专题2.2 基本不等式-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

这是一份专题2.2 基本不等式-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册），文件包含专题22基本不等式举一反三人教A版必修第一册原卷版docx、专题22基本不等式举一反三人教A版必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11558" 【题型1 对基本不等式的理解】 PAGEREF _Tc11558 \h 1
\l "_Tc745" 【题型2 由基本不等式比较大小】 PAGEREF _Tc745 \h 3
\l "_Tc207" 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 PAGEREF _Tc207 \h 4
\l "_Tc3451" 【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】 PAGEREF _Tc3451 \h 6
\l "_Tc2187" 【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】 PAGEREF _Tc2187 \h 7
\l "_Tc22422" 【题型6 基本不等式的恒成立问题】 PAGEREF _Tc22422 \h 9
\l "_Tc32631" 【题型7 基本不等式的有解问题】 PAGEREF _Tc32631 \h 11
\l "_Tc1977" 【题型8 基本不等式的实际应用】 PAGEREF _Tc1977 \h 13
【知识点1 两个不等式】
1. 两个不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq \r(ab)≠eq \f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq \r(ab)【题型1 对基本不等式的理解】
【例1】（2023·全国·高一假期作业）不等式（x-2y）+1x−2y≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x<2y
【解题思路】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解.
【解答过程】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式x−2y+1x−2y≥2成立的前提条件为x−2y>0，即x>2y.
故选：B.
【变式1-1】（2023·全国·高一假期作业）不等式a2+4a2≥4中，等号成立的条件是（ ）
A．a=4B．a=2C．a=−2D．a=±2
【解题思路】利用基本不等式的取等条件即可求解.
【解答过程】由基本不等式可知a2+4a2≥2a2⋅4a2=4，当且仅当a2=4a2，
即a=±2时等号成立，
故选：D.
【变式1-2】（2022秋·河南焦作·高一校考阶段练习）给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.其中能使ab+ba≥2成立的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据基本不等式可知，当ab+ba≥2成立时，则ab>0，可知a、b同号，据此可得出结论.
【解答过程】由基本不等式可知，要使得ab+ba≥2成立，则ab>0，所以，a、b同号，所以①③④均可以.
故选：C.
【变式1-3】（2023·全国·校联考三模）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式不正确的是（ ）
A．ab≤14B．a2+b2≥12
C．1a+1b+1>2D．a+b≤1
【解题思路】根据基本不等式逐项判断ABD，消元，化简，结合不等式性质判断C.
【解答过程】因为a>0，b>0，且a+b=1，
由基本不等式可得ab≤a+b22=14（当且仅当a=b时取等号），A正确；
由基本不等式知a+b2≤a2+b22，则12≤a2+b22，
即a2+b2≥12（当且仅当a=b时取等号），B正确；
由题得1a+1b+1=11−b+1b+1=21−b2，
由已知02，
故1a+1b+1>2，C正确；
由基本不等式可得a+b2≤a+b2=12，
即a+b≤2（当且仅当a=b时取等号），D错误.
故选：D.
【题型2 由基本不等式比较大小】
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）已知P＝a2＋4a2(a≠0)，Q＝b2－4b＋7(1＜b≤3)．则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞QB．P＜QC．P≥QD．P≤Q
【解题思路】由基本不等式可得P≥4，通过配方结合1【解答过程】P=a2+4a2≥2a2⋅4a2=4，当且仅当a=±2时等号成立，
Q=b2−4b+7=(b−2)2+3≤4，当b=3时等号成立，
所以P≥Q.
故选：C.
【变式2-1】（2023·全国·高三专题练习）若0A．abC．a【解题思路】根据已知条件利用基本不等式直接得出ab【解答过程】由已知0因为0所以a∴a故选：C.
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，A=a+b2,2H=1a+1b,G=ab，则（ ）
A．G≤H≤AB．H≤G≤A
C．G≤A≤HD．H≤A≤G
【解题思路】利用基本不等式计算出H≤G≤A.
【解答过程】因为a、b为正实数，
所以A=a+b2≥ab=G，当且仅当a=b时，等号成立，
2H=1a+1b≥21a⋅1b=2ab，所以H≤ab，当且仅当a=b时，等号成立，
综上：H≤G≤A.
故选：B.
【变式2-3】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若0A．a2+b2B．2ab
C．2abD．a+b
【解题思路】首先利用均值不等式比较a2+b2与2ab的大小和a+b与2ab的大小，然后结合不等式的性质即可确定四个表达式中最大的一个.
【解答过程】∵ 0∴a2+b2>2ab，a+b>2ab，a>a2，b>b2，
∴a+b>a2+b2.
故选：D.
【题型3 利用基本不等式证明不等式】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：1+1a1+1b≥9.
【解题思路】利用a+b=1把1+1a1+1b化为(2+ba)(2+ab)，展开利用基本不等式求最值即可证明.
【解答过程】因为a>0，b>0，a+b=1，
所以1+1a1+1b=(1+a+ba)(1+a+bb)=(2+ba)(2+ab) =5+2ab+2ba
≥5+22ba×2ab=9，当且仅当2ba=2ab，即a=b=12时等号成立.
故原题得证.
【变式3-1】（2023秋·河南·高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．
(1)若0≤x≤1，则x1−x≤14；
(2)若ab≠0，则ba+ab≥2．
【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；
（2）讨论ab>0和ab<0两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.
【解答过程】（1）证明：因为0≤x≤1，所以0≤x≤1，1−x≥0，
所以x1−x≤x+1−x22=14，
当且仅当x=1−x，即x=14时，等号成立．
（2）证明：因为ab≠0，当ab>0时，ba+ab=ba+ab≥2ba⋅ab=2，
当且仅当a=b≠0时等号成立．
当ab<0时，ba+ab=−ba+−ab≥2−ba−ab=2，
当且仅当a=−b≠0时等号成立．
综上，若ab≠0，则ba+ab≥2成立，当且仅当a2=b2≠0时等号成立．
【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：a+b+c≥ab+bc+ac.
(2)若a+b=1，求证：1+1a1+1b≥9.
【解题思路】（1）利用基本不等式证明即可；
（2）由1+1a1+1b=1+2ab利用基本不等式求最值即可.
【解答过程】（1）因为a，b，c都是正数，所以
a+b+c=12a+b+b+c+a+c≥122ab+2bc+2ac
=ab+bc+ac，当且仅当a=b=c时，等号成立，
所以a+b+c≥ab+bc+ac；
（2）1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab=1+a+bab+1ab=1+2ab≥1+2a+b22=1+214=9，
当且仅当a=b=12时等号成立.
∴1+1a1+1b≥9.
【变式3-3】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，证明.
(1)a2b3+b2a3≤2；
(2)a3+2ba+2+b3+2ab+2≥a+b
【解题思路】（1）首先将不等式左边进行变形，利用公式2=a+b≥2ab，证明不等式；
（2）首先将不等式左边变形为a2+b2，再利用基本不等式证明.
【解答过程】（1）a2b3+b2a3=a2b2a+b=2a2b2，
因为a>0,b>0，2=a+b≥2ab，则0所以a2b3+b2a3≤2；
（2）a3+2ba+2+b3+2ab+2
=a3+2a2−2a2+2ba+2+b3+2b2−2b2+2ab+2
=a2+2b−2a2a+2+b2+2a−2b2b+2
=a2+22−a−2a2a+2+b2+22−b−2b2b+2
=a2+b2−2a−1a+2a+2−2b−1b+2b+2
=a2+b2−2a+b−2=a2+b2
而a2+b2=a+b2−2ab=4−2ab≥4−a+b22=2=a+b，当a=b时等号成立，
所以a3+2ba+2+b3+2ab+2≥a+b.
【知识点2 基本不等式与最值】
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
【题型4 利用基本不等式求最值（无条件）】
【例4】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）设x>0，则函数y=x2+x+25x的最小值为（ ）
A．6B．7C．11D．12
【解题思路】先化简为y=x2+x+25x=x+25x+1，再利用基本不等式即可求解.
【解答过程】∵x>0，∴y=x2+x+25x=x+25x+1≥2x⋅25x+1=11，
当且仅当x=25x，即x=5时，等号成立，
所以函数y=x2+x+25x的最小值为11.
故选：C.
【变式4-1】（2023·全国·高一假期作业）函数y=2x+1x(x>0)的最小值为（ ）
A．2B．22C．3D．4
【解题思路】直接根据基本不等式即可得结果.
【解答过程】因为x>0，所以y=2x+1x≥22x⋅1x=22，
当且仅当2x=1x，即x=22时等号成立，即函数y=2x+1xx>0的最小值为22，
故选：B.
【变式4-2】（2023春·河南信阳·高一统考期末）当x>a时， 2x+8x−a的最小值为10，则a=（ ）
A．1B．2C．22D．4
【解题思路】应用基本不等式求解最小值,再根据最小值求参即可.
【解答过程】当x>a时，
2x+8x−a=2x−a+8x−a+2a≥22x−a×8x−a+2a=8+2a,
即8+2a=10，故a=1.
故选:A.
【变式4-3】（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知0A．12B．1C．2D．2
【解题思路】利用基本不等式可求得x4−x的最大值，进而求解即可.
【解答过程】因为00，
所以x4−x≤x+4−x22=4，
当且仅当x=4−x，即x=2时，等号成立，
所以x4−x≤4=2，
所以x4−x的最大值为2.
故选：D.
【题型5 利用基本不等式求最值（有条件）】
【例5】（2023·重庆沙坪坝·重庆校考模拟预测）已知x>0,y>0,xy+2x−y=10，则x+y的最小值为（ ）
A．22−1B．22C．42D．42−1
【解题思路】用y表示x+y后，根据基本不等式可求出结果.
【解答过程】因为x>0,y>0，
由xy+2x−y=10，得x=y+10y+2，
所以x+y=y+10y+2+y =8y+2+y+2−1 ≥28y+2⋅(y+2)−1=42−1，
当且仅当y=22−2时，等号成立.
故x+y的最小值为42−1.
故选：D.
【变式5-1】（2023春·陕西宝鸡·高一统考期末）已知4a2+b2=6，则ab的最大值为（ ）
A．34B．32C．52D．3
【解题思路】根据基本不等式的变形形式直接求解.
【解答过程】由题意得，6=4a2+b2=2a2+b2≥2⋅2a⋅b，即ab≤32，
当且仅当2a=b，即a=32,b=3或a=−32,b=−3时等号成立，
所以ab的最大值为32.
故选：B.
【变式5-2】（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足a+2b=6，则1a+2+2b+1的最小值为（ ）
A．78B．109
C．910D．89
【解题思路】由a+2b=6，得到a+2+2b+2=10，再利用“1”的代换求解.
【解答过程】解：因为a+2b=6，
所以a+2+2b+2=10，
所以1a+2+2b+1=1101a+2+42b+2a+2+2b+2≥1105+22b+2a+2⋅4a+22b+2=910，
当且仅当2b+2=2a+2，即a=43，b=73时，等号成立．
故选：C.
【变式5-3】（2023·河南安阳·统考三模）已知a>0,b>0，则下列命题错误的是（ ）
A．若ab≤1，则1a+1b≥2
B．若a+b=4，则1a+9b的最小值为4
C．若a2+b2=4，则ab的最大值为2
D．若2a+b=1，则ab的最大值为22
【解题思路】直接使用基本不等式即可判断A，C，D；若a+b=4，则1a+9b=14a+b1a+9b，展开后使用基本不等式即可判断B.
【解答过程】∵0若a+b=4，则1a+9b=14a+b1a+9b=14ba+9ab+10≥142ba×9ab+10=4，
当且仅当a=1,b=3时等号成立，故B正确；
若a2+b2=4，则ab≤a2+b22=2，当且仅当a=b=2时等号成立，故C正确；
若2a+b=1，则1=2a+b≥22ab，即ab≤18，当且仅当a=14,b=12时等号成立，故D错误.
故选：D.
【题型6 基本不等式的恒成立问题】
【例6】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知对∀x∈0,+∞，不等式x>m−1x恒成立，则实数m的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．不存在
【解题思路】将已知转化为对∀x∈0,+∞，不等式m【解答过程】对∀x∈0,+∞，不等式x>m−1x恒成立，可化为x＋1x>m恒成立，
利用基本不等式知x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立
∴x+1xmin=2，即m<2恒成立，即实数m的最大值不存在.
故选：D.
【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知不等式x+y1x+ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解题思路】由x+y1x+ay=1+xay+yx+a，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.
【解答过程】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要x+y1x+ay的最小值大于等于9即可，
∵x>0，y>0，a>0，
∴x+y1x+ay=1+xay+yx+a≥1+a+2a，
当且仅当xay=yx即y=ax时等号成立，∴a+2a+1≥9，
∴a≥2或a≤−4(舍去)，即a≥4
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
【变式6-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）若正实数x,y满足1x+4y=1，且不等式x+y4>m2−3m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−1,4)B．(−∞,−1)∪(4,+∞)C．(−4,1)D．(−∞,0)∪(3,+∞)
【解题思路】由1x+4y=1，可算出x+y4min，再将最小值代入x+y4min>m2−3m，即可求解.
【解答过程】∵不等式x+y4>m2−3m恒成立
∴ x+y4min>m2−3m
∵x>0，y>0，且1x+4y=1
∴x+y4=x+y41x+4y=4xy+y4x+2≥24xy⋅y4x+2=4
当且仅当4xy=y4x，即x=2，y=8时取等号
∴x+y4min=4
∴m2−3m<4，即m+1m−4<0
解得−1故实数m的取值范围是(−1,4)
故选：A.
【变式6-3】（2023春·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知正数a，b满足1a+1b=1，若不等式a+b2+a22+2b2−mab≥0恒成立，则m的最大值为（ ）
A．94B．32C．2D．3+104
【解题思路】结合条件，由a+b2+a22+2b2−mab≥0可得m≤a+b2+a22+2b2a+b，然后由a22+2b2≥a2+b可得答案.
【解答过程】因为1a+1b=1，所以a+b=ab，
所以由a+b2+a22+2b2−mab≥0可得m≤a+b2+a22+2b2ab=a+b2+a22+2b2a+b，
因为b2+a24−ab=a2−b2≥0，所以a22+2b2≥a2+b，
所以a+b2+a22+2b2a+b≥a+b2+a2+ba+b=32，所以m≤32，当且仅当a=3，b=32时取等号，
故选：B．
【题型7 基本不等式的有解问题】
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4A．(−1,4)B．(−4,1)C．(−∞,−4)∪(1,+∞)D．(−∞,−3)∪(0,+∞)
【解题思路】依题意可得4y+1x=1，再利用乘“1”法及基本不等式求出x+y4的最小值，即可得到m2+3m>4，解一元二次不等式即可.
【解答过程】解：因为x>0，y>0且4x+y=xy，所以4y+1x=1，
所以x+y4=x+y4⋅4y+1x=2+4xy+y4x≥2+24xy⋅y4x=4，
当且仅当4xy=y4x，即y=4x=8时等号成立，
所以m2+3m>4，即(m+4)(m−1)>0，解得m<−4或m>1，
所以m的取值范围是(−∞,−4)∪(1,+∞)．
故选：C.
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0,y>0，且2x+1y=1，若2x+yA．（∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1）C．[9，1]D．（1，9）
【解题思路】由2x+y【解答过程】因为x>0,y>0，且2x+1y=1，
所以2x+y=(2x+y)(2x+1y)=5+2xy+2yx≥5+22xy⋅2yx=9，
当且仅当2xy=2yx，即x=y=3时取等号，此时2x+y的最小值为9，
因为2x+y9，即m2−8m−9>0，
解得m<−1或m>9，
故选：A.
【变式7-2】（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考阶段练习）已知正实数x，y满足3x+y+xy−13=0，且t≥2y+x有解，则t的取值范围是 −7+82,+∞ ．
【解题思路】根据已知表示出y=13−3xx+1，若t≥2y+x有解，则t≥2y+xmin，表示出2y+x，然后利用基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.
【解答过程】由题知，因为3x+y+xy−13=0，
所以x+1y=13−3x，y=13−3xx+1，
若t≥2y+x有解，则t≥2y+xmin即可，
因为x，y都是正数，
所以2y+x=26−6xx+1+x=32−6x+1x+1+x
=32x+1+x+1−7≥232x+1⋅x+1−7=82−7，
当且仅当32x+1=x+1，即x=42−1时，等号成立，
故t≥82−7.
故答案为：−7+82,+∞.
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足4x+9y=xy且x+y【解题思路】不等式x+y【解答过程】由已知得：4y+9x=1，
x+y=(x+y)(4y+9x)=4xy+9yx+13≥24xy×9yx+13=25，
当且仅当x=15,y=10时取等号；
由题意：x+ymin即m2−24m>25，
解得：m<−1或m>25，
故答案为：(−∞,−1)∪(25,+∞).
【题型8 基本不等式的实际应用】
【例8】（2023·高一课时练习）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示.已知处理池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建造单价为每平方米80元.（隔墙与池底的厚度忽略不计，且池无盖）试设计处理池的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价；

【解题思路】设污水池的长为x米，总造价为y元，宽为400x米，得到函数y=200×2x+800x+250×800x+80×400求解.
【解答过程】设污水池的长为x米，总造价为y元，则宽为400x米．
y=200×2x+800x+250×800x+80×400=400x+360000x+32000≥56000，
当且仅当400x=360000x，即x=30时等号成立．
所以设计污水池长为30米，宽为403米时，总造价最低为56000元．
【变式8-1】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24 m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？
【解题思路】根据二次函数的性质即可求解.（或者利用均值不等式求解）
【解答过程】由题意所示3x+2y=24 ，∴y=12−32x，
∵x>0，y>0，∴0∴S=2xy=−3x2+24x（0函数的对称轴为x=246=4，
∴当x=4时，面积取得最大值，为−3×16+96=48 ，
（或者：由于0∴矩形面积最大为48平方米．
【变式8-2】（2023春·广东汕头·高一统考期末）已知某公司计划生产一批产品总共t万件（0.5(1)将该批产品的利润y（万元）表示为t的函数；
(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?
【解题思路】（1）根据利润与成本及产量的关系直接列式；
（2）利用基本不等式求最值.
【解答过程】（1）y=t4+80t−4t−6t1+1t2=80−6t+1t，t∈0.5,1.5；
（2）∵t+1t≥2t⋅1t=2，
∴6t+1t≥12，
∴y≤80−12=68，
当t=1即宣传费用为4万元时，利润最大为68万元．
【变式8-3】（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为240m2，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为12000+500a+1152x+a元(a>0)，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；
（2）根据题意可知5001200x+3x+24000>12000+500a+1152x+a对任意的x>0恒成立，分离参数可得a<3(x+4)21+x对任意的x>0恒成立，分类常数结合基本不等式求出(x+4)21+x的最小值，即可得解.
【解答过程】（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为240m2，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为240x米(x>0)，
设甲工程队报价为y元，
所以y=240x×5×250×2+150×5x×2+24000=5001200x+3x+24000，
因为y≥1500×2400x⋅x+24000=84000，
当且仅当400x=x，即x=20时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知5001200x+3x+24000>12000+500a+1152x+a对任意的x>0恒成立，
即3x2+24x+48>a1+x对任意的x>0恒成立，
所以a<3(x+4)21+x对任意的x>0恒成立，
因为a>0，
(x+4)21+x=(x+1)2+6x+1+91+x=x+1+9x+1+6≥2x+1⋅9x+1+6=12，
当且仅当x+1=9x+1，即x=2时等号成立，
所以0故当0内容
等号成立条件
重要不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R)
当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式
eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0,b>0)
当且仅当“a=b”时取“=”