高一上学期期中考试解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=xax2+bx+1=0,a∈R,b∈R，求：
(1)当b=2时，A中至多只有一个元素，求a的取值范围；
(2)当a,b满足什么条件时，集合A为空集．
2．（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知命题p：∀x∈R，ax2+8x+a≥0，命题q：∃x∈−2,1，x−a+1>0．
(1)若命题p为真命题，求a的取值范围；
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p：“∃x∈R，使不等式x2−2x−m≤0成立”是假命题．
(1)求实数m的取值集合A；
(2)若q:−44．（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）设命题 p: 实数x满足M=x∣−2≤x≤5，命题q: 实数x满足N=x∣1−2m≤x≤2+m.
(1)若命题“ ∀x∈M，x∈N”是真命题，求实数m的取值范围;
(2)若命题 p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
5．（2023秋·高一课时练习）已知函数fx=ax+bx2+1的值域为−1,4，求实数a,b的值．
6．（2022·高一课时练习）已知集合A={x|f(x)=x} B={x|f[f(x)]=x}其中函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).
（1）若A={1,3}，求集合B；
（2）若A是单元素集，则A、B之间的关系如何？
（3）一般情况下，猜想A与B之间的关系，并给予证明.
7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=x+1,x≤−2x2+2x,−2(1)求f−5,f−3,ff−52的值;
(2)若fa=3,求实数a的值;
(3)若fm>m,求实数m的取值范围.
8．（2023·江苏·高一专题练习）求下列函数的值域．
（1）求函数y=x+2x+1的值域．
（2）求函数y=x2−3x+4x2+3x+4的值域．
（3）求函数y=(1+x+1−x+2)(1−x2+1)，x∈[0,1]的值域．
9．（2023秋·湖南株洲·高一校考阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11−x∈A.
(1)若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；
(2)集合A是否为双元素集合，并说明理由；
(3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A.
10．（2023·全国·高一专题练习）称正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与ajai两数中至少有一个属于A.
（1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P；
（2）设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数；
（3）求an=30时n的最大值.
11．（2023秋·重庆沙坪坝·高一校考阶段练习）已知n为正整数，集合A=α∣α=x1,x2,⋅⋅⋅,x2n,xi∈−1,1,i=1,2,⋅⋅⋅,2n具有性质P：“对于集合A中的任意元素α=x1,x2,⋅⋅⋅,x2n，x1+x2+⋅⋅⋅+x2n=0，且x1+x2+⋅⋅⋅+xi≥0，其中i=1,2,⋅⋅⋅,2n−1”.
(1)当n=3时，写出满足条件的集合A；
(2)当n=9时，求x1+x2+⋅⋅⋅+x9的所有可能的取值.
12．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p:∀x∈R，x2+2m−3>0，命题q:∃x0∈R，x02−2mx0+m+2<0.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
13．（2022·全国·高一专题练习）设集合An={1,2,3,...,n}(n≥2,n∈N)，集合P⊆An，如果对于任意元素x∈P，都有x−1∈P或x+1∈P，则称集合P为An的自邻集.记ank(1≤k≤n,k∈N)为集合An的所有自邻集中最大元素为k的集合的个数.
（1）直接判断集合P={1,2,3,5}和Q={1,2,4,5}是否为A5的自邻集；
（2）比较a106和a105+a103的大小，并说明理由；
（3）当n≥4时，求证：ann≤an−11+an−12+...+an−1n−1.
14．（2023·全国·高三对口高考）设集合Pn=1,2,⋯,n，n∈N∗．记fn为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A⊆Pn；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁PnA，则2x∉∁PnA．
(1)求f4；
(2)求fn的解析式（用n表示）．
15．（2023·全国·高一专题练习）设A是正实数集的非空子集，称集合B=zz=xy,x∈A,y∈A且x≠y为集合A的孪生集．
(1)当A=2,5,7时，写出集合A的孪生集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集B=6,8,14,16,21,24，并说明理由．
16．（2023·上海·高一专题练习）已知集合A=x|x=m2−n2,m,n∈Z
(1)判断8，9，10是否属于集合A；
(2)已知集合B=x|x=2k+1,k∈Z，证明：“x∈A”的充分条件是“x∈B”；但“x∈B”不是“x∈A”的必要条件；
(3)写出所有满足集合A的偶数.
17．（2023·全国·高一专题练习）设集合M=tt=m2−n2，m，n∈Z.
（1）证明：属于M的两个整数，其积也属于M；
（2）判断32、33、34是否属于M，并说明理由；
（3）写出“偶数2kk∈Z属于M”的一个充要条件并证明.
18．（2023·江苏·高一专题练习）已知y=x2−2ax+a.
(1)设a>0，若关于x的不等式y<3a2+a的解集为A,B=x|−1≤x≤2，且x∈A的充分不必要条件是x∈B，求a的取值范围；
(2)方程y=0有两个实数根x1,x2，
①若x1,x2均大于0，试求a的取值范围；
②若x12+x22=6x1x2−3，求实数a的值．
19．（2023·江苏·高一专题练习）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合A=x|−2≤x≤6，B=x|1−m≤x≤1+m,m>0，若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？
20．（2023·全国·高三专题练习）已知实系数多项式φ(x)=ax3+bx2+cx+d有三个正根，且φ(0)<0.求证：2b3+9a2d−7abc≤0.
21．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）已知函数fx对任意的实数a，b，都有fab=fa+fb成立.
(1)求f0，f1的值;
(2)求证：f1x+fx=0（x≠0）;
(3)若f2=m，f3=n（m，n均为常数），求f36的值.
22．（2023·全国·高一专题练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
23．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ab>cd，那么称点a,b是点c,d的“上位点”．同时点c,d是点a,b的“下位点”；
(1)试写出点3,5的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点a,b是点c,d的“上位点”，判断点Pa+c2,b+d2是否是点a,b的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数n满足以下条件：对集合t024．（2023·全国·高一专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：a+bb≤c+dd；
（2）已知c>a>b>0，求证：ac−a>bc−b；
（3）观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；
②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).
25．（2023秋·全国·高一期中）已知幂函数fx=xa的图象经过点A12,2.
(1)求实数a的值，并用定义法证明fx在区间0,+∞内是减函数.
(2)函数gx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，gx=fx，求满足g1−m≤5时实数m的取值范围.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数f(x)=(m−1)2xm2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k．
（1）求m的值；
（2）当x∈[1,2)时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A，B，设p:x∈A,q:x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
（3）设F(x)=f(x)−kx+1−k2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数k的取值范围．
27．（2023·江苏·高一专题练习）已知幂函数f(x)=(−2m2+m+2)xm+1为偶函数.
（1）求f(x)的解析式；
（2）若函数ℎ(x)=f(x)+ax+3−a≥0在区间[−2,2]上恒成立，求实数a的取值范围.
28．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合A为非空数集，定义：S=xx=a+b,a,b∈A,T=xx=a−b,a,b∈A，
(1)若集合A=1,3，直接写出集合S、T（无需写计算过程）；
(2)若集合A=x1,x2,x3,x4,x1(3)若集合A⊆x0≤x≤2023,x∈N,S∩T=ϕ，记A为集合A中的元素个数，求A的最大值．
29．（2023·全国·高一专题练习）（1）若x>1，求5x+15x−5的最小值；
（2）若x>1,a>54,16a2+28a+44a−5>m−5x−15x−5恒成立，求m的取值范围.
30．（2023秋·高一课时练习）对于任意的n∈N∗，记集合En={1,2,3,⋯,n}，Pn=xx=ab,a∈En,b∈En，若集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1,x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N∗，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω.如当n=2时，E2={1,2}，P2=1,2,12,22，∀x1,x1∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N∗，使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω.
(1)写出集合P3，P4中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω.
(2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B.
(3)若存在A､B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值.
31．（2023秋·高一课时练习）若实数x，y，m满足|x−m|<|y−m|，则称x比y接近m，
（1）若x23+1比3接近1，求x的取值范围；
（2）证明：“x比y接近m”是“2x+y−3mx−y<−1”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有a2b+ab2比a3+b3接近2abab.
32．（2022秋·浙江宁波·高一校考期中）两县城A和B相距20km，现计划在县城外以AB为直径的半圆弧AB(不含AB两点)上选择一点C建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为K，对城市A和城市B的总影响度为城市A和城市B的影响度之和，记C点到城市A的距离为x，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（2）判断弧AB上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市A和城B的总信影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由.
33．（2023秋·安徽合肥·高一校联考期末）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：Px=3m4x+5（x∈R，0≤x≤8）.若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元.设fx为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和.
(1)求m的值及fx的表达式.
(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用fx达到最小，并求最小值.
34．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）定义mina1,a2,⋯,an为n个实数a1，a2，…，an中的最小数，maxa1,a2,⋯,an为n个实数a1，a2，…，an中的最大数．
(1)设a，b都是正实数，且a+b=1，求maxab,14；
(2)解不等式：minx+1,x2+3,x−1>2x−3；
(3)设a，b都是正实数，求maxa+1b,2a+b的最小值．
35．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）已知函数fx=ax2+2bx+4c（a,b,c∈R，a≠0）.
(1)若函数fx的图像与直线y=±x均无公共点，求证：4b2−16ac<−1；
(2)若b=4，c=34时，对于给定的负数a，有一个最大的正数Ma，使x∈0,Ma时，都有fx≤5，求Ma的最大值；
(3)若a>0，且a+b=1，又x≤2时，恒有fx≤2，求fx的解析式.
36．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=x−2，g(x)=x2−2mx+4(m∈R)．
(1)若对任意x∈R，不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范围；
(2)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得gx1=fx2，求m的取值范围；
(3)若m=−1，对任意n∈R，总存在x0∈[−2,2]，使得不等式gx0−x02+n≥k成立，求实数k的取值范围．
37．（2023·全国·高一专题练习）设函数fx=ax2+b−2x+3a∈R，
(1)若不等式fx<0的解集为1，3，求a+b的值；
(2)若b=−a−3，求不等式fx>−4x+2的解集．
(3)若f1=4，b>−1，a>0，求1a+ab+1的最小值．
38．（2023秋·全国·高一期中）已知关于x的函数f(x)=a2x2+2ax−a2+1
(1)当a=2时，求f(x)≥0的解集；
(2)若不等式a2x2+2ax−a2+1≥0对满足a∈[−2,2]的所有a恒成立，求x的取值范围．
39．（2023秋·江苏盐城·高三校考开学考试）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：p=112−x,0≤x≤m34,x>m（其中m为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率＝次品数/生产量，如p=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）.
(1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
40．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数fx=p2−3p+3xp2−32p−12是其定义域上的增函数．
(1)求函数fx的解析式；
(2)若函数ℎx=x+afx，x∈1,9，是否存在实数a使得ℎx的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数gx=b−fx+3，是否存在实数m,n(m41．（2023春·北京·高一校考期中）设全集U={1,2,⋯,n}n∈N∗，集合A是U的真子集．设正整数t≤n，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的R(t)子集：
①t∈A；
②∀a∈A,∀b∈∁UA，若ab∈U，则ab∈A；
③∀a∈A,∀b∈∁UA，若a+b∈U，则a+b∉A．
(1)当n=6时，判断A={1,3,6}是否为U的R(3)子集，说明理由；
(2)当n≥7时，若A为U的R(7)子集，求证：2∉A；
(3)当n=23时，若A为U的R(7)子集，求集合A．
42．（2023·高二校考课时练习）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA、OB、AC及曲线段BC围成.经测量，∠AOB=90°，OA=OB=100米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA、OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E、F分别在线段OA、OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF=x米，游乐场的面积为S平方米.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；
(2)求面积S关于x的函数解析式S=fx；
(3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到0.1米）
43．（2023秋·黑龙江鸡西·高三校考开学考试）已知函数fx=2ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，且f12=45.
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明函数fx在−1,1上单调递增；
(3)若fx≤m2−5mt−5对于任意的x∈−1,1，t∈−1,1恒成立，求实数m的取值范围.
44．（2023·全国·高一专题练习）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：
优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元；
优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元．
例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额130−5×13060=130−5×2=120元，其中x表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额860−5×86060−40×1=750元．
(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；
(2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？
45．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为I=−∞,0∪0,+∞的函数fx满足对任意x1,x2∈−∞,0∪0,+∞，都有fx1x2=fx1+fx2．
（1）求证：fx是偶函数；
（2）设x>1时fx<0，
①求证：fx在0,+∞上是减函数；
②求不等式fx−1>f2x的解集．
46．（2023春·北京·高一东直门中学校考期中）设正整数n≥3，集合A=a∣a=x1,x2,⋯,xn,xk∈R,k=1,2,⋯,n，对于集合A中的任意元素a=x1,x2,⋯,xn和b=y1,y2,⋯,yn，及实数λ，定义：当且仅当xk=yk (k=1,2,⋯,n)时a=b；a+b=x1+y1,x2+y2,⋯,xn+yn；λa=λx1,λx2,⋯,λxn.
若A的子集B=a1,a2,a3满足：当且仅当λ1=λ2=λ3=0时，λ1a1+λ2a2+λ3a3=(0,0,0)，则称B为A的完美子集.
(1)当n=3时，已知集合B1={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，B2={(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}.分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；
(2)当n=3时，已知集合B={(2m,m,m−1),(m,2m,m−1),(m,m−1,2m)}.若B不是A的完美子集，求m的值；
(3)已知集合B=a1,a2,a3⊆A，其中ai=xi,xi,⋯,xin(i=1,2,3).若2xii>x1i+x2i+x3i对任意i=1,2,3都成立，判断B是否一定为A的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
47．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=a2−4x2+4bx−b2(a∈R,b∈R)．
(1)问题：若关于x的方程f(x)=a2−3x2+(a−3+4b)x+a−b2______，求实数a的取值范围；
从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．
①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根．
（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．）
(2)当b=1时，解关于x的不等式f(x)≤0；
(3)当048．（2023秋·山东日照·高二统考开学考试）已知f1(x)=|x−2a+1|,f2(x)=|x−a|+1,x∈R．
(1)若a=3，求函数y=ef1(x)+ef2(x)在x∈[3,5]上的最小值；
(2)若f1(x)−f2(x)=f2(x)−f1(x)对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；
(3)当0≤a≤6时，求函数g(x)=f1(x)+f2(x)2−f1(x)−f2(x)2在x∈[2,8]上的最小值．
49．（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)=|x−ax−b|，a，b∈R.
（1）当a=0，b=1时，写出函数f(x)的单调区间；
（2）当a=12时，记函数f(x)在0,4上的最大值为g(b)，在b变化时，求g(b)的最小值；
（3）若对任意实数a，b，总存在实数x0∈0,4，使得不等式f(x0)≥m成立，求实数m的取值范围.
50．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=xx+a+mx−1，0≤x≤2，其中a,m∈R.
(1)若a=0，m=1，求fx的单调区间；
(2)对于给定的实数a，若函数fx存在最大值1+a，
（i）求证：a≥−1；
（ii）求实数m的取值范围（用a表示）.