专题02 一元二次函数、方程和不等式（人教A版必修第一册）

这是一份专题02 一元二次函数、方程和不等式（人教A版必修第一册），共18页。试卷主要包含了已知，，求的取值范围.等内容，欢迎下载使用。


等式性质与不等式性质
1．（2018下·青海西宁·高一统考期末）已知a为实数，，，则M、N的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：A
（多选）2．（2019上·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】因为，
对于A选项，，则，A错；
对于B选项，当时，，B错；
对于C选项，，
所以，，C对；
对于D选项，由不等式的基本性质可得，，所以，，D对.
故选：CD.
3．（2021·浙江·高一期末）已知实数，且满足，则 ．
【答案】
【详解】当时，，又，，则，不符合题意；
当时，
整理成关于的一元二次方程，即①
判别式
当时，，
要使方程有解，则不符合，，即，即
又，
将代入方程①得，，解得：
故答案为：
4．（2020下·山西·高一统考期末）已知，，求的取值范围.
【答案】.
【详解】令，即，
于是，解得，即，
由，得，而，则，
所以的取值范围是.
基本不等式
1．（2023上·四川·高一校联考阶段练习）已知实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
2．（2022上·江苏镇江·高一统考期末）已知，均为正数，且，则最小值为（ ）
A．12B．16C．20D．24
【答案】D
【详解】已知，均为正数，且，
，
当且仅当，即时等号成立，所以最小值为24.
故选：D.
3．（2022上·江西南昌·高一南昌市第三中学校考期末）正数满足，则的最大值为（ ）
A．8B．3C．D．4
【答案】D
【详解】解：因为
当，即时，等号成立，
又因为，
所以，时，等号成立.
故选：D.
4．（2022上·广东东莞·高一东莞市东莞中学校联考期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】正实数满足，则
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：D
二次函数与一元二次方程、不等式
1．（2018·全国·高一专题练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，对一切实数都成立，满足要求，
当时，由题意得，解得，
综上，的取值范围是.
故选：D
（多选）2．（2022上·广东深圳·高一福田外国语高中校考期末）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
【答案】BD
【详解】因为的解集为，
所以，解得，所以A错误；
对于B：将代入可得，解得，B正确；
对于C：不等式的解集为，
所以时，C错误；
对于D：将代入可得，即，
解得，D正确，
故选：BD
（多选）3．（2023上·河北邢台·高一校联考阶段练习）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的值可以是（ ）
A．B．C．D．－1
【答案】AD
【详解】关于的不等式的解集中恰有4个整数，
所以，因为时，不等式的解集中的整数有无数多个．
不等式，对应的方程为：，
方程的根为：和；
由题意知，，则，解得；
当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：0,1,2,3；满足题意．
当时，不等式的解集是，解集中含有4个整数：,0,1,2；满足题意．
当时，不等式的解集是,，此时，
解集中含有5个整数：,0,1,2,3；不满足题意．
当时，不等式的解集是,，，
解集中含有整数个数多于4个，不满足题意．
综上知，的值可以是和．
故选：AD
（多选）4．（2022上·江苏南通·高一江苏省如皋中学校考开学考试）若p：，则p成立一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【详解】解：p：，，
且，
或，
，，
则成立的一个充分不必要条件是和，，
故选：CD.
由一元二次不等式确定参数
1．（2022上·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）已知函数，若非空集合，满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
不妨设的解集为，则由得，
所以，
又，，所以且，
因为的解集为，所以是，即的两个根，
故，即，
此时由，得，则，
因为，显然，且开口向上，对称轴为，
所以，则，
又，解得，即.
故选：A.
2．（2022上·上海普陀·高一校考期末）设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有个，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，由，可得，
由题意可知，不等式的解集在方程的两根之间，
则，
又因为，所以，，，
解不等式可得，
所以，不等式的解集为，
因为，所以，
所以，原不等式的解集中的整数解为、、，
故，故，
因为，，所以，，解得，故，
因此，实数的取值范围是，
故选：C.
（多选）3．（2022上·安徽池州·高一统考期末）若关于的不等式的解集为，则的值可以是（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】BC
【详解】因为不等式的解集为，
所以二次函数的对称轴为直线，
且需满足，即，解得，
所以，所以，
所以，故的值可以是和，
故选：BC
4．（2022上·吉林·高一校考期末）已知函数
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围
(3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【详解】（1）原不等式可化为，因为该不等式解集为，
可知的两根为和3，
则，即，
故解得；
（2）若对任意的恒成立，
所以对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立，所以，
又因为，，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以实数的取值范围是；
（3）当时，，因为，所以函数的值域是，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集，
当时，，则，解得，
当时，，则，解得，
当时，，显然不成立，
综上所述，实数的取值范围是或．
其他不等式
1．（2022上·浙江·高一校联考期末）已知a，b，，函数，，对任意的，，，两两相乘都不小于0，且，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对任意的，，，两两相乘都不小于0，
故，，的零点相同，设为，
恒成立，，故，
若要满足题意，则,解得，
故，即，，故，，
，A错误；，B错误；，C错误，
，D正确.
故选：D.
（多选）2．（2022上·江苏苏州·高一统考期末）若关于x的不等式的解集为(－1，1)，则（ ）
A．b＞0B．|a|＜|c|C．a＋b＋c＞0D．8a＋2b＋c＞0
【答案】BD
【详解】根据题意，关于x的不等式的解集为(－1，1)，
则方程的两个根为－1和1，则有，
联立可得：，
又0∈(－1，1)，则有，
变形可得：a＜0，
则有a＞0，
依次分析选项：
对于A，由于，且a＞0，则有＜0，A错误；
对于B，由于，则|c|＝|a|＞|a|，B正确；
对于C，a＋b＋c＝a－a－a＝(1－e)a＜0，C错误；
对于D，8a＋2b＋c＝8a－（e－）a－a＝(8－＋)a＞0，D正确；
故选：BD.
3．（2015上·重庆·高一统考期末）已知函数在区间[-1,2]上的最大值是最小值的8倍．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当a>1时，解不等式．
【答案】（1）或；（2）；
试题解析：（Ⅰ）当时，，则，解得；
当时，，则，解得；
综上：或；
（Ⅱ）当时，由前知，不等式，即为，
得解集为．；
最值定理
（多选）1．（2022上·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）设正数满足，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，由基本不等式推论有，当且仅当取等号.故A正确.
对于B，，由A分析可知，则，当且仅当取等号.故B正确.
对于C，
，当且仅当，即
时取等号.故C正确.
对于D，
，
当且仅当，即时取等号.故D正确.
故选：ACD
（多选）2．（2022上·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）已知为正数，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最小值为1
C．的最小值为8D．的最小值为
【答案】BCD
【详解】因为，为正数，，
所以，即，得，
所以，当且仅当时，等号成立.
同理，解得，当且仅当时，等号成立.
对于A，，
所以，当时，等号成立，所以A错误；
对于B，，当时，等号成立，所以B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D，设，则，所以，
即，则，得，
解得，所以D正确.
故选：BCD.
3．（2022·浙江·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】由原式可得，且
令，则原式即为，
因为在上单调递增，
所以，所以，
则，
当且仅当时，即时等号成立.
故答案为：
4．（2022上·湖南邵阳·高一湖南省隆回县第二中学校考阶段练习）设实数、满足方程有实数根，则的最小值是 .
【答案】/
【详解】显然不满足方程，所以，，
在方程两边同时除以可得，
令，则，
当时，则，当且仅当时，等号成立，
当时，则，当且仅当时，等号成立，
所以，，
则方程可化为，
设，其中，
所以方程有绝对值大于或等于的实数解，所以，可得，①
由可得，由，
可得，
由绝对值三角不等式可得，②
由①②可知，只需讨论的情形：
当时，令，易验证①②均满足，此时；
当时，条件②变为，化简可得，满足条件①，
此时，所以，，
当且仅当，时，取最小值.
故答案为：.
5．（2022上·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期末）已知，，是正实数，且，则最小值为 .
【答案】
【详解】由题，，
其中
，
当且仅当，即时取等，
故
，
当且仅当时，即时取等.
故答案为：
比较大小
1．（2022上·江苏常州·高一校考期末）若且，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】，可得：，，
可得：且
由基本不等式，可得：
又，可得： ，且，
可得：，即
故选：A
2．（2022上·四川绵阳·高一统考期末）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c
【答案】D
【详解】，因函数在上单调递增，
则，.
，因，则
.
故，综上有.
故选：D
3．（2022上·江苏南通·高一统考期末）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，且，
所以，即，
因为函数是单调递增函数，
所以函数是单调递增函数，
所以当时，有，
因为，
所以有，
由，
因为函数是单调递减函数，
所以函数是单调递减函数，
因为，所以，
因此，
故选：A
4．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故选：D．