专题4.1 指数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

这是一份专题4.1 指数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含专题41指数举一反三人教A版必修第一册原卷版docx、专题41指数举一反三人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19504" 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 PAGEREF _Tc19504 \h 2
\l "_Tc26352" 【题型2 指数式的化简】 PAGEREF _Tc26352 \h 3
\l "_Tc17241" 【题型3 根据指数式求参】 PAGEREF _Tc17241 \h 3
\l "_Tc9166" 【题型4 指数式的给条件求值问题】 PAGEREF _Tc9166 \h 4
\l "_Tc28242" 【题型5 指数幂等式及幂的方程问题】 PAGEREF _Tc28242 \h 4
\l "_Tc9290" 【题型6 指数幂等式的证明】 PAGEREF _Tc9290 \h 4
【知识点1 根式与分数指数幂】
1．根式
(1)n次方根的定义与性质
(2)根式的定义与性质
2．分数指数幂
注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.
【题型1 根式与分数指数幂的互化】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A．−x=(−x)12(x≠0)B．x−13=3x(x≠0)
C．(xy)−34=4(yx)3(xy>0)D．6y2=y13
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）化简−a3a的结果为（ ）
A．−a25B．−a56C．(−a)56D．−(−a)56
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．−x=(−x)12B．6y2=y13(y<0)
C．x−13=13x(x>0)D．
【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（ ）
A．3a·−a=−a56B．x24=x
C．(3b32) 32=b3D．(a−b) −52=(a−b)−5
【知识点2 指数幂的运算】
1．有理数指数幂的运算
(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：
①(a>0,r,s∈Q)；
②(a>0,r,s∈Q)；
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(2)指数幂的几个常用结论：
①当a>0时，>0；
②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；
③若(a>0,且a≠1)，则r=s；
④乘法公式仍适用于分数指数幂.
2．无理数指数幂及实数指数幂
(1)无理数指数幂
一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x
的取值范围从整数逐步拓展到了实数.
(2)实数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.
【题型2 指数式的化简】
【例2】（2023·全国·高一假期作业）1120−1−0.5−2÷32782的值为（ ）
A．−13B．13C．43D．73
【变式2-1】（2023秋·高一课时练习）化简a3b23ab2a14b124⋅3ba (a>0，b>0)的结果是（ ）
A．baB．abC．a2bD．b2a
【变式2-2】（2023春·江西·高一校考期末）计算2−12+(−4)02+12−1−(1−5)0，结果是（ ）
A．1B．22C．2D．2−12
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）916−0.5+(2−π)2+2323×2314×2334=（ ）
A．πB．2+πC．4−πD．6−π
【题型3 根据指数式求参】
【例3】（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知m10=2，则m=（ ）
A．210B．±210C．102D．±102
【变式3-1】（2022秋·高一单元测试）若正数x，y满足x3=8，y4=81，则x+y=（ ）
A．1B．3C．5D．7
【变式3-2】（2022秋·高一单元测试）若6a2−4a+4=32−a，则实数a的取值范围是（ ）
A．a∈RB．a=2C．a>2D．a≤2
【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）已知实数a,b满足(a+a2+1)(b+b2+1)=1，则a+b=（ ）
A．−1B．1C．±1D．0
【题型4 指数式的给条件求值问题】
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知m12+m−12=4，则m32−m−32m12−m−12的值是（ ）
A．15B．12C．16D．25
【变式4-1】（2023·江苏·高一假期作业）若a2n=3，a>0，则a3n+a−3nan+a−n的值为（ ）
A．53B．2C．73D．4114
【变式4-2】（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知a12+a−12=3，则a2+a−2=（ ）
A．7B．9C．47D．49
【变式4-3】（2023秋·河南郑州·高一校考期末）已知a+a−1=3，下列各式中正确的个数是（ ）
①a2+a−2=7；②a3+a−3=18；③a12+a−12=±5；④aa+1aa=25；
A．1B．2C．3D．4
【题型5 指数幂等式及幂的方程问题】
【例5】（2022·全国·高一专题练习）方程4x−1=116的解为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣1D．1
【变式5-1】（2022·全国·高一专题练习）方程5x−1⋅103x=8x的解集是（ ）
A．1,4B．14C．1,14D．4,14
【变式5-2】（2022·全国·高一专题练习）方程3x−1=19的解是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．2D．1
【变式5-3】（2023·上海·高一专题练习）方程3x+2−32−x=80的解为（ ）．
A．x=2B．12C．1D．3
【题型6 指数幂等式的证明】
【例6】（2022·全国·高一专题练习）已知a>0且a≠1，2am=a,3am=2a，求证：32mn=2n．
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）已知6|m|3k2+2−m22+3k2=62，求证：3k2+2＝2m2．
【变式6-2】（2022·全国·高一专题练习）设x2+3x4y2+y2+3x2y4=a，且x，y，a均为正数，求证：x23+y23=a23.
【变式6-3】（2022·全国·高一专题练习）已知ax3=by3=cz3，且1x+1y+1z=1，求证：ax2+by2+cz213=a13+b13+c13.定义
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*
性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示；
(2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为；
(3)负数没有偶次方根；
(4)0的任何次方根都是0，记作
定义
式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
性质
，
整数指数幂
指数
幂中
的指
数从
整数
拓展
到了
有理
数
分数指数幂
正整数指数幂：
正数的正分数指数幂：
负整数指数幂：
正数的负分数指数幂：
规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1
规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义
整数指数幂
的运算性质
底数、指数
的取值范围
实数指数幂
的运算性质
底数、指数
的取值范围
m,n∈Z,a∈R
r,s∈R,且a>0
m,n∈Z,a∈R
r,s∈R,且a>0
n∈Z,a∈R,b∈R
r∈R,且a>0,b>0