新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿克苏市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（学生版+教师版）

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1. 习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A. 3cmB. 6cmC. 1.5cmD. cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案．
【详解】解：∵⊙O的半径是3cm，
∴⊙O中最长的弦，即直径的长为6cm，
故选：B
【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆内最长的弦．
3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A. 36B. 9C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，建立方程，再解方程即可．
【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
解得：
故选B
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系，解题的关键是掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，交于点D，，，则的度数为（ ）
A. 20°B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质，掌握旋转的性质是解题的关键．“三角形的外角等于与它不相邻的内角的和”．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在外B. 点P在上C. 点P在内D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【详解】解：的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
，
点P与的位置关系是：点在圆外．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆位置关系．注意若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
6. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图像开口向上B. 函数的最大值为
C. 图像的对称轴为直线D. 图像与轴的交点坐标为
【答案】B
【解析】
【分析】将二次函数解析式化为顶点式图像开口方向、对称轴和最大值，再将代入函数解析式可判定图像与轴的交点坐标．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
将代入得，
∴抛物线与y轴交点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，将二函数解析式化成顶点式是解答本题的关键．
7. 如图，是的外接圆的直径，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理推论：直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．
【详解】解：是的外接圆的直径，
点，，，在上，
，
，
是的外接圆的直径，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到，是解题的关键．
8. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程的两根分别为a，b，
∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
9. 某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每星期可卖出件，且经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖出件，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当店主把该商品每件售价降低元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润每件的销售利润每星期的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当店主把该商品每件售价降低元时，每件销售利润为元，
根据题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10. 若点关于原点的对称点，那么________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数，可得m、n的值，即可解答．
【详解】∵点关于原点的对称点是
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
11. 已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为________．
【答案】
【解析】
【分析】由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点y值越大，进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∴点关于直线的对称点是，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象得性质，根据二次函数图象作答．
12. 如图，四边形为的内接四边形，若，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆内接四边形性质：对角互补，结合，直接求出即可得到答案．
【详解】解：四边形为的内接四边形，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆中求角度问题，熟练掌握圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补是解决问题的关键．
13. 已知：关于x的方程．若方程有一个根为3，则__________．
【答案】或
【解析】
【分析】把代入方程得，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得：或，
即m的值为或．
故答案为或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14. 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了场，参加比赛的队伍共有______支．
【答案】10
【解析】
【分析】设有x支队伍，根据题意，得，解方程即可．
【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得 ，
解方程，得 ， （舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
15. 如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点．若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④若为任意实数，则，正确的是________．

【答案】②③④
【解析】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可得，，的符号及与的关系，从而判断①，由及对称轴可得点坐标，从而判断②③，由时取最小值可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
∵抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误．
设抛物线对称轴与轴交点为，则，

，
，即点坐标为，
时，，
，②正确．
抛物线对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，③正确．
时取最小值，
，即，④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、简答题（本大题共8小题，共90分）
16. 解方程：
（1）；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用因式分解法解方程即可；
(2)利用公式法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
或，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握因式分解法、公式法解一元二次方程．
17. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；
（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，
此方程根的判别式，
解得．
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得或，
由（1）已得：，
则的值为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）将绕原点O逆时针旋转得，其中A，B，C分别和，，对应，作出；
（2）作出关于点O成中心对称的，并写出三个顶点的坐标；
（3）请求出的面积．
【答案】（1）作图见详解；
（2）作图见详解； （3）
【解析】
【分析】（1）分别找点，，绕着原点O逆时针旋转所对应的点，，，在将点，，连接起来即可；
（2）分别找点，，关于点O成中心对称的对应的点，，，在将点，，，连接起来即可；
（3）根据勾股定理求出，再根据求弧形的长度公式求出点A经过经过的路径长．
【小问1详解】
解：绕原点O逆时针旋转得，图象如下所示：
；
【小问2详解】
解：关于点O成中心对称的，的图象如下所示：
；
【小问3详解】
解：如图，作出点D，E，F，
则正方形面积为，
，
，
，
则，
，
的面积为．
【点睛】本题考查绕原点旋转的点的坐标，作中心对称图形，求三角的面积，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
19. 如图，的直径垂直于弦，垂足是，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】证明是等腰直角三角形，求出，再利用垂径定理解决问题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵圆O的直径垂直于弦，
∴，
∴中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OCE是等腰直角三角形．
20. 如图，在中，，其中点的对应点是，连接，求旋转角的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．由旋转的性质可得，再根据平行线的性质，得，利用三角形内角和定理求出，即可解决问题．
【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是，
，，
，
，
，
，
，
，
旋转角的度数是．
21. 已知：二次函数．
（1）将化成的形式；
（2）求出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值；
（3）当x为何值时，y随x增大而减小，当时，求y的取值范围．
【答案】（1）
（2）对称轴为直线，顶点坐标为，最小值为
（3），
【解析】
【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式；
（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最大或最小值；
（3）以对称轴为界叙述其增减性即可；分别令和2求得函数值后即可确定y的取值范围．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
由（1）知，该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线开口朝上，有最小值，最小值为．
【小问3详解】
当时 y随x的增大而减小．
∵当时，，
当时，，
∴当时，．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，顶点坐标的求法，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
22. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园(如图)(墙长)，另外三面用的篱笆围成．设矩形的边，面积为．
（1）写出与之间的函数表达式，并写出的取值范围；
（2）当为多少米时，生态园的面积最大？最大值是多少？
【答案】22.
23. 当为米时，生态园的面积最大，最大值是
【解析】
【分析】（1）本题考查了二次函数的应用，根据矩形的面积列出函数关系式，根据已知条件列出不等式组，求得的取值范围；
（2）根据二次函数的性质，求得最值，即可求解．
【小问1详解】
解：设矩形的边，则，面积为．
∴,
∵
解得：,
∴;
【小问2详解】
解：∵,
∵,
∴当时，有最大值为,
即当为米时，生态园的面积最大，最大值是．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点，与y轴正半轴交于点．

（1）求的值．
（2）若点在该抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②若直线一定经过点D，请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）将代入计算出，将代入得：，即可求解；
（2）①将代入中得，，联立即可求解；②先确定，先判断出四边形是平行四边形，再利用勾股定理求出即可判断．
【小问1详解】
解：将代入得：，
将代入得：，
，
，
；
【小问2详解】
解：①将代入中得，
，
联立，
得：，
解得：，
将代入中，得
，
解得：，
②
，
，，
轴，
，
四边形为平行四边形，
，
，
为菱形．
【点睛】本题考查了求解二次函，一次函数图象和性质，二次函数图象与坐标轴交点问题，菱形的判定，解题的关键是求解出解析式．