2022-2023学年福建省厦门第二中学高二上学期第二次阶段考试（12月）数学试题-普通用卷

这是一份2022-2023学年福建省厦门第二中学高二上学期第二次阶段考试（12月）数学试题-普通用卷，共9页。试卷主要包含了下列说法错误的是，已知直线l1，已知直线l，若直线l1，若曲线C的方程为等内容，欢迎下载使用。

A. 设a,b是两个空间向量，则a,b一定共面
B. 设a,b是两个空间向量，则a⋅b=b⋅a
C. 设a,b,c是三个空间向量，则a,b,c一定不共面
D. 设a,b,c是三个空间向量，则a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
2.过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为3，则AB等于 ( )
A. 10B. 8C. 6D. 4
3.已知直线l1:ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则实数a的值是
( )
A. a=1B. a=−2C. a=1或a=−2D. 不存在
4.已知a=(2,−1,3),b=(−1,4,−2),c=(4,5,λ)，如a,b,c三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数λ为( )
A. 0B. 9C. 5D. 3
5.已知直线l:x+ay−1=0(a∈R)是圆C:x2+y2−6x−2y+1=0的对称轴，过点P(−4,a)作圆C的一条切线，切点为A，则PA=( )
A. 2B. ±4 3C. 2 10D. 7
6.已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为 ( )
A. 4−2 3B. 3−1C. 3−12D. 3+1
7.在平面直角坐标系Oxy中，A为直线l:y=2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB⋅CD=0，则点A的横坐标为( )
A. 3B. −1C. 3或−1D. 2
8.已知△ABC的顶点A(5,5)，AB边上的中线所在直线方程为x−5y+6=0，AC边上的高所在直线方程为3x+2y−7=0，则BC所在直线的方程为 ( )
A. x+2y−1=0B. x+2y+1=0C. x−2y+3=0D. x−2y−5=0
9.若直线l1:3x+y=4,l2:x−y=0,l3:2x−3my=4不能构成三角形，则m的取值集合是( )
A. 23B. −23C. 29D. −29
10.若曲线C的方程为：x2k−3+y25−k=1，则( )
A. C可能为圆
B. 若3C. 若C为焦点在x轴上的椭圆，则k越大，离心率越大
D. 若C为焦点在y轴上的椭圆，则k越大，离心率越大
11.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(Cℎumeng)是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中△BCF是正三角形，且AB=3EF=3，AD=ED=2EF，则以下结论正确的是( )
A. AB//EFB. 直线AB与直线FC所成的夹角为60∘
C. EF到底面的距离为 3D. 五面体ABCDEF的体积为73 2
12.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)，斜率为k的直线l经过圆O内与O点不重合的一个定点P，且与圆O相交于A、B两点，下列选项中正确的是( )
A. 若r为定值，则存在k，使得OP⊥AB
B. 若k为定值，则存在r，使得OP⊥AB
C. 若r为定值，则存在k，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为k
D. 若k为定值，则存在r，使得圆O上恰有三个点到l的距离均为r2
13.已知空间向量a=(1,0,2),b=(−2,1,3)，则a−2b=__________.
14.假设某银行的活期存款年利率为0.35%，某人存入10万元后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动转存.如果不考虑利息税及利率的变化，用an表示第n年到期时的存款余额，则an=______________.
15.已知A(0,2,3),B(−2,1,6),C(x,−1,5)，若AC= 14，则AB在AC上的投影向量可以是_________(只需写出一个符合题意的答案).
16.在空间四边形OABC中，M为OA中点，N为BC的中点，若OG=13OA+x3OB+x3OC，则使G、M、N三点共线的x的值是_________.
17.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，
(1)当AB=8时，求直线l的方程；
(2)求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切.
18.已知直线l1:2x+y−2=0,l2:x+y+3=0，直线l被l1和l2所截得的线段中点为原点.
(1)求直线l的方程；
(2)若圆M经过点(−6,0)以及直线l1与坐标轴的两个交点，求圆M的方程.
19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AD=CD=2AB=2，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E、F分别是CD和PC的中点.
(1)求证：平面BEF⊥平面PCD；
(2)求棱PA的长，使得点B到直线PD的距离为7 1313.
20.已知椭圆C:x2a2+y25=1(a> 5)，F1、F2分别为其左右焦点，过点F1且倾斜角为60∘的直线与椭圆C交于M、N两点，其中M点在x轴上方.
(1)若a=5，求弦长MN；
(2)若△MF1F2的面积为5 32，求椭圆C的方程.
21.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2,AA1=3,VA1−ABC=2，P是矩形CBB1C1对角线的交点，Q为上底面A1B1C1的重心，M为AB中点.
(1)求证：PQ//平面A1CM；
(2)求平面A1CQ与A1CM平面夹角的余弦值.
22.已知圆E:(x+1)2+y2=16,F(1,0)，圆上有一动点P，线段PF的中垂线与线段PE交于点Q，记点Q的轨迹为C.第一象限有一点M在曲线C上，满足MF⊥x轴，一条动直线与曲线C交于A、B两点，且直线MA与直线MB的斜率乘积为−94.
(1)求曲线C的方程；
(2)当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，求直线AB的方程.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】B
【解析】略
3.【答案】C
【解析】略
4.【答案】C
【解析】略
5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】A
【解析】略
8.【答案】A
【解析】略
9.【答案】ABD
【解析】略
10.【答案】AC
【解析】【分析1】解：k=4时，C为圆，A正确;3若C为焦点在x轴上的椭圆，则4若C为焦点在y轴上的椭圆，则3【分析2】解：k=4时，C为圆，A正确;若C为椭圆，则3若C为焦点在x轴上的椭圆，则4椭圆会变扁，离心率变大，C正确;
若C为焦点在y轴上的椭圆，则3椭圆会变圆，离心率变小，D错误;故选AC.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】解：易知AB//CD，∴AB//面EFCD，面ABFE∩面EFCD=EF，
∴AB//EF，A正确;过点F做FG//ED，FG=FB=2，BC=GC=2，BG=2 2，
∴ΔFCG为正三角形，B正确;
过E，F做EH⊥AB，EI⊥CD，FM⊥AB，FN⊥CD，EK⊥HI，
则EH=EI=FN=FM= 3，HI=2，∴EK= 2， C错误;VEHI−FMN= 2，VF−MNCB=2 23，所以五面体ABCDEF的体积为73 2，D正确;故选ABD.
12.【答案】AC
【解析】【分析】解：P为弦AB中点时，OP⊥AB，A正确，B错误;
与l距离为非零定值的所有点的轨迹是与l平行的两条平行线，
若r为定值，当k趋向于0时，两条平行线与l的距离趋向于0，都与圆相交，
当k趋向于无穷大时，两条平行线与l的距离趋向于无穷大，都与圆相离.
由于P点在圆内且与O点不重合，前面两个极限状态之间必然存在一条平行线与圆相交而另一条平
行线与圆相切的情况，此时圆O上恰有三个点到l的距离均为|k|，符合题意，C正确;
若k为定值，当圆O上恰有三个点到l的距离均为r2时，l的两条平行线中一条与圆相切，一条与圆
相交.设原点O与l的距离为d，直线OP与l的夹角为θ，
13.【答案】(5,−2,−4)
【解析】略
14.【答案】10(1+0.35%)n,n∈N∗
【解析】略
15.【答案】(12,−32,1)(或 (−1114,−3314,117))
【解析】【分析】解：|AC|= x2+32+22= 14，∴x=±1，
当x=1时，AB=(−2,−1,3)，AC=(1,−3,2)，AB⋅AC|AC|2AC=−2+3+61+9+4×(1,−3,2)=(12,−32,1)
同理，x=−1时，AC=(−1,−3,2)，AB⋅AC|AC|2AC=2+3+61+9+4×(−1,−3,2)=(−1114,−3314,117).
16.【答案】12
【解析】【分析】解：由题意可知，OA=2OM，ON=12OB+12OC，∴OG=23OM+2x3ON，
∵G，N，M三点共线，∴23+2x3=1，∴x=12.
17.【答案】解：(1)解法1：由题意，可得F(1,0)，lAB:y=k(x−1)，y2=4xy=k(x−1)⇒k2x2−(2k2+4)x+k2=0
则x1+x2=−−(2k2+4)k2=2k2+4k2，根据抛物线的定义可得AB=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=x1+x2+2=8，x1+x2=6，则2k2+4k2=6，则k=±1.
则直线AB的方程为x+y−1=0或x−y−1=0.
解法2：由题意，可得F(1,0)，设lAB:x=my+1，则y2=4xx=my+1⇒y2−4my−4=0，可得AB= 1+m2y1−y2= 1+m2⋅ (4m2)−4×(−4)=4(1+m2)=8，则m2=1，m=±1.
则直线AB的方程为x+y−1=0或x−y−1=0.
(2)几何法：取AB的中点M，则M为以AB为直径的圆的圆心，过M作MN⊥准线a于N，过A作AA1⊥准线a于A1，过B作BB1⊥准线a于B1，根据梯形的性质和抛物线的定义可得MN=AA1+BB12=AF+BF2=AB2=r，即得证.
代数法：设A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB的中点为M，则M为以AB为直径的圆的圆心，其横坐标为x1+x22，根据(1)，x1+x22=3，则M到准线的距离为3+p2=4=AB2=r，即得证.

【解析】略
18.【答案】解：(1)设所微得的线常点为(a,b)和(−a,−b)，有2a+b−2=0−a−b+3=0
解得：a=−1b=4所以直线l的方程为：y=−4x
(2)直线l1与坐标的的交点为A(1,0)和B(0,2)，线段AB的中点为(12,1)，直线AB的解率为−2，
则线段AB的中垂线方程为：y=12x+34，
以点(1,0)和点(−6,0)为端点的线段的中垂线方程为：x=−52，
根据垂径定理，两条中垂线的交点(−52,−12)即为圆心M，
半径为|MA|= (−52−1)2+(−12−0)2=5 22，所以圆M的方程为：(x+52)2+(y+12)2=252

【解析】略
19.【答案】解：(1)法一：∵CD//AB，AB⊥AD，∴CD⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，面ABCD∩面PAD=AD，
∴CD⊥面PAD，
易知面PAD//面BEF，所以CD⊥面BEF，
所以平面BEF⊥平面PCD.
法二：如图建立空间直角坐标系，
不妨设|PA|=a，
则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,a)，DP=(0,−2,a)，DC=(2,0,0)，可求得面BEF的一个法向量为n=(1,0,0)，
面PCD的一个法向量为m=(0,a,2)，
所以平面BEF⊥平面PCD.
(2)DB=(1,−2,0)，DP⋅DB|DP|=4 a2+4
(DB)2−16a2+4= 5−16a2+4=7 1313，∴a=3，|PA|=3.

【解析】略
20.【答案】解：(1)设M(x1,y1)、N(x2,y2)，a=5时，直线MN的方程为：y= 3(x+2 5)，
联立椭圆方程得：16x2+60 5x+275=0，所以x1+x2=−15 54，x1x2=27516，
所以|MN|= 1+3⋅|x1−x2|=2 (−15 52)2−4⋅27516=52
(2)设|MF1|=p，|MF2|=q，则S△MF1F2=12⋅p⋅2c⋅sin60∘=5 32，化简得：pc=5
另外，由余弦定理得：p2+4c2−q22⋅p⋅2c=12，结合p+q=2a，可得：a(p−q)+2c2=5，
代入q=2a−p，消元得：2ap=2a2−2c2+5=2b2+5=15，即ap=152，
结合pc=5可得：ca=23
又因为b2=a2−c2=5，所以a=3，c=2，综上，椭圆C的方程为：x29+y25=1
【解析】略
21.【答案】解：(1)法一：VA1−ABC=13×3×S△ABC=2，∴S△ABC=2，
∵AB=AC=2，∴sin∠BAC=1，∴AB⊥AC
如图建立坐标系，A1(0,0,3)，B1(0,2,3)，C1(2,0,3)，∴Q(23,23,3)，
P(1,1,32)，PQ=(−13,−13,32)，C(2,0,0)，M(0,1,0)，CM=(−2,1,0)，
CA1=(−2,0,3)，所以平面A1CM的一个法向量为m=(3,6,2)，
∵PQ⋅m=−1−2+3=0，所以PQ//平面A1CM
法二：延长A1M，B1B交于T，连接CT，延长A1Q交B1C1与中点N，连
接NP，延长交CT于K，易知BT=AA1=3，易知NP//BB1， P为CB1中
点，所以K为CT中点，∴PK=12B1T=3，∴NPPK=NQQA1=12，∴PQ//A1K，
所以PQ//平面A1CM
(2)CA1=(−2,0,3)，CQ=(−43,23,3)，
可解得面A1CQ的一个法向量为n=(3,−3,2)，
由(1)可知，平面A1CM的一个法向量为m=(3,6,2)
所以csθ=n⋅m|n|⋅|m|=57× 22=5 22154.

【解析】略
22.【答案】解：(1)由题意得：|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4，
且4>|F1F2|=2，所以Q点轨迹为椭圆，
且a=2，c=1，b= a2−c2= 3，所以椭圆C的方程为：x24+y23=1
(2)由(1)可知M点坐标为(1,32)，当直线AB的斜率不存在时，设为x=m，
可解得点A和点B的坐标分别为(m, 3−3m24)和(m,− 3−3m24)，
此时，
化简得：2m2−3m+1=0，解得m=1(舍)或m=12，所以直线AB的方程为x=12，
当直线AB的斜率存在时，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx+m，
联立x24+y23=1得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，
所以Δ=48(3+4k2−m2)>0，x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，
y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2−12k23+4k2，
由kMA⋅kMB=y1−32x1−1.y2−32x2−1=y1y2−32(y1+y2)+94x1x2−(x1+x2)+1=−94，可得：，
化简得：8m2−6m+4k2+12km−9=0，也即8m2+(12k−6)m+4k2−9=0，
可分解因式得：(2m+2k−3)(4m+2k+3)=0，
当2m+2k−3=0时，直线AB的方程为：y=kx−k+32，过定点M(1,32)，舍去，
当4m+2k+3=0时，直线AB的方程为：y=kx−k2−34，过定点N(12,−34)，
显然直线x=12也过定点N，由于点N在椭圆C内，所以△=48(3+4k2−m2)>0成立，
综上，直线AB必过定点N(12,−34)
又因为点N(12,−34)在圆E内，所以当直线AB与圆E相交所成的弦长最短时，应满足AB⊥EN，
因为kEN=−12，所以kAB=2，此时直线AB的方程为：y=2x−74
【解析