专题4.8 指数函数与对数函数全章综合测试卷（基础篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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1．（5分）（2023·全国·高一专题练习）2⋅3222132化简后的结果为（ ）
A．212B．232C．216D．2−16
【解题思路】根据根式、指数幂运算求得正确答案.
【解答过程】2⋅3222132=2⋅223223=253223=256223=256−23=216.
故选：C.
2．（5分）（2023·全国·高一专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．−x=−x12B．6y2=y13(y<0)
C．x−13=13x(x>0)D．3(−x)234=x12
【解题思路】根据分数指数幂与根式的互化，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A选项：由−x=−x12(x≥0),(−x)12=−x(x≤0)，故该项等号两侧不相等，所以A错误；
对于B选项：由6y2=−y13(y<0)，所以B错误；
对于C选项：由指数幂的运算性质，可得x−13=13x(x>0)，所以C正确；
对于D选项：当x>0时，3(−x)234=3x234=(x23)34=x12，
当x<0时，3(−x)234=3x234=(x23)34=(−x)12，
显然当x<0时，该项的等量关系不成立，所以D错误.
故选：C.
3．（5分）（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）31+lg32+lg1−lne3的值为（ ）
A．-1B．1C．2D．3
【解题思路】由对数的运算性质求解．
【解答过程】31+lg32+lg1−lne3=3×2+0−3=3.
故选：D.
4．（5分）（2023·全国·高一专题练习）函数fx=3x+x−6的零点所在的区间是（ ）
A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4
【解题思路】根据零点存在性定理，即可判断选项.
【解答过程】函数fx=3x+x−6为增函数，
f0=1−6=−5<0，f1=3+1−6=−2，f2=9+2−6=5，f1f2<0，
所以函数的零点所在的区间为1,2.
故选：B.
5．（5分）（2023·江苏·高一专题练习）已知a,b均为正实数，若lgab+lgba=52,ab=ba，则ab＝（ ）
A．12或22B．22
C．2D．2或12
【解题思路】令t=lgab，则由lgab+lgba=52可得t+1t=52，从而可求出t的值，再结合ab=ba可求得结果.
【解答过程】令t=lgab，则t+1t=52，
所以2t2−5t+2=0，解得t=12或t=2，
所以lgab=12或lgab=2，
所以a12=b或a2=b，
因为ab=ba，所以b2b=b2b=ba或ab=a2a，
所以2b=a或b=2a，
所以ab=2或ab=12，
故选：D.
6．（5分）（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）函数y=x+a与y=ax，其中a>0，且a≠1，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据y=x+a单调递增可排除A、C，再根据指数函数过定点0,1可排除B.
【解答过程】因为a>0，则y=x+a单调递增，故A、C错误；
又因为y=ax过定点0,1，故B错误；
对于选项D：可知y=ax单调递减，则0故选：D.
7．（5分）（2023秋·宁夏石嘴山·高三校考阶段练习）已知a=1.20.2，b=lg52，c=lg73，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>c>bB．a>b>c
C．b>c>aD．c>a>b
【解题思路】通过中值来判断不能直接比较大小的数.
【解答过程】a=1.20.2>1，b=lg52c=lg73>lg77=12，c=lg73所以a>c>b.
故选：A.
8．（5分）（2023秋·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知函数fx=lg−x+1,x<012x+1,x≥0，则函数y=f2x−3fx+2的零点个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解题思路】将函数y=f2x−3fx+2的零点个数转化为方程fx=1和fx=2根的个数，然后再转化为函数fx与y=1，y=2图象交点个数，最后结合图象判断即可.
【解答过程】函数y=f2x−3fx+2=fx−1fx−2的零点，
即方程fx=1和fx=2的根，函数fx=lg−x+1,x<012x+1,x≥0的图象，如下图所示：
由图可得方程fx=1和fx=2的根，共有4个根，即函数y=2f2x−3fx+1有4个零点．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023·江苏·高一专题练习）下列等式不成立的是（ ）
A．lg2(8−4)=lg28−lg24B．lg28lg24=lg284
C．lg28=3lg22D．lg2(8+4)=lg28+lg24
【解题思路】根据对数的运算性质逐个分析判断
【解答过程】对于A，因为lg2(8−4)=lg24=lg222=2，lg28−lg24=lg223−lg222=3−2=1，
所以lg2(8−4)≠lg28−lg24，所以A错误，
对于B，因为lg28lg24=lg223lg222=32，lg284=lg22=1，所以lg28lg24≠lg284，所以B错误，
对于C，因为lg28=lg223=3lg22，所以C正确，
对于D，因为lg2(8+4)=lg212=lg23+lg24=lg23+2，lg28+lg24=lg223+lg222=3+2=5，
所以lg2(8+4)≠lg28+lg24，所以D错误，
故选：ABD.
10．（5分）（2023秋·高一单元测试）若函数fx=lg12x，则下列说法正确的是（ ）
A．函数定义域为RB．00
C．fx>1的解集为−∞,12D．ff12=0
【解题思路】根据对数函数得图像性质解决即可.
【解答过程】由题知，fx=lg12x，
对于A，函数定义域为0,+∞，故A错误；
对于B，fx=lg12x在0,+∞上单调递减，
当0lg121=0，故B正确；
对于C，fx=lg12x在0,+∞上单调递减，fx>1，即lg12x>lg1212，解得0,12，故C错误；
对于D，ff12=f(1)=lg121=0，故D正确.
故选：BD.
11．（5分）（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=12x2+4x+3，则（ ）
A．函数fx的定义域为R
B．函数fx的值域为0,2
C．函数fx在−2,+∞上单调递增
D．函数fx在−2,+∞上单调递减
【解题思路】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令u=x2+4x+3，则u∈−1,+∞，y=12u，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.
【解答过程】令u=x2+4x+3=x+22−1，则u∈−1,+∞，
对于选项A：fx的定义域与u=x2+4x+3的定义域相同，均为R，故A正确；
对于选项B：因为y=12u，u∈−1,+∞的值域为0,2，
所以函数fx的值域为0,2，故B正确；
对于选项C、D：因为u=x2+4x+3在−2,+∞上单调递增，且y=12u，u∈−1,+∞在定义域上单调递减，
所以根据复合函数单调性法则，得函数fx在−2,+∞上单调递减，
所以C不正确，D正确.
故选：ABD.
12．（5分）（2023春·河北保定·高二统考期末）已知函数fx=x+2,x≤0lg2x,x>0，若fx=a有三个不等实根x1，x2，x3，且x1A．fx的单调递增区间为−∞,0∪1,+∞
B．a的取值范围是0,2
C．x1x2x3的取值范围是−2,0
D．函数gx=ffx有4个零点
【解题思路】作出y=f(x)的图象，结合图象逐一判断即可．
【解答过程】作出函数fx=x+2,x≤0lg2x,x>0的图象，如图所示：

对于A，由图象可得y=f(x)的单调递增区间为−∞,0,1,+∞，故A不正确；
对于B，因为f(x)=a有三个不等实根，即y=f(x)与y=a有三个不同交点，所以a∈(0,2]，故B不正确；
对于C，则题意可知：−2对于D，令f(x)=t，则有y=f(t)，令y=0，则有t=−2或t=1，
当t=−2时，即f(x)=−2，即x+2=−2，解得x=−4；
当t=1时，即f(x)=1，所以x+2=1或|lg2x|=1，解得x=−1，或x=12或x=2，
所以y=f(t)共有4个零点，即g(x)=f(f(x))有4个零点，故D正确．
故选：CD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023秋·四川成都·高一校考开学考试）若2m=3，4n=8，则23m−2n−4的值是 27128 .
【解题思路】根据幂的乘方逆运算和同底数幂的除法逆运算法则解答即可.
【解答过程】23m−2n−4 =23m÷22n÷24 =2m3÷4n÷16 =33÷8÷16 =27128；
故答案为：27128.
14．（5分）（2023·全国·高一专题练习）函数fx=9x−4×3x+9的值域为 5,+∞ .
【解题思路】利用换元法结合二次函数求值域即可.
【解答过程】设t=3x>0，则f(x)=(3x)2−4⋅3x+9，
换元得g(t)=(t)2−4⋅t+9=(t−2)2+5,t>0，
显然当t=2时，函数gt取到最小值gt=5，
所以函数fx=9x−4×3x+9的值域为5,+∞．
故答案为：5,+∞.
15．（5分）（2023秋·高一课时练习）求方程x3−2x−5=0在区间2,3内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是 2,2.5 ．
【解题思路】利用零点存在定理可得出结果.
【解答过程】令fx=x3−2x−5，则f2=8−4−5=−1<0，f3=27−6−5=16>0，
由因为f2.5=523−5−5=458>0，
因此，下一个有根的区间为2,2.5.
故答案为：2,2.5.
16．（5分）（2023·全国·高一专题练习）函数fx=lgaax2−4x+9在区间1,3上严格递增，则实数a的取值范围是 (13,23]∪[2,+∞) ．
【解题思路】运用复合函数的单调性分别研究当a>1与00在[1,3]恒成立，结合二次函数的单调性即可求得结果.
【解答过程】由题意知，a>0且a≠1，
令g(x)=ax2−4x+9，则其对称轴为x=42a=2a，
①当a>1时，由复合函数的单调性可知，g(x)在[1,3]上单调递增，且g(x)>0在[1,3]恒成立，
则a>12a≤1g(1)=a+5>0，解得a≥2，
②当00在[1,3]恒成立，
则00，解得13综述：a≥2或13故答案为：(13,23]∪[2,+∞).
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·全国·高一课堂例题）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）：
(1)3a2⋅ba⋅3b；
(2)33−27÷63；
(3)3xy2xy3．
【解题思路】根据分数指数幂与根式的互化，结合指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案.
【解答过程】（1）3a2⋅ba⋅3b=a23−12b12−13=a16b16=ab16；
（2）33−27÷63=313−332÷316=313−16−332−16=316−343；
（3）3xy2xy3=xy2⋅xy3213=x52y7213=x56y76．
18．（12分）（2023·全国·高一课堂例题）在fx=x3−3x2+1在0,1上恰有一个零点．试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值（误差不超过0.001）．
【解题思路】由题意可得f(0)f(1)<0，然后根据二分法的定义计算函数的零点即可
【解答过程】已经知道f0>0，f1<0，这是出发点；然后一次次缩小零点所在区间：
第一次，取0,1]的中点0+12=0.5，用计算器或计算机求出f0.5≈0.38>0，由于f0.5⋅f1<0，可知零点在0.5,1上；
第二次，取0.5,1的中点0.5+12=0.75，求出f0.75≈−0.27<0，由于f0.5⋅f0.75<0，可知零点在0.5,0.75上；
第三次，取0.5,0.75的中点0.5+0.752=0.625，求出f0.625≈0.07>0，由于f0.625⋅f0.75<0，可知零点在0.625,0.75上．
为了表述清楚，记零点所在区间为a,b，其中点m=12a+b．继续计算列出表格：
从表中计算数据看出，计算到第10次，包含零点的区间长度小于0.002．取此区间中点与零点的距离不超过区间长度之半即0.001．于是可取0.653作为零点的近似值．
19．（12分）（2023·全国·高一专题练习）计算
(1)(278)−23−(499)0.5+(0.008)−23×225+(π−1)0
(2)lg23⋅lg34+(lg5)2+lg5lg20+12lg16−2lg23
【解题思路】（1）根据指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.
（2）根据对数的运算法则及性质，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解.
【解答过程】（1）解：由指数幂的运算性质，可得：
(278)−23−(499)0.5+(0.008)−23×225+(π−1)0=32−2−73+15−2×225+1 =49−73+25×225+1=49−73+3=109.
（2）解：由对数的运算法则和运算性质，以及对数的换底公式，可得：
lg23⋅lg34+(lg5)2+lg5lg20+12lg16−2lg23 =lg3lg2⋅lg4lg3+lg5lg5+lg20+12lg24−3=2lg2lg2+lg5⋅lg5×20+2lg2−3
=2+2lg5+2lg2−3=2lg10−1=1．
20．（12分）（2023·全国·高一课堂例题）比较下列各组中两个数的大小：
(1)lg27.6和lg28.7；
(2)lg127.6和lg128.7；
(3)lga7.6和lga8.7（a>0且a≠1）；
(4)lg0.82和20.8．
【解题思路】根据对数函数与指数函数的单调性即可逐一求解.
【解答过程】（1）因为函数y=lg2x在0,+∞上是增函数，且7.6<8.7，所以lg27.6（2）因为函数y=lg12x在0,+∞上是减函数，且7.6<8.7，所以lg127.6>lg128.7．
（3）当a>1时，因为函数y=lgax在0,+∞上是增函数，且7.6<8.7，所以lga7.6当0lga8.7．
（4）因为函数y=lg0.8x在0,+∞上是减函数，所以lg0.82又因为20.8>0，所以lg0.82<20.8．
21．（12分）（2023秋·山东德州·高三校考阶段练习）已知函数fx=lg44x+m2x为偶函数.
(1)解关于x的不等式x2−mx−2>0；
(2)若fx≥lg4a⋅2x−a在区间1,2上恒成立，求a的取值范围.
【解题思路】（1）根据奇偶性求m，然后解不等式可得；
（2）参变分离，将问题转化为函数最值问题，然后利用单调性求函数最值即可.
【解答过程】（1）f−x=lg44−x+m2−x，由于函数fx=lg44x+m2x为偶函数，
所以fx=f−x，
即lg44x+m2x=lg44−x+m2−x，即4x+m2x=4−x+m2−x，
即m−14x−1=0恒成立，∴m=1.
所以不等式为x2−x−2>0，解得：−1（2）由题得lg44x+12x≥lg4a⋅2x−a恒成立，即4x+12x≥a⋅2x−a恒成立，
因为x∈1,2，所以1<2x−1≤3，所以a≤1+2x+12x2x−1恒成立，
令y=gx=1+2x+12x2x−1，令t=2x+13则y=ℎt=1+tt2−3t+2=1+1t+2t−3，
因为y=t+2t−3在3,5单调递增，
所以函数ℎt在3,5上单调递减，故ℎtmin=ℎ5=1712.
∴a≤1712.
∵a⋅2x−a>0对任意的x∈1,2恒成立，且1<2x−1≤3，∴a>0.
∴实数a的取值范围是0,1712.
22．（12分）（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=2x+a2−x奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断fx在−∞,+∞上的单调性并用定义证明；
(3)设Fx=22x+2−2x−2mfx，求Fx在0,1上的最小值．
【解题思路】（1）根据fx是定义域为R的奇函数，由f0=0求解；
（2）利用函数的单调性定义证明；
（3）由Fx=(2x−2−x)2−2m(2x−2−x)+2，令t=2x−2−x，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解.
【解答过程】（1）解：∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f0=1+a=0,
∴a=−1；
经检验符合题意；
（2）f(x)在R上单调递增．证明如下：
∀x1,x2∈R,x1则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=2x1−2x21+12x12x2，
因为x1所以0<2x1<2x2，所以2x1−2x2<0，1+12x12x2>0，
可得f(x1)−f(x2)<0．
即当x1所以f(x)在R上单调递增．
（3）Fx=22x+2−2x−2mfx，
=22x+2−2x−2m2x−2−x，
=(2x−2−x)2−2m(2x−2−x)+2，
令t=2x−2−x，又x∈0，1，则t∈0，32，
所以y=t2−2mt+2=(t−m)2+2−m2，t∈0，32，对称轴为t=m，
则当m≤0时，ymin=2；
当0当m≥32时，ymin=174−3m．
次数
a，+
b，-
m=a+b2
fm的近似值
区间长b−a
1
0
1
0.5
0.38
1
2
0.5
1
0.75
−0.27
0.5
3
0.5
0.75
0.625
0.07
0.25
4
0.625
0.75
0.6875
−0.09
0.125
5
0.625
0.6875
0.65625
−0.009
0.0625
6
0.625
0.65625
0.640625
0.032
0.03125
7
0.640625
0.65625
0.6484375
0.01
0.015625
8
0.6484375
0.65625
0.65234375
0.00095
0.0078125
9
0.65234375
0.65625
0.654296875
−0.004
0.00390625
10
0.65234375
0.654296875
0.6533203125
−0.002
0.001953125