx2+…+fxn−1−fxn
=fa−fb
一定存在一个常数M>0，使fa−fb≤M，故fx为a,b上有界变差函数．
（3）fx1−fx2≤k⋅x1−x2，故对任意的划分T:a=x0i=1nfxi−fxi−1≤i=1nkxi−xi−1=ki=1nxi−xi−1=k(b−a)，
取常数M=kb−a，由有界变差函数定义知fx为有界变差函数．
21．（12分）（2023春·广东河源·高一校考期中）已知函数f(x)=(m+1)x2−(m−1)x+m−1．
(1)若不等式fx<1的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式fx≥(m+1)x；
(3)若不等式fx≥0对一切x∈−12,12恒成立，求m的取值范围．
【解题思路】（1）对二次项系数m+1进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；
（2）fx≥m+1x⇔m+1x2−2mx+m−1≥0，对m+1=0，m+1>0与m+1<0分类讨论，可分别求得其解集；
（3）m+1x2−m−1x+m−1≥0⇔m(x2−x+1)≥−x2−x+1⇔m≥−x2−x+1x2−x+1=−1+2(1−x)x2−x+1，通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．
【解答过程】（1）根据题意，①当m+1=0，即m=−1时，fx=2x−2，不合题意；
②当m+1≠0，即m≠−1时，
fx<1的解集为R，即(m+1)x2−(m−1)x+m−2<0的解集为R，
∴m+1<0Δ=(m−1)2−4(m+1)(m−2)<0，
即m<−13m2−2m−9>0，故m<−1时，m<1−273或m>1+273.
故m<1−273 ．
（2）fx≥(m+1)x，即m+1x2−2mx+m−1≥0，
即m+1x−m−1x−1≥0，
①当m+1=0，即m=−1时，解集为{x|x≥1}；
②当m+1>0，即m>−1时，x−m−1m+1x−1≥0，
∵m−1m+1=1−2m+1<1，
∴解集为{x|x≤m−1m+1或x≥1}；
③当m+1<0，即m<−1时，x−m−1m+1x−1≤0，
∵m−1m+1=1−2m+1>1，
∴解集为{x|1≤x≤m−1m+1}．
综上所述：当m<−1时，解集为{x|1≤x≤m−1m+1}；
当m=−1时，解集为{x|x≥1}；当m>−1时，解集为{x|x≤m−1m+1或x≥1}.
（3）m+1x2−m−1x+m−1≥0，即mx2−x+1≥−x2−x+1，
∵x2−x+1>0恒成立，
∴m≥−x2−x+1x2−x+1=−1+2(1−x)x2−x+1，
设1−x=t，则t∈[12，32]，x=1−t，
∴1−xx2−x+1=t(1−t)2−(1−t)+1=tt2−t+1=1t+1t−1，
∵t+1t≥2，当且仅当t=1时取等号，
∴1−xx2−x+1≤1，当且仅当x=0时取等号，
∴当x=0时，(−x2−x+1x2−x+1)max=1，
∴m≥1．
22．（12分）（2023·江苏·高一专题练习）已知函数fx=x+bx2+aa,b∈R是定义在−1,1上的奇函数且f1=12
(1)求函数fx的解析式；
(2)判断函数fx的单调性；并利用单调性定义证明你的结论；
(3)设gx=fx−1+2，当∃x1,x2∈12,1，使得gmx1−x1+gx12−10fx2>0成立，试求实数m的所有可能取值.
【解题思路】（1）利用题给条件列出关于a、b的方程，解之即可求得a、b的值，进而得到函数fx的解析式；
（2）利用函数单调性定义去证明函数fx在−1,1上为增函数；
（3）利用函数fx在12,1上为增函数，构造关于实数m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.
【解答过程】（1）由fx在−1,1上的奇函数，
所以f0=ba=0，则b=0，则fx=xx2+a
由f1=11+a=12，得a=1，所以fx=xx2+1.经检验符合题意；
（2）函数fx在−1,1上增函数，证明如下：
设∀∈x1,x2∈−1,1，且x1则fx1−fx2=x1x12+1−x2x22+1=x1−x21−x1x2x12+1x22+1，
又x10，
所以x1−x21−x1x2x12+1x22+1<0，则fx1故函数fx在−1,1上增函数；
（3）∃x1,x2∈12,1，使得gmx1−x1+gx12−10fx2>0成立，
即∃x1,x2∈12,1，使得fmx1−x1−1+fx12−1−10fx2+4>0成立，
即fmx1−x1−1+fx12−1>10fx2−4，
∵fx2min=f12=25，即∃x1∈12,1，
使得fmx1−x1−1+fx12−1>10×25−4=0成立，
∃x1∈12,1，使得fmx1−x1−1>f1−x12，
即∃x1∈12,1，mx1−x1−1>1−x12且−1≤mx1−x1−1≤1，
即m>−x1+2x1+1min且1≤m≤1+2x1max，
当x1∈12,1时，−x1+2x1+1min=2，1+2x1max=5
即m>2且1≤m≤5，解得：2