- 专题2.5 一元二次函数、方程和不等式全章八类必考压轴题-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练(人教A版必修第一册) 试卷 0 次下载
- 专题2.6 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷(基础篇)-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练(人教A版必修第一册) 试卷 0 次下载
- 专题3.1 函数的概念及其表示-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练(人教A版必修第一册) 试卷 0 次下载
- 专题3.3 幂函数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练(人教A版必修第一册) 试卷 0 次下载
- 专题3.4 函数的应用(一)-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练(人教A版必修第一册) 试卷 0 次下载
专题2.7 一元二次函数、方程和不等式全章综合测试卷(提高篇)-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练(人教A版必修第一册)
展开1.(5分)(2023春·福建莆田·高二校考阶段练习)对于任意实数a,b,c,d ,以下四个命题中的真命题是( )
A.若a>b,c≠0,则ac>bcB.若a>b>0 ,c>d,则ac>bd
C.若a>b,则1a<1bD.若ac2>bc2,则a>b
【解题思路】采用举反例的方法,可判断A,B,C,利用不等式性质可判断D.
【解答过程】若a>b,当c<0,则ac
若a>b,取a=1,b=−1 ,则1a>1b,C错误;
若ac2>bc2,则必有c≠0 ,故c2>0,则a>b,D正确,
故选:D.
2.(5分)(2023·全国·高三专题练习)若实数x,y满足x+y≥15x+2y≥2,则2x+y的取值范围( )
A.[1,+∞)B.[3,+∞)C.[4,+∞)D.[9,+∞)
【解题思路】设2x+y=m(x+y)+n(5x+2y),求出m,n,再根据不等式的性质即可得出答案.
【解答过程】解:设2x+y=m(x+y)+n(5x+2y),
则m+5n=2m+2n=1,解得m=n=13,
故2x+y=13(x+y)+13(5x+2y),
又因x+y≥15x+2y≥2,
所以13x+y≥13,135x+2y≥23,
所以2x+y≥1.
故选:A.
3.(5分)(2023春·河北保定·高一校考期中)已知a=2,b=7−3,c=6−2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a
【解题思路】通过作差法,a−b=2+3−7,确定符号,排除D选项;
通过作差法,a−c=22−6,确定符号,排除C选项;
通过作差法,b−c=7+2−6+3,确定符号,排除A选项;
【解答过程】由a−b=2+3−7,且(2+3)2=5+26>7,故a>b;
由a−c=22−6且(22)2=8>6,故a>c;
b−c=7+2−6+3且(6+3)2=9+218>9+214=(7+2)2,故c>b.
所以a>c>b,
故选:B.
4.(5分)(2023春·山西太原·高二校考阶段练习)已知函数fx=x2+ax+ba,b∈R的值域为0,+∞,若关于x的不等式fx
【解题思路】由题意可得b=a24,然后求出不等式fx
因为函数fx的值域为0,+∞,所以,b−a24=0,可得b=a24,
由fx
所以,6=m+6−m=2c,解得c=9.
故选:A.
5.(5分)(2023·全国·高三专题练习)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4},则下列说法正确的是( )
A.a>0B.不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−7
【解题思路】根据解集形式确定选项A错误;化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确;设f(x)=ax2+bx+c,则f(1)>0,判断选项C错误;解不等式可判断选项D错误.
【解答过程】解:因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4},所以a<0,所以选项A错误;
由题得a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a,所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−7
不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3,所以选项D错误.
故选:B.
6.(5分)(2023·全国·高三专题练习)若x>0,y>0且x+y=2,则下列结论中正确的是( )
A.x2+y2的最小值是1B.xy的最大值是14
C.2x+1y的最小值是42D.x+y的最大值是2
【解题思路】根据x2+y2=x+y2−2xy、2x+1y=122x+1yx+y、x+y2=x+y+2xy,利用基本不等式依次求解最值即可.
【解答过程】对于A,∵x2+y2=x+y2−2xy=4−2xy≥4−2×x+y22=2(当且仅当x=y=1时取等号),∴x2+y2min=2,A错误;
对于B,∵xy≤x+y22=1(当且仅当x=y=1时取等号),∴xymax=1,B错误;
对于C,∵2x+1y=122x+1yx+y=123+2yx+xy≥12×3+22yx⋅xy=3+222(当且仅当2x=1y时取等号),∴2x+1ymin=3+222,C错误;
对于D,∵x+y2=x+y+2xy=2+2xy≤2+x+y=4(当且仅当x=y=1时取等号),∴x+ymax=2,D正确.
故选:D.
7.(5分)(2023·全国·高三专题练习)若对任意实数x>0,y>0,不等式x+xy≤a(x+y)恒成立,则实数a的最小值为( )
A.2−12B.2−1C.2+1D.2+12
【解题思路】分离变量将问题转化为a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,y>0恒成立,进而求出x+xyx+y的最大值,设yx=t(t>0)及1+t=m(m>1),然后通过基本不等式求得答案.
【解答过程】由题意可得,a≥x+xyx+y对于任意实数x>0,y>0恒成立,则只需求x+xyx+y的最大值即可,x+xyx+y=1+yx1+yx,设yx=t(t>0),则1+yx1+yx=1+t1+t2,再设1+t=m(m>1),则1+yx1+yx=1+t1+t2=m1+(m−1)2= mm2−2m+2=1m+2m−2 ≤12m⋅2m−2=122−2=2+12,当且仅当m=2m⇒yx=2−1时取得“=”.
所以a≥2+12,即实数a的最小值为2+12.
故选:D.
8.(5分)(2023·全国·高三专题练习)已知对一切x∈[2,3],y∈[3,6],不等式mx2−xy+y2≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≤6B.−6≤m≤0
C.m≥0D.0≤m≤6
【解题思路】令t=yx,分析可得原题意等价于对一切t∈1,3,m≥t−t2恒成立,根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.
【解答过程】∵x∈[2,3],y∈[3,6],则1x∈[13,12],
∴yx∈[1,3],
又∵mx2−xy+y2≥0,且x∈[2,3],x2>0,
可得m≥yx−yx2,
令t=yx∈1,3,则原题意等价于对一切t∈1,3,m≥t−t2恒成立,
∵y=t−t2的开口向下,对称轴t=12,
则当t=1时,y=t−t2取到最大值ymax=1−12=0,
故实数m的取值范围是m≥0.
故选:C.
二.多选题(共4小题,满分20分,每小题5分)
9.(5分)(2023·全国·高三专题练习)[多选]下列说法正确的是( )
A.若ab>0,则a+b≥2abB.若a>b>0,则a3−b3>a2b−ab2
C.若a>b>0,则a+b<2a2+b2D.若ab<0,则ba+ab>2
【解题思路】取a,b为负数可判断A;作差法可判断B;对a+b<2a2+b2平方作差可判断C;取a=4,b=−1可判断D.
【解答过程】对于A,若ab>0,则a,b可能均为负数,此时a+b<0,而2ab>0,故A错误.
对于B,因为a>b>0,所以a−b>0,
所以a3−b3−a2b+ab2=a2a−b+b2a−b=a−ba2+b2>0,
即a3−b3>a2b−ab2,故B正确.
对于C,将不等式a+b<2a2+b2两边同时平方,得a+b2<2a2+b2,
整理得a2+b2−2ab>0,即a−b2>0,因为a>b,所以不等式成立,故C正确.
对于D,因为ab<0,所以不妨取a=4,b=−1,则ba+ab=−14−4<0,故D错误.
故选:BC.
10.(5分)(2022秋·广东·高一校联考期中)下列说法正确的有( )
A.y=x2+1x的最小值为2
B.已知x>1,则y=2x+4x−1−1的最小值为42+1
C.已知正实数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最大值为3
D.若关于x的不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的范围是−2【解题思路】对于A选项,y=x2+1x=x+1x,利用基本不等式式可判断,但要注意x范围.
对于B选项,y=2x+4x−1−1=2x−1+4x−1+1,后利用基本不等式解决问题.
对于C选项,由x+2y=3xy得x+2y3xy=13y+23x=1,则2x+y=2x+y13y+23x,后利用基本不等式可解决问题.
对于D选项,当a=2时,显然成立.当a≠2时,转化为fx=a−2x2+2a−2x−4图像恒在x轴下方即可.
【解答过程】对于A选项,y=x2+1x=x+1x,易得x≠0.
当x>0时,y=x2+1x=x+1x≥2x⋅1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时取等号.
当x<0时,y=x2+1x=x+1x=−−x+1−x≤−2−x⋅1−x=−2,
当且仅当−x=1−x,即x=−1时取等号. 因条件中未告知x范围,故A错误.
对于B选项,y=2x+4x−1−1=2x−1+4x−1+1,因x>1,
则2x−1+4x−1+1≥22x−1⋅4x−1+1=42+1,
当且仅当2x−1=4x−1,即x=2+1时取等号.故B正确.
对于C选项,由x+2y=3xy得x+2y3xy=13y+23x=1,
则2x+y=2x+y13y+23x=2x3y+2y3x+53,又x,y为正实数.
则2x3y+2y3x+53≥22x3y⋅2y3x+53=3.
取等号时有2x3y=2y3x,即x=y,代入x+2y=3xy,得x=y=1.
即当且仅当x=y=1时,上述不等式取等号.则2x+y的最小值为3.
又13y+23x=1,当13y无限接近1时,y无限接近13.此时23x无限接近于0,得x接近正无穷大,故2x+y无最大值.综上,C选项错误.
对于D选项,当a=2时,原式化为−4<0,故a=2满足条件.
当a≠2时,不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立
等价于fx=a−2x2+2a−2x−4图像恒在x轴下方.
有a−2<0Δ<0,即a<24a−22+16a−2<0得−2综上−2故选:BD.
11.(5分)(2022秋·湖北十堰·高一校考阶段练习)已知正实数x,y满足3x+y+xy−13=0,且2t2−t−4⩽2y−xy恒成立,则t的取值可能是( )
A.−32B.−1C.1D.32
【解题思路】对式子变形,构造定值,利用基本不等式求解最值,利用最值解决恒成立问题.
【解答过程】由3x+y+xy−13=0,得(x+1)y=−3x+13,因为x>0,所以x+1≠0,所以y=−3x+13x+1=−3+16x+1,则x+y=x+16x+1−3=x+1+16x+1−4⩾216−4=4,
当且仅当x=3时,等号成立,故2y−xy=3(x+y)−13⩾−1,
因为2t2−t−4⩽2y−xy恒成立,所以2t2−t−3⩽0,解得−1⩽t⩽32.故A错.
故选:BCD.
12.(5分)(2023·全国·高三专题练习)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的对称轴为x=1,其图像如图所示,则下列选项正确的有( )
A.abc+abc=0
B.当a≤x≤1−a时,函数的最大值为c−a2
C.关于x的不等式ax4+bx2>ax2−22+bx2−2的解为x>2或x<−2
D.若关于x的函数t=x2+bx+1与关于t的函数y=t2+bt+1有相同的最小值,则b−1≥5
【解题思路】A选项,由开口方向,与y轴交点,及对称轴,求出a,b,c的正负,得到A正确;B选项,当a≤x≤1−a时,数形结合得到函数随着x的增大而减小,从而求出最大值;C选项,结合b=−2a,化简不等式,求出解集;D选项,配方得到两函数的最小值,从而得到−b2≥1−b24,求出b−1≥5.
【解答过程】A选项,二次函数图象开口向上,故a>0,
对称轴为x=−b2a=1,故b=−2a<0,
图象与y轴交点在y轴正半轴,故c>0,
所以abc<0,故abc+abc=−abc+abc=0,A正确;
B选项,因为b=−2a,故y=ax2−2ax+c,
因为a>0,所以1−a<1,
当a≤x≤1−a<1时,y=ax2−2ax+c随着x的增大而减小,
所以x=a时,y取得最大值,最大值为y=a3−2a2+c,B错误;
C选项,因为b=−2a,所以ax4+bx2=ax4−2ax2,
ax2−22+bx2−2=ax4−4ax2+4a−2ax2−2=ax4−6ax2+8a,
故不等式ax4+bx2>ax2−22+bx2−2变形为4ax2−8a>0,
因为a>0,x2>2,解得:x>2或x<−2,故C正确;
D选项,t=x2+bx+1=x+b22+1−b24,当x=−b2时,t取得最小值,最小值为1−b24,
y=t2+bt+1=t+b22+1−b24,当t=−b2时,y取得最小值,最小值为1−b24,
所以−b2≥1−b24,即b2−2b−4≥0,所以b−12≥5,
即b−1≥5,故D正确.
故选:ACD.
三.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
13.(5分)(2023·全国·高三专题练习)若实数x,y满足1
【解答过程】由不等式的性质求解即可.
解:3x+y=2(x+y)+(x−y),
因为实数x,y满足1
即3x+y的取值范围为(2,5).
故答案为:(2,5).
14.(5分)(2023·全国·高三专题练习)已知x∈4,+∞,y∈0,5,z∈0,1,则2x+y+4zx+2z+2x+zy的最小值为 2+22 .
【解题思路】将2x+y+4zx+2z+2x+zy变形为yx+2z+x+2z2y+32⋅xy+2,然后利用基本不等式求解得yx+2z+x+2z2y+32⋅xy+2≥2+32⋅xy+2,再根据取等号的条件可得xy=2xx+2z=21+2zx,判断出zx的范围,进而判断得xy的范围,可得32⋅xy≥2,可得所求最小值.
【解答过程】2x+y+4zx+2z+2x+zy=2+yx+2z+x+2z+3x2y =yx+2z+x+2z2y+32⋅xy+2≥212+32⋅xy+2=2+32⋅xy+2,
当且仅当yx+2z=x+2z2y,即2y2=x+2z2时取“=”,
此时xy=2xx+2z=21+2zx,∵x∈4,+∞,z∈0,1,
∴zx∈0,14,∴xy≥21+12=223,∴32⋅xy≥2,
∴原式≥2+22,此时x=4,y=32,z=1.
故答案为:2+22.
15.(5分)(2023秋·湖南长沙·高一校考期末)已知实数a,b满足0【解题思路】先对不等式左边进行因式分解,再结合a>−1对a进行分类讨论,分a∈(−1,1),a=1和a>1三种情况,求出符合要求的实数a的取值范围.
【解答过程】(a2−1)x2+2bx−b2<0可变形为[(a+1)x−b]⋅[(a−1)x+b]<0,
因为0其中a>−1,
当a∈(−1,1)时,y=(a2−1)x2+2bx−b2开口朝下,不合题意;
当a=1时,2bx−b2<0,解得:x
因为b1−a<0,所以不等式解集为{x|b1−a
则必有−3≤b1−a<−2,所以2(a−1)所以2(a−1)<1+a,所以1综上:a∈(1,3)
故答案为:(1,3).
16.(5分)(2023春·浙江·高一校联考期中)已知对任意x∈R,均有不等式ax2+bx+c≥0成立,其中b<0.若存在t∈R使得1−ta+1+2tb+3c=0成立,则t的最小值为 14 .
【解题思路】由一元二次不等式恒成立得c≥b24a>0、a>0,将问题化为求t=a+b+3ca−2b的最小值,令m=ba<0则t≥1+38⋅4m+m212−m,应用基本不等式求最值,注意取值条件.
【解答过程】由题设a>0Δ=b2−4ac≤0,有b2≤4ac,又b<0,则c≥b24a>0,
又1−ta+1+2tb+3c=a+b+3c+(2b−a)t,则2b−a<0,
故存在t∈R使a+b+3c+(2b−a)t=0成立,则t=a+b+3ca−2b,
所以t=1+3(b+c)a−2b≥1+3⋅ba(1+b4a)1−2ba,令m=ba<0,故t≥1+38⋅4m+m212−m,
所以t≥1+38⋅(12−m)2+5(m−12)+9412−m=1+38⋅[(12−m)+94(12−m)−5],且12−m>0,
而38⋅[(12−m)+94(12−m)−5]≥38⋅[2(12−m)⋅94(12−m)−5]=−34,仅当12−m=32,即m=−1等号成立,
所以t≥14,仅当a=−b且c=b24a=a4时等号成立,故t的最小值为14.
故答案为:14.
四.解答题(共6小题,满分70分)
17.(10分)(2023·高一课时练习)一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好.设某所公寓的窗户面积为am2,地板面积为bm2,
(1)若这所公寓窗户面积与地板面积的总和为330m2,则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米?
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积,设增加的面积为tm2,则公寓的采光效果是变好了还是变坏了?请说明理由.
【解题思路】(1)根据题意列出关于a,b的等量关系和不等量关系,化简求解即可
(2)分式的分子分母同时增加t,通过作差法比较新的分式与原来分式的大小,从而判断采光效果变好了还是变坏了
【解答过程】(1)根据题意可得:{a+b=330ab≥10% ,则b=330−a,所以a330−a≥10%,解得:a≥30,所以这所公寓的窗户面积至少为30平方米
(2)同时增加窗户面积和地板面积后,比值为a+tb+t,则a+tb+t−ab=ab+tb−ab−atb(b+t)=t(b−a)b(b+t),因为b>0,t>0,b>a,所以a+tb+t−ab=t(b−a)b(b+t)>0,所以a+tb+t>ab,
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积后,公寓的采光效果变好了.
18.(12分)(2023·高一课时练习)(1)比较x3与x2−x+1的大小;
(2)已知a>b>c,且a+b+c=0,
①求证:ca−c>cb−c.
②求ca的取值范围.
【解题思路】(1)对两式作差,然后因式分解并分x=1,x>1,x<1三种情况讨论,即可求解;
(2)①由a>b>c且a+b+c=0,可得c<0,再结合不等式的基本性质,即可求解;
②由题意,有a>0,c<0,又ba=−ca−1<1即可求解.
【解答过程】解:(1)x3−(x2−x+1)=(x3−x2)+(x−1)=(x2+1)(x−1),
当x=1时,(x2+1)(x−1)=0,故x3=x2−x+1,
当x>1时,(x2+1)(x−1)>0,故x3>x2−x+1,
当x<1时,(x2+1)(x−1)<0,故x3
∴c<0,
∵a>b>c,
∴a−c>b−c>0,两边取倒数得1a−c<1b−c,
又∵c<0,
∴ ca−c>cb−c,从而得证.
②∵a>b>c且a+b+c=0,
∴a>0,c<0,
所以ca<0,ba<1,
因为a+b+c=0,所以1+ba+ca=0,即ba=−ca−1,
所以−ca−1<1,即ca>−2,
综上,−2
(1)求ab+bc+ca的最大值;
(2)求证:a2b+c+b2c+a+c2a+b≥12.
【解题思路】(1)由(a+b+c)2=12(2a2+2b2+2c2)+2(ab+bc+ca),应用基本不等式求最大值,注意取值条件;
(2)利用基本不等式求a2b+c+b+c4≥a、b2c+a+c+a4≥b、c2a+b+a+b4≥c,即可证结论,注意等号成立条件.
【解答过程】(1)由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=12(2a2+2b2+2c2)+2(ab+bc+ca),
所以(a+b+c)2 ≥3(ab+bc+ca),即ab+bc+ca≤13,仅当a=b=c=13时等号成立,
综上,ab+bc+ca的最大值为13.
(2)由a2b+c+b+c4≥2a2b+c⋅b+c4=a,仅当a2b+c=b+c4,即2a=b+c=23时等号成立,
由b2c+a+c+a4≥2b2c+a⋅c+a4=b,仅当b2c+a+c+a4,即2b=c+a=23时等号成立,
由c2a+b+a+b4≥2c2a+b⋅a+b4=c,仅当c2a+b+a+b4,即2c=a+b=23时等号成立,
综上,a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c−(b+c4+c+a4+a+b4)=a+b+c2=12,仅当a=b=c=13时等号成立.
20.(12分)(2023春·江西景德镇·高二校考期中)已知函数fx=m+1x2−mx+m−1m∈R.
(Ⅰ)当m>−2时,解关于x的不等式fx≥m;
(Ⅱ)若不等式fx≥0的解集为D,且−1,1⊆D,求m的取值范围.
【解题思路】(Ⅰ)将不等式化为一般形式,然后根据m的取值情况分类讨论求解即可.(Ⅱ)将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决,然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题,最后根据基本不等式求解可得所求.
【解答过程】(Ⅰ)由fx≥m得, m+1x2−mx−1≥0.
即m+1x+1x−1≥0.
①当m+1=0,即m=−1时,解得x≥1;
②当m+1>0即m>−1时,解得x≤−1m+1或x≥1;
③当m+1<0,即−2
故解得1≤x≤−1m+1.
综上可得:当m>−1时,解集为{x|x≤−1m+1或x≥1};
当m=−1时,解集为x|x≥1};
当−2
即mx2−x+1≥−x2+1对任意的x∈−1,1恒成立,
由于x2−x+1>0,
∴m≥−x2+1x2−x+1=−1+2−xx2−x+1对任意的x∈−1,1恒成立.
令t=2−x∈1,3,则x=2−t,
∵2−xx2−x+1=t2−t2−2−t+1=tt2−3t+3=1t+3t−3≤123−3=1+233,
当且仅当t=3t,即x=2−3时等号成立.
∴−x2+1x2−x+1=−1+2−xx2−x+1≤233,
∴实数m的取值范围是233,+∞.
另解:
不等式fx≥0的解集为D,且−1,1⊆D,即任意的x∈−1,1不等式m+1x2−mx+m−1≥0恒成立.设gx=m+1x2−mx+m−1
(1)当m+1<0时,g−1≥0g1≥0,解得m∈∅
(2)当m+1=0时,gx=x−2, 当x∈−1,1时恒小于0,不满足,舍去
(3)当m+1>0时,
(ⅰ)Δ=m2−4m+1m−1≤0,即m≤−233或m≥233,得m≥233
(ⅱ)m2m+1>1g1≥0或m2m+1<-1g-1≥0,解得m∈∅
综上可得实数m的取值范围是233,+∞.
21.(12分)(2022·高一课时练习)已知x>0,y>0.
(1)若xy=2,x>y,不等式x2+y2−4mx+4my≥0恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若不等式1x+1y+mx+y≥0恒成立,求实数m的最小值;
(3)若x+y=1.且1x+ay≥9恒成立,求正实数a的最小值.
【解题思路】(1)将x2+y2−4mx+4my≥0恒成立,转化为4m≤x2+y2x−y恒成立,再由x2+y2x−y=x−y2+2xyx−y=x−y2+4x−y=x−y+4x−y,利用基本不等式求得其最小值即可;
(2)将1x+1y+mx+y≥0恒成立,转化为x+y1x+1y≥−m恒成立,再由x+y1x+1y=2+yx+xy,利用基本不等式求得其最小值即可;
(3)根据x+y=1,a>0,利用基本不等式求解.
【解答过程】(1)
解:∵x>y>0,
∴x−y>0,
∴x2+y2−4mx+4my≥0恒成立等价于4m≤x2+y2x−y恒成立.
又xy=2,
∴x2+y2x−y=x−y2+2xyx−y=x−y2+4x−y=x−y+4x−y≥4,
当且仅当x−y=4x−y,即x−y=2,即x=3+1,y=3−1时等号成立.
∴4m≤4,
∴m≤1.
故实数m的取值范围是−∞,1.
(2)
∵x>0,y>0,
∴1x+1y+mx+y≥0恒成立等价于x+y1x+1y≥−m恒成立.
又x+y1x+1y=2+yx+xy≥2+2yx⋅xy=4,当且仅当yx=xy,即x=y时取等号,
∴−m≤4,即m≥−4.
∴实数m的最小值为-4.
(3)
∵x+y=1,a>0,
∴1x+ay=1x+ay(x+y)=a+1+yx+axy≥a+1+2yx⋅axy=a+12,当且仅当yx=axy,即y=ax时等号成立.
又1x+ay≥9恒成立,
∴a+12≥9,
∴a+1≥3或a+1≤−3(舍去),
∴a≥4.
故正实数a的最小值为4.
22.(12分)(2022秋·广东广州·高一校考阶段练习)已知函数y=ax2−2a+3x+6a∈R.
(1)若y>0的解集是{x∣x<2或x>3},求实数a的值;
(2)若y+2>0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当a=1时,若−2≤x≤2时函数y≤−m+5x+3+m有解,求m2+3的取值范围.
【解题思路】(1)根据一元二次不等式的解以及根与系数关系求得a的值.
(2)对a进行分类讨论,结合判别式来求得正确答案.
(3)对m进行分类讨论,根据一元二次不等式在区间−2,2上有解列不等式,求得m的取值范围,进而求得m2+3的取值范围.
【解答过程】(1)依题意,y=ax2−2a+3x+6>0的解集是{x∣x<2或x>3},
所以a>02+3=2a+3a2×3=6a,解得a=1.
(2)若y+2>0恒成立,则y+2>0⇒ax2−2a+3x+8>0恒成立.
当a=0时,ax2−2a+3x+8=−3x+8>0不恒成立;
当a≠0时,a>0Δ=2a+32−32a<0,解得:12实数a的取值范围为:12,92.
(3)a=1时,y≤−m+5x+3+m在−2,2有解,
即x2+mx+3−m≤0在−2,2有解,
因为y=x2+mx+3−m的开口向上,对称轴x=−m2,
①−m2≤−2即m≥4,x=−2时,函数取得最小值4−2m+3−m≤0,即m≥73,
∴m≥4.
②−2<−m2<2即−4
③当−m2≥2即m≤−4时,当x=2时取得最小值,此时4+2m+3−m≤0,
解得m≤−7,
综上,m≥2或m≤−7.
所以:m2+3的范围为7,+∞.
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