专题2.1 等式性质与不等式性质-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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这是一份专题2.1 等式性质与不等式性质-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含专题21等式性质与不等式性质举一反三人教A版必修第一册原卷版docx、专题21等式性质与不等式性质举一反三人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页，欢迎下载使用。

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\l "_Tc23132" 【题型1 不等关系的建立】 PAGEREF _Tc23132 \h 1
\l "_Tc17094" 【题型2 利用作差法比较大小】 PAGEREF _Tc17094 \h 3
\l "_Tc17959" 【题型3 利用作商法比较大小】 PAGEREF _Tc17959 \h 4
\l "_Tc23636" 【题型4 利用作差法比较大小的应用】 PAGEREF _Tc23636 \h 5
\l "_Tc30284" 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc30284 \h 8
\l "_Tc6810" 【题型6 利用不等式的性质证明不等式】 PAGEREF _Tc6810 \h 10
\l "_Tc32767" 【题型7 利用不等式的性质求取值范围】 PAGEREF _Tc32767 \h 12
【知识点1 不等关系】
1．不等关系的建立
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
【题型1 不等关系的建立】
【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（）
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”
B．某变量y不超过a可表示为“y≤a”
C．某变量x至少为a可表示为“x>a”
D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y”
【解题思路】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案.
【解答过程】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为x≤2000，A错误；
对于B，变量y不超过a可表示为y≤a，B正确；
对于C，变量x至少为a可表示为x≥a，C错误；
对于D，小明身高xcm，小华身高ycm，小明比小华矮表示为x故选：B.
【变式1-1】（2023·高一课时练习）某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩nn∈N∗个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（）
A．n>800B．n>5000C．n<800D．n<5000
【解题思路】根据题设条件可得关于n的不等式，求解后可得正确的选项.
【解答过程】由0.8n+2000<1.2n，得0.4n>2000，即n>5000，
故选：B．
【变式1-2】（2022秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是（）
A．5x+4y<200B．5x+4y≥200
C．5x+4y=200D．5x+4y≤200
【解题思路】根据工资预算以及工人工资列出不等式.
【解答过程】依题意，请工人满足的关系式是50x+40y≤2000，
即5x+4y≤200.
故选：D.
【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（）
A．4×x0.5<100B．4×x0.5≥100C．4×x0.5≤100D．4×x0.5>100
【解题思路】计算出导火索燃烧的时间也即人跑到100米外安全区至少需要的时间，列出不等关系，即可求得答案.
【解答过程】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为x0.5秒，
人在此时间内跑的路程为4×x0.5米，由题意可得4×x0.5≥100．
故选：B．
【知识点2 比较大小】
1．两个实数大小的比较
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
【题型2 利用作差法比较大小】
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M＝a+b，N＝a+b，则M与N的大小关系为（）
A．M>NB．M【解题思路】平方后作差比较大小即可.
【解答过程】M2−N2=a+b−a+b+2ab=−2ab<0，
∴M故选：B.
【变式2-1】（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知x=−a2−2a+3,y=4−3a，则（）
A．xC．x>yD．x与y的大小无法判断
【解题思路】根据作差法比较大小即可.
【解答过程】因为x=−a2−2a+3,y=4−3a，
所以x−y=−a2+a−1=−a−122−34<0，故x故选：A.
【变式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知0A．x2>1x>xB．1x>x2>xC．x>1x>x2D．1x>x>x2
【解题思路】利用作差法判断即可.
【解答过程】因为00，所以1x−x=1−x2x=1−x1+xx>0，所以1x>x，
又x−x2=x1−x>0，所以x>x2，
所以1x>x>x2.
故选：D.
【变式2-3】（2023·江苏·高一假期作业）已知a，b，c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3，Q=2(a+b+c)，那么P与Q的大小关系是（）
A．P>QB．P≥Q
C．P【解题思路】利用作差法判断即可.
【解答过程】因为P=a2+b2+c2+3，Q=2(a+b+c)
所以P−Q=a2+b2+c2+3−2(a+b+c)=(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2≥0，
当且仅当a=b=c=1时取等号,
∵a，b，c为不全相等的实数，因此等号不成立，即P−Q>0，
∴P>Q．
故选：A.
【题型3 利用作商法比较大小】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c−1，则x，y之间的大小关系是（）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【解题思路】应用作商法比较xy,1的大小关系即可.
【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又xy=c+1−cc−c−1=c+c−1c+1+c<1，
∴x＜y.
故选：C.
【变式3-1】（2022秋·山东泰安·高一校考期中）设p=a2+a+1−1，q=a2−a+1，则（）．
A．p>qB．p【解题思路】首先配方判断p、q均大于零，然后作商即可比较大小.
【解答过程】p=a2+a+1−1=1a2+a+1=1a+122+34>0，
q=a2−a+1=a−122+34>0，
则qp=a2−a+1a2+a+1−1=a2−a+1a2+a+1
=a2+12−a2=a22+a2+1≥1.
故p≤q，当且仅当a=0时，取等号，
故选：D.
【变式3-2】（2023·江苏·高一假期作业）若0【解题思路】利用作商法以及不等式的性质求解即可.
【解答过程】因为01，0因为xx=x<1，x2x=x<1，所以x即x2故答案为：x2.
【变式3-3】（2021·全国·高一专题练习）P=a2+a+1,Q=1a2−a+1,(a∈R)，则P,Q的大小关系为 ≥ ．
【解题思路】用作商法比较P,Q的大小关系，化简即可得结果.
【解答过程】因为P=a2+a+1=a+122+34>0，a2−a+1=a−122+34>0 则Q>0
由PQ=a2+a+1a2−a+1=a2+12−a2=a4+a2+1≥1
所以P≥Q，
故答案为：≥.
【题型4 利用作差法比较大小的应用】
【例4】（2023·高一课时练习）某单位计划组织员工参观花博会需租车前往．甲租车公司：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司．
【解题思路】设该单位员工有n人(n∈N∗)，全票价为x元，再用x及n表示出选甲、乙车需花的总费用，然后作差比较即可得解.
【解答过程】设该单位员工有n人(n∈N∗)，全票价为xx>0元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1=x+34x⋅n−1=14x+34xn，y2=45nx，
因为y1−y2=14x+34xn−45nx=14x−120nx=14x1−n5，
因为x>0，
所以当n=5时，y1=y2；当n>5时，y1y2．
因此，当单位去参观的人数为5人时，两家租车公司收费相同；多于5人时，选甲租车公司更优惠；少于5人时，选乙租车公司更优惠．
【变式4-1】（2022·上海·高二专题练习）有甲、乙两位股民，分两次同时以a，b两种不同价格（单位：元/股）买入同一种股票；甲的买入方式为：每次买入10000元的股票：乙的买入方式为：每次买入股票2000股；请根据两人所买股票的平均每股价格，判断哪一位的买入方式比较合算？
【解题思路】根据平均价格的计算公式，分别计算出甲和乙所买股票的平均每股价格，再用作差法进行比较即可求得答案.
【解答过程】甲所买股票的平均每股价格：x1=2000010000a+10000b=2aba+b，
乙所买股票的平均每股价格：x2=2000a+2000b4000=a+b2，
作差得，a+b2−2aba+b=(a+b)2−4ab2(a+b)=(a−b)22(a+b)>0(a≠b)，
即x2>x1，故甲买入的方式比较合算.
【变式4-2】（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2，bm2．
(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m2，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；
(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm2，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由．
【解题思路】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2，则ab≥10%a+b=220，化简得a≥20即得解；
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积，再比较a+nb+n和ab的大小即得解.
【解答过程】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2，则ab≥10%a+b=220，
所以b≤a10%=10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20.
所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：00，
则a+nb+n−ab=ab+bn−ab−anbb+n=nb−abb+n.
因为b>0,n>0，所以b(b+n)>0.
又因为a0.
因此a+nb+n−ab>0，即a+nb+n>ab.
所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.
【变式4-3】（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？
(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；
(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；
(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.
【解题思路】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证.
【解答过程】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克糖，即证明不等式a+mb+m>ab (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立．
不妨用作差比较法，证明如下：
a+mb+m−ab= ba+m−ab+mbb+m＝mb−abb+m.
∵a，b，m为正实数，且a0,b−a>0，
∴mb−abb+m>0，即a+mb+m>ab.
（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为cd，且aba>0,d>c>0).
证明：∵ab∴ad0，
ab−a+cb+d=ab+ad−ab−bcbb+d=ad−bcbb+d<0，
即abcd−a+cb+d=cb+cd−ad−cddb+d=cb−addb+d>0，
即a+cb+d（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克水，求证：ab>ab+m (其中b＞a＞0，m＞0).
证明：ab−ab+m=ab+am−abbb+m=ambb+m>0，
∴ab>ab+m.
【知识点3 等式性质与不等式性质】
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．不等式的性质
(1)如果a>b，那么bb.即a>b⇔b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【题型5 利用不等式的性质判断正误】
【例5】（2023春·福建·高二统考学业考试）已知a<2，则下列不等式正确的是（）
A．a+c<2+cB．a2【解题思路】由不等式的性质可判断A；由特值法可判断BCD.
【解答过程】对于A，a<2，由不等式的性质可得a+c<2+c，故A正确；
对于B，a<2，取a=1,c=12，所以a2>c2，故B不正确；
对于C，a<2，若c=0，则ac=2c，故C不正确；
对于D，a<2，取a=1>0，故D不正确.
故选：A.
【变式5-1】（2023春·上海宝山·高一统考期末）如果aA．a2>abB．a2【解题思路】利用不等式的性质，逐项判断作答.
【解答过程】由aab>0，A正确；
由a−b>0，则a2>b2，B错误；
由a1，C错误；
由a故选：A.
【变式5-2】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，则a|a|>b|b|
D．若a>b>c>0，则ba−b【解题思路】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分a>b>0,a>0>b,0>a>b三种情况讨论即可判断大小.
【解答过程】A选项，ac2−bc2=a−bc2≥0，故A错误；
B选项，a2−b2=a−ba+b，因不清楚a+b的正负情况，故B错误；
C选项，当a>b>0时，a|a|−b|b|=a2−b2=a−ba+b>0；
当a>0>b时，a|a|−b|b|=a2+b2>0，
当0>a>b时，a|a|−b|b|=−a2+b2=b−aa+b>0，
综上a|a|>b|b|，故C正确；
D选项，ba−b−ca−c=ab−ca−ba−c>0，故D错误.
故选：C.
【变式5-3】（2023秋·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（）
A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，cbd
C．若a>b，c>d，则a−c>b−dD．若ab>0，a>b，则1a<1b
【解题思路】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D.
【解答过程】A选项，当c=0时，ac2=bc2，故A错误；
B选项，当a=1，b=0，c=−2，d=−1时，ac=−12,bd=0，acC选项，当a=1，b=0，c=1，d=0时，a−c=b−d，故C错误；
D选项，若ab>0，a>b，则1a−1b=b−aab<0，即1a<1b，故D正确．
故选：D.
【题型6 利用不等式的性质证明不等式】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知a>b，e>f，c>0，求证f−ac(2)已知a>b>0,c【解题思路】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【解答过程】（1）证明：∵a>b，c>0，
∴ac>bc，∴−ac<−bc，
又因为e>f，即f所以f−ac（2）证明：∵c−1c>0；
又a>b>0，∴−ad>−bc，∴ad∴3ad<3bc.
【变式6-1】（2023·全国·高一假期作业）（1）已知a（2）证明：a−a−2【解题思路】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明a+a−3 < a−1+a−2，对不等式两边同时平方后只需证明aa−3 < a−1a−2，再平方即可证明.
【解答过程】证明：（1）由a所以a<0，且a−c所以(a−c)(b−c)>0，所以a−ca−cb−c< b−ca−cb−c，
即1b−c < 1a−c；所以ab−c > aa−c，即aa−c < ab−c．
（2）要证a−a−2只需证a+ a−3 < a−1+ a−2，
即证a+(a−3)+2a(a−3)<(a−1)+(a−2)+2(a−1)(a−2)；
即证aa−3 < a−1a−2，
即证a(a−3)<(a−1)(a−2)；即证0<2，显然成立；
所以a−a−2【变式6-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)bc−ad≥0，bd＞0，求证：a+bb≤c+dd；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：ba−b>ba−c>ca−c．
【解题思路】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；
（2）先用作差法证明ba−b>ba−c，然后根据不等式的性质证明ba−c>ca−c即可得到.
【解答过程】（1）证明：a+bb−c+dd=a+bd−bc+dbd=ad−bcbd，
因为，bc−ad≥0，所以，ad−bc≤0，
又bd＞0，所以，ad−bcbd≤0，
即a+bb≤c+dd.
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，−b<−c，00，
则，ba−b−ba−c=ba−c−ba−ba−ca−b=bb−ca−ca−b>0，
即有，ba−b>ba−c成立；
因为，a−c>0，所以，1a−c>0，
又b>c，所以，ba−c>ca−c成立.
所以，有ba−b>ba−c>ca−c.
【变式6-3】（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若a0；
(2)若a<0，−1【解题思路】（1）可知a−b>0，而c<0，即可得证；
（2）可知1>b2>0>b>−1，而a<0，即可得证；
【解答过程】（1）证明： ∵a>b，
∴a−b>0，
又c<0，
∴(a−b)c<0；
（2）证明：∵−1∴1>b2>0>b>−1，
又a<0，
∴a【题型7 利用不等式的性质求取值范围】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知－1【解题思路】由不等式的基本性质求解即可.
【解答过程】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），
则m+n=3m−n=2，所以m=52n=12，即3x+2y=52x+y+12x−y.
又∵－1∴−32<52x+y+12x−y<232，即−32<3x+2y<232，
∴3x＋2y的取值范围为−32,232.
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y满足−1≤x+y≤1，1≤x+2y≤3，则x+3y的取值范围是？
【解题思路】根据题意以x+y,x+2y整体，结合不等式的性质分析运算.
【解答过程】设x+3y=m(x+y)+n(x+2y)=m+nx+m+2ny，
由题意可得m+n=1m+2n=3，解得m=−1n=2，
所以x+3y=−(x+y)+2(x+2y)，
由−1≤x+y≤11≤x+2y≤3，可得−1≤−(x+y)≤12≤2(x+2y)≤6，
所以1≤−(x+y)+2(x+2y)≤7，即1≤x+3y≤7，
故x+3y的取值范围是1,7.
【变式7-2】（2023·全国·高一假期作业）实数a、b满足−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4.
(1)求实数a、b的取值范围；
(2)求3a−2b的取值范围．
【解题思路】（1）由a=12a+b+a−b，b=12a+b−a−b根据不等式的性质计算可得；
（2）求出3a−2b=12(a+b)+52(a−b)，再利用不等式的性质得解.
【解答过程】（1）解：由−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4，
则a=12a+b+a−b，所以−4≤a+b+a−b≤6，所以−2≤12a+b+a−b≤3，即−2≤a≤3，
即实数a的取值范围为−2,3．
因为b=12a+b−a−b，
由−1≤a−b≤4，
所以−4≤b−a≤1，所以−7≤a+b−a−b≤3，
所以−72≤12a+b−a−b≤32，
∴−72≤b≤32，
即实数b的取值范围为−72,32．
（2）解：设3a−2b=ma+b+na−b=m+na+m−nb，
则m+n=3m−n=−2，解得m=12n=52，
∴3a−2b=12(a+b)+52(a−b)，
∵−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4．
∴−32≤12(a+b)≤1，−52≤52(a−b)≤10，
∴−4≤3a−2b≤11，
即3a−2b的取值范围为−4,11．
【变式7-3】（2023·高一课时练习）已知实数x,y分别满足，1（1）分别求2x+3y与4x−5y的取值范围；
（2）若x【解题思路】（1）根据不等式的性质即可求出2x+3y与4x−5y的取值范围；
（2）根据不等式的性质结合x【解答过程】（1）∵1∴2<2x<10,6<3y<21,4<4x<20,−35<−5y<−10,
∴8<2x+3y<31, −31<4x−5y<10.
（2）由条件则−6又因为x从而可得−6由2⇒17又因为x从而⇒17