高一上学期期中复习十大题型归纳（基础篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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题型1
求函数的定义域
1．（2023秋·江西宜春·高二校考开学考试）下列函数中定义域为R的是（ ）
A．y=xB．y=(x−1)0
C．y=x2+3D．y=1x
【解题思路】逐个求解函数的定义域判断即可
【解答过程】对于A，由x≥0，得函数的定义域为[0,+∞)，所以A错误，
对于B，由x−1≠0，得x≠1，所以函数的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，所以B错误，
对于C，y=x2+3定义域为R，所以C正确，
对于D，y=1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以D错误，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数f2x−1的定义域为−1,1，则函数y=fx−1x−1的定义域为（ ）
A．−1,2B．0,2C．−1,2D．1,2
【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.
【解答过程】由函数f2x−1的定义域为−1,1，即−1≤x≤1，得−3≤2x−1≤1，
因此由函数y=fx−1x−1有意义，得−3≤x−1≤1x−1>0，解得1所以函数y=fx−1x−1的定义域为1,2.
故选：D.
3．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的定义域：
(1)f(x)=2x+3；
(2)f(x)=x−1⋅4−x+2；
(3)y=1−x21+x.
【解题思路】根据函数解析式，列出相关不等式，解出即可得到定义域.
【解答过程】（1）函数f(x)=2x+3的定义域为R.
（2）要使函数有意义，需满足x−1≥04−x≥0，解得1≤x≤4.
所以函数f(x)=x−1⋅4−x+2的定义域为{x∣1≤x≤4}.
（3）要使函数有意义，需满足1+x≠0，解得x≠−1.
所以函数y=1−x21+x的定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞).
4．（2023·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域：
(1)已知函数fx的定义域为−2,2，求函数y=fx2−1的定义域.
(2)已知函数y=f2x+4的定义域为0,1，求函数fx的定义域.
(3)已知函数fx的定义域为−1,2，求函数y=f(x+1)−f(x2−1)的定义域.
【解题思路】抽象函数定义域求解，需注意两点：
①定义域是函数解析式中自变量“x”的范围；
②对于同一个对应关系“f”，“f”后括号里面式子整体范围相同.
(1)y=fx2−1中x2－1的范围和fx中x范围相同，fx中x范围是−2,2；
(2)fx中x的范围和y=f2x+4中2x＋4范围相同，y=f2x+4中x范围是0,1；
(3)y=f(x+1)−f(x2−1)中x＋1与x2−1均与fx中x范围相同，fx中x的范围是−1,2.
【解答过程】（1）令－2≤x2－1≤2得－1≤x2≤3，即0≤x2≤3，从而－3≤x≤3，
∴函数y=f(x2−1)的定义域为[−3,3].
（2）∵y=f(2x+4)的定义域为[0,1]，即在y=f(2x+4)中x∈[0,1]，令t＝2x＋4，x∈[0,1]，则t∈[4,6]，即在f(t)中，t∈[4,6]，
∴fx的定义域为[4,6].
（3）由题得−1≤x＋1≤2−1≤x2−1≤2，∴−3≤x≤1，
∴函数y=f(x+1)−f(x2−1)的定义域为[−3,1].
题型2
求函数的值域
1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中，值域是0,+∞的是（ ）
A．y=x2−2x+1B．y=x+2x+1，x∈0,+∞
C．y=2x2+2x+1，x∈ND．y=1x+1
【解题思路】根据函数的性质分别进行判断即可．
【解答过程】对选项A：y=x2−2x+1=(x−1)2=x−1≥0，即函数的值域为0,+∞，错误；
对选项B：y=x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，则函数在0,+∞上为减函数，则1对选项C：函数的定义域为N，函数的y=2x2+2x+1，x∈N值域不连续，错误；
对选项D：y=1x+1>0，函数的值域为0,+∞.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=x+3−2x的值域是（ ）
A．0,+∞B．1,+∞C．−∞,2D．−∞,1
【解题思路】令3−2x=t⩾0，则x=3−t22，原函数即为：g(t)=−12t2+t+32(t⩾0)，可解决此题．
【解答过程】解：令3−2x=t⩾0，则x=3−t22，
原函数即为：g(t)=−12t2+t+32(t⩾0)，
对称轴方程为x=1，可知gtmax=g1=−12×12+1+32=2，
∴函数值域为−∞,2．
故选：C．
3．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．
(1)y=x−1；
(2)y=x2−2x+3，x∈−2,−1,0,1,2,3；
(3)y=2x+1x−3；
(4)y=2x−x−1.
【解题思路】（1）由x≥0可推导得到函数值域；
（2）将x的取值代入解析式即可求得结果；
（3）采用分离常数法可求得函数值域；
（4）采用换元法，将问题转化为关于t的二次函数的值域求解问题.
【解答过程】（1）∵x≥0，∴x−1≥−1，即y≥−1，∴y=x−1的值域为−1,+∞.
（2）当x=−2时，y=−22−2×−2+3=11；当x=−1时，y=−12−2×−1+3=6；
当x=0时，y=02−2×0+3=3；当x=1时，y=12−2×1+3=2；
当x=2时，y=22−2×2+3=3；当x=3时，y=32−2×3+3=6；
∴y=x2−2x+3，x∈−2,−1,0,1,2,3的值域为2,3,6,11.
（3）y=2x+1x−3=2x−3+7x−3=2+7x−3，
∵7x−3≠0，∴2+7x−3≠2，∴y=2x+1x−3的值域为−∞,2∪2,+∞.
（4）令x−1=t，则t≥0且x=t2+1，∴y=2t2+1−t=2t2−t+2=2t−142+158，
则当t=14时，ymin=158，∴y=2x−x−1的值域为158,+∞.
4．（2023·江苏·高一专题练习）求下列函数的值域．
（1）求函数y=x+2x+1的值域．
（2）求函数y=x2−3x+4x2+3x+4的值域．
（3）求函数y=(1+x+1−x+2)(1−x2+1)，x∈[0,1]的值域．
【解题思路】（1）将y=x+2x+1变形，使之成为完全平方的形式，再利用2x+1≥0确定y的取值范围；（2）利用判别式法求函数的值域，先将y=x2−3x+4x2+3x+4去分母，整理成关于x的方程，讨论x2前的系数y−1是否为0，当y−1=0时，直接验证方程是否有实根，当y−1≠0时，利用Δ≥0，保证方程有实根，从而解出y的范围；
（3）利用换元法求函数的值域，令1+x+1−x=u，则1+x2+1=u22，所以y=u+22×u2，再利用x的范围，求u+22和u2的范围，最后利用不等式的性质计算y的取值范围.
【解答过程】(1) y=x+2x+1 =12[2x+1+22x+1+1]−1=12(2x+1+1)2−1≥12−1=−12.
当x=−12时，y取最小值−12，
所以函数值域是[−12,+∞)．
（2）由函数解析式得(y−1)x2+3(y+1)x+4y−4=0.
①当y≠1时，①式是关于x的方程有实根．
所以Δ=9(y+1)2−16(y−1)2≥0，解得17≤y≤7.
又当y=1时，存在x=0使解析式成立，
所以函数值域为[17,7]．
（3）令1+x+1−x=u，
因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+21−x2≤4，
所以2≤u≤2，
所以2+22≤u+22≤2，
所以y=u+22×u2∈[2+2,8]．
所以该函数值域为[2+2,8]．
题型3
同一函数的判断
1．（2023秋·浙江台州·高一校考开学考试）下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．f(x)=x0与g(x)=1B．f(x)=x与g(x)=x2x
C．fx=1 ， x≥0 ， −1 ， x<0与gx=xx ， x≠0 ， 1 ， x=0 D．f(x)=(x−1)2与g(x)=x−1
【解题思路】根据定义域，值域以及函数表达式是否相同，即可结合选项逐一求解.
【解答过程】对于A，因为f(x)定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，而g(x)的定义域为R，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于B，因为f(x)定义域为R，而g(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于C，易知函数f(x)和g(x)的定义域为R，值域为−1， 1，且gx=xx，x≠01，x=0=1，x≥0 ，−1 ，x<0 ， 所以是同一函数．
对于D，易知函数f(x)=(x−1)2和g(x)=x−1的定义域为R，
而f(x)=(x−1)2的值域为[0，+∞)，g(x)=x−1的值域为R，两函数值域不同，
故不能表示同一函数.
故选：C．
2．（2023秋·高一课时练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．fx=−2x3，gx=x−2x
B．fx=x2，gx=x+12
C．fx=x2，gx=x
D．fx=0，gx=x−1+1−x
【解题思路】依次判断各选项中的函数定义域和对应关系是否都相同即可.
【解答过程】对于A，∵fx=−2x3=−x−2x，gx=x−2x，
∴fx与gx对应关系不同，∴fx与gx不是同一函数，A错误；
对于B，∵fx=x2与gx=x+12的对应关系不同，∴fx与gx不是同一函数，B错误；
对于C，∵fx=x2=x与gx=x的定义域均为R，对应关系相同，
∴fx与gx是同一函数，C正确；
对于D，由x−1≥01−x≥0得：x=1，即gx的定义域为xx=1，
又fx的定义域为R，∴fx与gx定义域不同，∴fx与gx不是同一函数，D错误.
故选：C.
3．（2023·全国·高一专题练习）下列函数中哪个与函数y=x是相同的函数？
（1）y=(x)2；
（2）y=3x3；
（3）y=x2；
（4）y=x2x.
【解题思路】根据同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.
【解答过程】（1）中，函数y=(x)2的定义域为(0,+∞)，函数y=x的定义域为R，定义域不同，所以不是相同的函数；
（2）中，函数y=3x3=x与y=x的定义域与对应法则都相同，所以是相同的函数；
（3）中，函数y=x2=|x|与y=x的对应法则不同，所以是不是相同的函数；
（4）中，函数y=x2x={x,x>0−x,x<0与y=x的定义域与对应法则都不相同，所以是不是相同的函数.
4．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各组函数是否为同一个函数：
（1）f(x)=x2x,g(x)=x；
（2）f(x)=x4−1x2+1，g(x)=x2−1；
（3）f(x)=x2,g(x)=x．
【解题思路】当一组函数定义域与对应关系均相同时即为同一函数,以此为依据进行判断即可
【解答过程】（1）因为f(x)的定义域为{x|x≠0},而g(x)的定义域为R,所以f(x)与g(x)不是同一个函数；
（2）因为f(x)与g(x)的定义域均为R,所以定义域相同,
又f(x)=x4−1x2+1=(x2−1)(x2+1)x2+1=x2−1=g(x),所以f(x)与g(x)是同一个函数；
（3）因为f(x)与g(x)的定义域均为R,所以定义域相同,
又f(x)=x2=|x|≠x=g(x),所以f(x)与g(x)不是同一个函数.
题型4
函数单调性的判断及单调区间的求解
1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数在0,+∞上不是增函数的是（ ）
A．y=3x+5
B．y=x2+4
C．y=3−x
D．y=x2+2x+4
【解题思路】根据基本初等函数的单调性判断即可.
【解答过程】解：对于A：y=3x+5在定义域R上单调递增，故A错误；
对于B：y=x2+4在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，故B错误；
对于C：y=3−x在定义域R上单调递减，故C正确；
对于D：y=x2+2x+4=x+12+3，函数在−∞,−1上单调递减，在−1,+∞上单调递增，故D错误；
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．函数y=x2在R上是增函数B．函数y=1x在(−∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
C．函数y=x2和函数y=x的单调性相同D．函数y=1x和函数y=x+1x的单调性相同
【解题思路】分别判断出y=x2，y=1x，y=x和y=x+1x的单调性，即可判断．
【解答过程】对于A：y=x2定义域为R，由二次函数y=x2的图像可知，y=x2在(0,+∞)是增函数，在(−∞,0)是减函数，故A错误；
对于B：y=1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，由反比例函数y=1x的图像可知，y=1x在(−∞,0)和(0,+∞)上是减函数，故B错误；
对于C：y=x2在(0,+∞)是增函数，在(−∞,0)是减函数，
y=x，当x≥0时，y=x，易知为增函数，当x<0时，y=−x，易知为减函数，所以函数y=x2和函数y=x的单调性相同，故C正确；
对于D：y=1x定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，由反比例函数y=1x的图像可知，y=1x在(−∞,0)和(0,+∞)上是减函数；
设y=f(x)=x+1x定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，取0则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2=(x1−x2)⋅x1x2−1x1x2，
当00，即f(x)在(0,1)上单调递减，
当1同理可证，f(x)在(−1,0)上单调递减，在(−∞,−1)上单调递增，故D错误，
故选：C．
3．（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）已知二次函数y=x2+2ax+3，x∈−4,6．
(1)若a=−1，写出函数的单调增区间和减区间；
(2)若函数在−4,6上是单调函数，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）配方得到对称轴，结合开口方向，得到函数单调区间；
（2）配方得到对称轴为x=−a，从而得到−a≤−4或−a≥6，求出实数a的取值范围.
【解答过程】（1）y=x2−2x+3=x−12+2，x∈−4,6，
开口向上，对称轴为x=1，故函数单调递增区间为1,6，单调递减区间为−4,1；
（2）y=x2+2ax+3=x+a2+3−a2，开口向上，对称轴为x=−a，
由于函数在−4,6上是单调函数，故−a≤−4或−a≥6，
解得a≤−6或a≥4，
故实数a的取值范围为−∞,−6∪4,+∞.
4．（2023秋·高一课时练习）已知f(x)=xx−a(x≠a) .
(1)若a=−2，试证明f(x)在−∞,−2内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在1,+∞内单调递减，求a的取值范围.
【解题思路】（1）根据定义法证明函数单调性的基本步骤，逐步进行证明即可；
（2）作差通分，根据已知可将问题转化为x1−ax2−a>0恒成立问题，分析即可得a取值范围.
【解答过程】（1）证明：设x1则fx1−fx2=x1x1+2−x2x2+2=2x1−x2x1+2x2+2.
∵x1∴fx1−fx2<0，即fx1∴f(x)在−∞,−2内单调递增.
（2）设1fx1−fx2=x1x1−a−x2x2−a=ax2−x1x1−ax2−a.
∵a>0，1∴ax2−x1>0，
∴要使fx1−fx2>0，只需x1−ax2−a>0恒成立，
若a>1，则当1当00，
∴0综上所述，a的取值范围为(0,1].
题型5
函数的最值问题
1．（2023·全国·高一专题练习）函数fx=1x2+1在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（ ）
A．12，15B．2，5C．1，2D．15，12
【解题思路】先简单判断函数的单调性，进而求解结论．
【解答过程】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，
∴fx=1x2+1在区间[1，2]上单调递减，
∴函数fx=1x2+1在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是
f（1）=112+1=12，f（2）=122+1=15，
故选：A．
2．（2023·全国·高一专题练习）设函数fx=1−ax,xA．−2,2B．0,2
C．−2,2∪2,+∞D．0,2∪2,+∞
【解题思路】根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可.
【解答过程】若a=0时，fx=1,x<0,x2−4x+3,x≥0.，∴fxmin=f2=−1；
若a<0时，当x若a>0时，xfa=1−a2，当x≥a时，fxmin=−1,0故选：B.
3．（2023秋·全国·高一随堂练习）（1）求二次函数fx=x2−2ax+2在2,4上的最小值；
（2）求函数fx=x2−4x−4在闭区间t,t+1t∈R上的最小值．
【解题思路】（1）易知函数图象的对称轴是x=a，再分a<2， a>4和 2≤a≤4讨论求解；
（2）由fx=x2−4x−4=x−22−8，分设t>2， t<2【解答过程】解：（1）∵函数图象的对称轴是x=a，
∴当a<2时，fx在2,4上是增函数，
∴fxmin=f2=6−4a.
当a>4时，fx在2,4上是减函数，
∴fxmin=f4=18−8a.
当2≤a≤4时，fxmin=fa=2−a2.
设fx在2,4的最小值为ga.
∴ga=6−4a,a<22−a2,2≤a≤418−8a,a>4
（2）fx=x2−4x−4=x−22−8.
设fx在t,t+1上的最小值为gt.
当t>2时，fx在t,t+1上是增函数，
∴gt=ft=t2−4t−4；
当t<2当t+1<2即t<1时，fx在t,t+1上是减函数，
∴gt=ft+1=t2−2t−7.
综上，gt=t2−2t−7,t<1−8,1≤t≤2t2−4t−4,t>2.
4．（2023春·山西朔州·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=x2−mx+1(m∈R)．
（1）若函数fx在x∈−1,1上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数fx在x∈1,2上有最大值为3，求实数m的值．
【解题思路】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间−1,1上即可；
（2）由题意，分类讨论，当f1=3时和当f2=3时分别求m值，再回代检验是否为最大值.
【解答过程】解：（1）对于函数fx，开口向上，对称轴x=m2，
当fx在x∈−1,1上单调递增时，m2≤−1，解得m≤−2，
当fx在x∈−1,1上单调递减时，m2≥1，解得m≥2，
综上，m∈(−∞,−2]∪[2,+∞)．
（2）由题意，函数fx在x=1或x=2处取得最大值，
当f1=3时，解得m=−1，此时3为最小值，不合题意，舍去；
当f2=3时，解得m=1，此时3为最大值，符合题意．
综上所述，m=1．
题型6
函数奇偶性的判断
1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是偶函数的是（ ）
A．y=x−1B．y=−2x2+3C．y=x−12D．y=x2，x∈0,1
【解题思路】分别判断出各个选项的奇偶性即可得到正确选项.
【解答过程】选项A：令f(x)=x−1，则f(x)定义域为xx≠0，
则f(−x)=−x−1=−x−1=−f(x)，则f(x)为奇函数.判断错误；
选项B：令ℎ(x)=−2x2+3，则ℎ(x)定义域为R，
则ℎ(−x)=−2−x2+3=−2x2+3=ℎ(x)，则ℎ(x)是偶函数.判断正确；
选项C：y=x−12定义域关于原点不对称是非奇非偶函数. 判断错误；
选项D：y=x2，x∈0,1定义域关于原点不对称是非奇非偶函数. 判断错误.
故选：B.
2．（2023秋·吉林通化·高三校考阶段练习）函数f(x)满足f(x)=2x−1x−2，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f(x+1)−2B．f(x+2)−2C．f(x−2)+2D．f(x+1)+2
【解题思路】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.
【解答过程】A：f(x+1)−2=2x+1x−1−2=3x−1，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合；
B：f(x+2)−2=2x+3x−2=3x，定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且3−x=−3x，符合；
C：f(x−2)+2=2x−5x−4+2=4x−13x−4，定义域为{x|x≠4}，不关于原点对称，不符合；
D：f(x+1)+2=2x+1x−1+2=4x−1x−1，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不符合；
故选：B.
3．（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)=2x2+2xx+1；
(2)f(x)=x3−2x；
(3)f(x)=x2+1；
(4)f(x)=x2−1+1−x2.
【解题思路】先考查函数的定义域，进一步利用奇偶性的定义逐题判断即可.
【解答过程】（1）函数的定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，
不关于原点对称，故函数f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．
（2）函数的定义域为R.
又f(−x)=(−x)3−2(−x)=−x3+2x=−f(x),
所以函数为奇函数.
（3）函数的定义域为R.
又f(−x)=(−x)2+1=x2+1=f(x)，
所以函数为偶函数.
（4）因为函数的定义域为{−1,1}，
则f(x)=0，且f(−1)=0,f(1)=0，
则f(−1)=f(1)且f(−1)=−f(1)，
所以函数既是奇函数，又是偶函数.
4．（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）fx是定义在R上的函数，对x,y∈R都有fx+y=fx+fy，当x>0时，fx<0，且f−1=1．
(1)求f0，f−2的值；
(2)猜测fx为奇函数还是偶函数并证明；
(3)求fx在R上的单调性并证明．
【解题思路】（1）根据题意，令x=y=0，求得f0=0，结合f−1=1，即可求得f−2的值；
（2）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
（3）根据函数单调性的定义和判定方法，即可求解.
【解答过程】（1）解：由函数fx的定义域为R，且fx+y=fx+fy，
令x=y=0，则f0=f0+f0，解得f0=0，
因为f−1=1，所以f−2=f−1+f−1=2.
（2）解：猜测：函数fx是奇函数.
证明如下：由（1）知f0=0，
令y=−x，则fx−x=fx+f−x，
所以fx+f−x=f0=0，所以f−x=−fx，
所以函数fx是奇函数.
（3）解：设x2>x1，则fx2−fx1=fx2+f−x1=f(x2−x1)，
因为x>0时，fx<0，
又因为x2−x1>0，所以f(x2−x1)<0，
所以fx2−fx1<0，即fx2所以函数fx在R上为减函数.
题型7
求幂函数的函数值、解析式
1．（2023春·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）已知点8,2在幂函数fx=a−1xb的图象上，则（ ）
A．fx=2x12B．fx=x13C．fx=x3D．fx=x−1
【解题思路】根据题意结合幂函数的定义列式求解.
【解答过程】由题意可得：a−1=1a−18b=2，解得a=2b=13，
所以fx=x13.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数y=fx的图象过点8,22，则f9的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【解题思路】设幂函数为fx=xa，代入点计算得到a=12，计算得到答案.
【解答过程】设幂函数为fx=xa，图象过点8,22，故f8=8a=22，故a=12，
fx=x12，f9=9=3.
故选：B.
3．（2023秋·高一课时练习）函数fx=m2−m−1xm2+m−3是幂函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式.
【解题思路】由题意可得m2−m−1=1求出m，再根据当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，可求出其解析式
【解答过程】因为fx=m2−m−1xm2+m−3是幂函数，
所以m2−m−1=1，解得m=2或m=−1，
当m=2时，fx=x3在(0,+∞)上是增函数，符合题意，
当m=−1时，fx=x−3在(0,+∞)上是减函数，不合题意，
所以fx=x3.
4．（2023·江苏·高一专题练习）已知幂函数y=fx的图象经过点3，9，对于偶函数y=gxx∈R，当x≥0时，gx=fx−2x．
（1）求函数y=fx的解析式；
（2）求当x<0时，函数y=gx的解析式；
【解题思路】（1）先设幂函数y=fx=xα，根据题意，得到α=2，即可求出解析式；
（2）根据x≥0时，gx=x2−2x；结合函数奇偶性，即可求出结果.
【解答过程】（1）设y=fx=xα，代入点3，9，得9=3α，
∴α=2，
∴fx=x2；
(2)∵fx=x2，
∴当x≥0时gx=x2−2x，设x<0，则−x>0，
∵y=gx是R上的偶函数，
∴gx=g−x=(−x)2−2−x=x2+2x，即当x<0时，gx=x2+2x.
题型8
求幂函数的定义域、值域
1．（2023·全国·高一假期作业）给出5个幂函数：①y=x−2；②y=x45；③y=x14；④y=x23；⑤y=x−45，其中定义域为R的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案.
【解答过程】①y=x−2=1x2的定义域为x|x≠0，不符合.
②y=x45=5x4的定义域为R，符合.
③y=x14=4x的定义域为x|x≥0，不符合.
④y=x23=3x2的定义域为R，符合.
⑤y=x−45=15x4的定义域为x|x≠0，不符合.
所以符合的是②④.
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．y=x13B．y=x12C．y=x53D．y=x23
【解题思路】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.
【解答过程】由y=x13=3x可知，x∈R,y∈R，定义域、值域相同；
由y=x12=x可知x∈[0,+∞)，y∈[0,+∞)，定义域、值域相同；
由y=x53=3x5可知，x∈R,，定义域、值域相同y∈R；
由y=x23=3x2可知，x∈R，y∈[0,+∞)，定义域、值域不相同.
故选：D.
3．（2023·全国·高一随堂练习）写出函数y=x53与y=x15的定义域和值域.
【解题思路】由奇偶性以及幂函数的性质得出定义域以及值域.
【解答过程】令f(x)=x53=3x5，定义域为R，因为f(−x)=−3x5=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，故值域为R.
令g(x)=x15=5x，定义域为R，因为g(−x)=−5x=−g(x)，所以函数g(x)为奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)在R上单调递增，故值域为R.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数fx=x−m2−2m+3−2①fx在0,+∞上为增函数，
②对∀x∈R，都有f−x−fx=0，
求同时满足①②的幂函数fx的解析式，并求出x∈1,4时，fx的值域.
【解题思路】利用幂函数的性质及题设条件可确定fx表达式，进而确定其在指定区间上的值域.
【解答过程】因为fx在0,+∞上为增函数，所以−m2−2m+3>0，解得−3又−2又因为f−x=fx，所以fx是偶函数，所以−m2−2m+3为偶数．
当m=−1时，−m2−2m+3=4满足题意；当m=0时，−m2−2m+3=3不满足题意，
所以fx=x4，
又因为fx=x4在1,4上递增，所以fxmin=f1=1，fxmax=f4=256，
故x∈1,4时，fx的值域是1,256．
题型9
二次函数模型的应用
1．（2023秋·全国·高一专题练习）如图，在一直角墙角内的点P处有一棵树，它与两墙的距离分别是3米和2米．现欲用10米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，要求这棵树被围在花圃内或边界上．设BC=x米，则矩形花圃的面积f(x) （单位：平方米）为（ ）

A．f(x)=−x2+5x(0≤x≤10)B．f(x)=−x2+10x(0≤x≤10)
C．f(x)=−x2+5x(3≤x≤8)D．f(x)=−x2+10x(3≤x≤8)
【解题思路】由篱笆总长10米和BC=x米，得出CD，由矩形面积公式表示出f(x)，再由这棵树被围在花圃内或边界上列出不等式组，求解即可得出答案．
【解答过程】因为BC=x米，篱笆总长为10米，
所以CD=(10−x)米，
所以f(x)=x(10−x)=−x2+10x，
又因为这棵树被围在花圃内或边界上，
所以x≥310−x≥2，解得3≤x≤8，
故选：D．
2．（2023春·广东汕尾·高二校考期中）某商店进了一批服装，每件进价为60元.每件售价为90元时，每天售出30件.在一定的范围内这批服装的售价每降低1元，每天就多售出1件.当售价是（ ）元时，每天的利润最大.
A．60B．90C．80D．70
【解题思路】根据所给条件，确定等量关系，然后二次函数求出最值即可.
【解答过程】设每件售价定为(90−x)元，则销售件数增加了x件．
∴每天所获利润为：y=30−x30+x=−x2+900x≥0，
故当x=0时，每天所获利润最大．
故售价定为每件90元时，可获最大利润.
故选：B.
3．（2023秋·河北承德·高三校考开学考试）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=x25−48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨.
(1)求年产量为多少吨时，总成本最低，并求最低成本;
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?
【解题思路】（1）根据已知条件求得总成本的表达式，利用二次函数的性质求得总成本的最小值并求得此时对应的年产量.
（2）利用求得总利润的表达式，再根据二次函数的性质求得最大利润以及此时对应的年产量.
【解答过程】（1）因为y=x25−48x+8000=15(x−120)2+51200≤x≤210，
所以当年产量为120吨时，其生产的总成本最低，最低成本为5120万元.
（2）设该工厂年获得总利润为fx万元，
则fx=40x−y=40x−x25+48x−8000=−x25+88x−8000=−15(x−220)2+16800≤x≤210.
因为fx在0,210上是增函数，
所以当x=210时，fx有最大值为−15(210−220)2+1680=1660.
故当年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.
4．（2023秋·江苏镇江·高一校考开学考试）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元.已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值.
【解题思路】（1）根据题意直接得到函数解析式即可；
（2）根据二次函数的单调性进行求解即可；
（3）根据（2）的结论，结合二次函数的单调性进行即可.
【解答过程】（1）由题意可知y=5(40≤x≤50)10−0.1x(50（2）设利润为z万元，则有z=5x−40(40≤x≤50)x−4010−0.1x(50当40≤x≤50时，z=5x−40−a，该函数是增函数，
当x=50时，z有最大值50，
当50当x=70时，z有最大值90，
所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；
（3）设利润为w万元，则有w=5x−40−a(40≤x≤50)x−40−a10−0.1x(50当40≤x≤50时，z=5x−40，该函数是增函数，
当x=50时， z有最大值5×10−a=78⇒a=−5.6<0，舍去，
当50该二次函数的对称轴为x=a+1402>70，
当x=70时，z有最大值，即30−a10−7=78⇒a=4.
题型10
分段函数模型的应用
1．（2023·全国·高一专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ωx万元.其中ωx=x2+10x,040，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A．720万元B．800万元
C．875万元D．900万元
【解题思路】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大值.
【解答过程】该企业每年利润为fx=70x−x2+10x+25,040
当0在x=30时，fx取得最大值875；
当x>40时，fx=920−x+10000x≤920−2x⋅10000x=720
（当且仅当x=100时等号成立），即在x=100时，fx取得最大值720；
由875>720，可得该企业每年利润的最大值为875.
故选：C.
2．（2023秋·贵州贵阳·高一统考期末）某公司在30天内A商品的销售价格P（元）与时间t（天）的关系满足下方图象所示的函数，A商品的销售量Q（万件）与时间t的关系是Q=40−t，则下列说法正确的是（ ）
①第15天日销售额最大 ②第20天日销售额最大
③最大日销售额为120万元 ④最大日销售额为125万元
A．①③B．①④C．②③D．②④
【解题思路】先由函数图象利用待定系数法求得销售价格P（元）关于时间t（天）的函数解析式，再求销售额关于t的函数解析式，从而结合二次函数性质求其最大值，由此得解.
【解答过程】由图象可得当0≤t≤20时，可设P=at+b，根据图象知过点(0,2),(20,6)，
所以b=26=20a+b，解得b=2,a=15，所以P=15t+2，
当20≤t≤30，可设P=mt+n，根据图象知过点(20,6),(30,5)，
所以6=20m+n5=30m+n，解得m=−110,n=8，所以P=−110t+8，
综上可得，P=15t+2,0≤t<20−110t+8,20≤t≤30，
又Q=−t+40 0则y=P⋅Q=15t+2−t+40,0化简可得y=−15t2+6t+80,0当0当20≤t≤30时，y=110t−602−40，所以y≤120，当且仅当t=20时，等号成立；’
综上可得，第15日的销售额最大，最大值为125万元，故①④正确.
故选：B.
3．（2023春·云南迪庆·高一统考期末）如图，某单位在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送两种经济作物M、N种子，并在三角形地块OAB划出一部分来种植M种子，一部分种植N种子，记OA长为70米，记OB长为50米，三角形地块OAB边OA上的高为40米，记△OAB位于直线x=tt>0左侧的图形的面积为ft，△OAB位于直线x=tt>0左侧的地块用来种植M种子，每个平方米盈利300t元，剩下的地块用来种植N种子，每个平方米盈利30元.

(1)求函数ft解析式；
(2)设该农场种植两种经济作物M、N的盈利总和为S元，求S的最大值.
【解题思路】（1）根据题意，先得到直线AB的方程，然后再将ft的解析式写成分段函数的形式，即可得到结果；
（2）根据题意，先得到S关于t的函数关系式，然后分别求得每一段的最大值，比较即可得到结果.
【解答过程】（1）因为OB长为50米，OA边上的高为40米，所以B30,40，则直线OB的方程为y=43x，因为OA的长为70米，所以A70,0，所以直线AB的方程为y=40−030−70x−70=−x+70，当0≤t≤30时，ft=12t×43t=23t2，
当30当t>70时，ft=1400，
所以ft=23t2,0≤t≤30−12t2+70t−1050,30（2）由题意可知，S=300t⋅ft+30×12×70×40−ft=3010ftt+1400−ft
记gt=10ftt+1400−ft=203t+1400−23t2,0≤t≤3010−12t+70−1050t+1400+12t2−70t+1050,30当0当30所以，当t=5时，S的最大值为42500元.
4．（2023·全国·高三专题练习）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量t（单位：kg）与肥料费用x（单位：元）满足如下关系：t(x)=15x2+43,0≤x≤3,20−1445x,3(1)求fx的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
【解题思路】（1）根据利润=毛收入−成本可得结果；
（2）分段求出最大值，再两者中的更大的为最大值.
【解答过程】（1）由题意可得，f(x)=5t(x)−x−3x =x2+43−4x,0≤x≤3,100−144x−4x,3所以函数fx的函数关系式为f(x)=x2−4x+43,0≤x≤3,100−436x+x,3（2）当0≤x≤3时，fx=x2−4x+43在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，
又f(0)=43，f(3)=40，所以f(x)max=43，
当3当且仅当36x=x，即x=6时等号成立，此时f(x)max=52
综上：当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大为52元.