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2022-2023学年福建省厦门市湖滨中学高二上学期期中考试数学试题-普通用卷
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这是一份2022-2023学年福建省厦门市湖滨中学高二上学期期中考试数学试题-普通用卷，共13页。试卷主要包含了已知F是椭圆C，已知圆C等内容，欢迎下载使用。
A. y=1B. x=−2C. y=−2D. x=1
2.已知空间向量AB=3,−4,5，则AB=( )
A. 5B. 6C. 7D. 5 2
3.椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等
4.关于x，y的方程组2x−ay+1=0x+2y−1=0，没有实数解，则实数a的值是( )
A. 4B. 2C. −4D. −2
5.若圆C与圆(x+2)2+(y−1)2=1关于直线y=x−1对称，则圆C的方程是( )
A. (x−2)2+(y+3)2=1B. (x−2)2+(y−3)2=1
C. (x+2)2+(y+3)2=1D. (x+3)2+(y−2)2=1
6.在四棱锥P−ABCD中，底面 ABCD是正方形， E为 PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则BE=( )
A. 12a+32b+12cB. 12a−12b−12c
C. 12a−32b+12cD. 12a+32b−12c
7.已知直线x−2 2y+3m=0和圆x2+y2−6x+5=0相交，则实数m的取值范围为( )
A. −∞,−3B. −3,1C. −3,1D. 1,+∞
8.已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，A是C的上顶点，直线l：3x−4y=0与C交于M，N两点．若MF+NF=6，A到l的距离不小于85，则C的离心率的取值范围是( )
A. 53,1B. 0, 53C. 0, 32D. 32,1
9.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2−4k+m=0的两个根，则下列说法正确的是( )
A. 若l1⊥l2，则m=−2B. 若l1⊥l2，则m=2
C. 若l1//l2则m=−2D. 若l1//l2，则m=2
10.已知圆C：x+12+y2=9，则下列四个命题表述正确的是( )
A. 圆C上有且仅有3个点到直线l：x− 3y−1=0的距离都等于1
B. 过点A(3,4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为4x+4y−5=0
C. 一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有 3CP+CQ−PQ≥0，则∠PCQ的最大值为2π3
D. 若圆C与圆E：x2+y2−4x−8y+m2=0相外切，则m=4
11.已知两点M2,−3，N−3,−2，直线l过点P1,1且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. 34≤k≤4B. k≥34C. k≤−4D. −4≤k≤34
12.如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH和BCFG为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，AB=BG=3，FC=4，BC=1，下列说法不正确的是( )
A. 该几何体是四棱台B. 该几何体是棱柱，平面ABCD是底面
C. EG⊥HCD. 平面EFGH与平面ABCD的夹角为45∘
13.已知向量AB=−2,−1,3,AC=1,2,2则AB在AC上的投影向量的模为__________.
14.已知直线l:m+2x+2m−1y+m+5=0，则直线l恒过定点__________.
15.已知圆x2+y2=1与圆(x−2)2+y2=a2(a>0)相切，则a=__________.
16.已知圆C是以点M2,2 3和点N6,−2 3为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点A2,0，点B1,1，则2PA−PB的最大值为__________
17.已知：a=(x,4,1)，b=(−2,y,−1)，c=(3,−2,z)，a//b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a+c与b+c所成角的余弦值．
18.已知直线l1:3x−2y+4=0与直线l2:x−ay+a−2=0相交于点P，且点P在直线2x−y+3=0上．
(1)求点P的坐标和实数a的值；
(2)求与直线l2平行且与点P的距离为 5的直线方程．
19.已知圆C过点A(−2,−2)，B(6,2)，D(4,6).
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P(4,−4)的直线l被圆C截得的弦长为8，求直线l的一般式方程.
20.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，BC//AD，AB⊥AD，PA=AD=3BC=3,AB= 2，点E在线段PD上，PD=3PE.
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)求点B到平面PCD的距离．
21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为12.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)斜率为 2的直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点，求弦AB的长．
22.已知圆M:(x+1)2+y2=36，点A(1,0)，P为M上一动点，Q始终为PA的中点.
(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)若存在定点B(b,0)和常数k(k≠1)，对Q轨迹上的任意一点S，恒有|SA||SB|=k，求b与k的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查倾斜角为90∘的直线的方程，属于基础题.
由倾斜角为90∘可知直线与x轴垂直，即可得到直线方程.
【解答】
解：由于过P−2,1的直线倾斜角为90∘，即直线垂直于x轴，所以其直线方程为x=−2.
故选：B.
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标表示，考查空间向量的模长，属于基础题.
利用空间向量模长公式进行求解即可.
【解答】
解：AB= 32+−42+52=5 2.
故选：D.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义，属于基础题.
根据已知分析25−9=25−k−9−k，从而得结论.
【解答】
解：∵0∴25−k>9−k>0.
故x225−k+y29−k=1(0又25−9=25−k−9−k=16，
所以两椭圆具有相同焦距.
故选D.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的应用，属于基础题.
根据两直线平行的斜率关系，得到关于a的方程，解方程即可得到a的值.
【解答】
解：依题意，得直线2x−ay+1=0与直线x+2y−1=0平行，且a≠0.
所以2a=−12得a=−4.
故选：C.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆关于直线对称的圆的方程，属基础题.
【解答】
解：记点A(−2,1)，设圆心C的坐标为(a,b)，则kAC=b−1a+2=−1，可得a+b+1=0.线段AC的中点M(a−22,b+12)在直线y=x−1上，则b+12=a−22−1，即b=a−5，所以a+b+1=0,b=a−5,解得a=2,b=−3,即圆心C(2,−3)，因此，圆C的方程为(x−2)2+(y+3)2=1.故选A.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.
根据向量线性运算法则计算即可.
【解答】
解：BE=12(BP+BD)=−12PB +12(BA+BC)
=−12PB+12BA+12BC=−12PB+12(PA−PB)+12(PC−PB)
=−32PB+12PA+ 12PC=12a−32b+12c.
故选：C.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，属于基础题.
求出圆心到直线的距离与半径比较，解不等式，即可求解.
【解答】
解：圆x2+y2−6x+5=0可化为(x−3)2+y2=4，圆心为(3,0)，半径为2，
圆心到直线x−2 2y+3m=0的距离d=3+3m3=1+m，
由直线与圆相交可知1+m<2，解得−3所以实数m的取值范围为−3,1
故选：B.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求椭圆离心率的取值范围，属于一般题.
据MF+NF=NF1+NF=2a=6，得到a=3，根据点A到直线l距离d，求出b≥2，从而求出c的范围，从而求出答案.
【解答】
解：设椭圆的左焦点为F1，A是C的上顶点，连接MF1,NF1，如下图所示：
由椭圆的对称性可知，M,N关于原点对称，则OM=ON，
又OF1=OF ，∴四边形MFNF1为平行四边形
∴MF=NF1 ，
又MF+NF=NF1+NF=2a=6，解得：a=3，
点A到l的距离为：d=−4b5≥85，
解得：b≥2，即 a2−c2= 9−c2≥2
∴0故选：B.
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查平行直线与垂直直线间斜率的关系，属于基础题.
根据根与系数的关系得到k1⋅k2=m2，由两直线垂直斜率之积为−1可得结果；再根据两直线平行斜率相等，结合Δ=0可得结果.
【解答】
解：直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2−4k+m=0的两根，
由Δ=16−8m≥0得m≤2，
∴k1⋅k2=m2，
若l1⊥l2，则k1k2=m2=−1，得m=−2；
若l1//l2，则k1=k2，∴Δ=16−8m=0，得m=2.
故选AD.
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查的是直线与圆的位置关系，圆切线的性质、向量的加减法，属于中档题.
求出圆心到直线x− 3y−1=0的距离，可判断A;过点A3,4作圆C的两条切线，切点分别为M，N，进而求得MN的方程，判断B;利用向量的加减法的几何意义，结合向量的模，以及三角函数知识，求得∠POQ的最大值，判断C;根据圆C与圆E：x2+y2−4x−8y+m2=0相外切，求得m的值，判断D.
【解答】
解：圆心C(−1,0)到直线l：x− 3y−1=0的距离d=−1−1 12+− 32=1，
圆的半径r=3，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A不正确；
过点A3,4作圆C的两条切线，切点分别为M，N，
则A、C、M、N四点共圆，且为AC为直径，方程为x2+y2−2x−4y−3=0，
MN是其与圆C的公共弦，则直线MN为4x+4y−5=0，故B正确；
设PQ的中点为D，则CD⊥PQ.
因为 3CP+CQ−PQ≥0， 3⋅2CD≥2PD，
可得 3≥PDCD，则∠DCP≤π3，故∠PCQ的最大值为2π3，故C正确；
对于D，圆E：x2+y2−4x−8y+m2=0的圆心E(2,4)，半径为 20−m2，
又圆C与圆E：x2+y2−4x−8y+m2=0相外切，
所以 2+12+4−02=3+ 20−m2，
解得：m=±4，故D错误．
综上，选BC.
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查直线斜率公式的应用，属于基础题.
分别求出直线PM与直线PN的斜率，根据直线与线段MN相交即可得出结果.
【解答】
解：kPM=−3−12−1=−4，kPN=−2−1−3−1=34，
直线l过点P1,1且与线段MN相交，则k≤kPM或k≥kPN，
则直线l的斜率k的取值范围是：k≤−4或k≥34.
故选：BC.
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了棱台的结构特征，也考查了线线垂直的向量表示及平面与平面所成角的向量求法，属于拔高题.
根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答】
解：
因为四边形ADEH和BCFG为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，
所以这个六面体是四棱柱，平面ADEH和平面BCFG是底面，故A，B错误；
由题意可知DA，DC，DE两两垂直，如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则E(0,0,4),G(1,3,3),C(0,3,0),H(1,0,3),EG=(1,3,−1),CH=(1,−3,3)，
则EG⋅CH=1−9−3=−11≠0，所以EG，HC不垂直，故C错误；
根据题意可知DE⊥平面ABCD，所以DE=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量，
EH=(1,0,−1),HG=(0,3,0)，
设n=(x,y,z)为平面EFGH的法向量，
则有n⋅EH=x−z=0,n⋅HG=3y=0,则可取n=(1,0,1)，
则cs⟨n,DE⟩=n⋅DE|n|⋅|DE|=44× 2= 22，
所以平面EFGH与平面ABCD的夹角为45∘，故D正确．
故选：ABC.
13.【答案】23
【解析】【分析】
本题考查空间向量的投影向量，属于基础题.
直接利用向量的夹角运算的应用求出结果．
【解答】
解：因为AB=−2,−1,3,AC=1,2,2，
所以cs=AB⋅AC|AB||AC|=−2−2+6 14⋅ 9=23 14，
所以向量AB在向量AC上的投影向量的模|AB|cs= 14×23 14=23.
故答案为：23.
14.【答案】−115,35
【解析】【分析】
本题考查直线过定点问题，属于基础题.
将直线l的方程变形为mx+2y+1+2x−y+5=0，解方程组x+2y+1=02x−y+5=0，可得出直线l所过定点的坐标.
【解答】
解：直线l的方程可化为mx+2y+1+2x−y+5=0，
由x+2y+1=02x−y+5=0，解得x=−115y=35，
故直线l恒过定点−115,35.
故答案为：−115,35.
15.【答案】1或3
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.
由已知可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分两圆内切和外切两种情况讨论，求出a的值即可．
【解答】
解：圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径r1=1，
圆x−22+y2=a2a>0的圆心为(2,0)，半径r2=a，
两圆的圆心距d=2.
若两圆内切，则有d=r1−r2=a−1，即a−1=2，可得a=3或a=−1(舍)；
若两圆外切，则有d=a+1，即a+1=2，解可得a=1.
故答案为：1或3.
16.【答案】 26
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程，考查与圆有关的距离的最值问题，考查计算能力，属于基础题.
求出圆C的方程，设D−4,0，得到PAPD=12，2PA−PB=PD−PB，然后根据几何知识求最值即可.
【解答】
解：根据题意得C4,0，MN= 6−22+−2 3−2 32=8，
所以圆C的半径为4，圆C的方程为x−42+y2=16，
如图，设D−4,0，
则OD=2AC=CP=OC=4，
所以ACCP=PCDC=12，即△ACP∽△PCD，故PAPD=12，
所以2PA−PB=PD−PB，
在△PBD中，PD−PB当P、B、D共线时PD−PB最大，最大为BD= 1+42+1= 26.
故答案为： 26.
17.【答案】解：(1)∵a//b，
∴x−2=4y=1−1，
解得x=2，y=−4，
故a=(2,4,1)，b=(−2,−4,−1)，
又因为b⊥c，所以b⋅c=0，即−6+8−z=0，解得z=2，
故c=(3,−2,2)
(2)由(1)可得a+c=(5,2,3)，b+c=(1,−6,1)，
设向量a+c与b+c所成的角为θ，
则csθ=5−12+3 38⋅ 38=−219
【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题.
(1)由向量的平行和垂直可求出x，y，z的值，即可得向量坐标；
(2)由(1)可得向量a+c与b+c的坐标，进而由夹角公式可得结论.
18.【答案】解：(1)联立3x−2y+4=02x−y+3=0，解得：P(−2,−1).
将P的坐标(−2,−1)代入直线l2:x−ay+a−2=0中，解得a=2.
(2)由(1)知直线l2:x−2y=0，设所求直线为l:x−2y+c=0.
因此点P到直线l的距离d=c 5= 5，解方程可得c=5或−5，
所以直线的方程为x−2y+5=0或x−2y−5=0.
【解析】本题考查两条直线的交点坐标、两条平行直线间的距离，属于基础题.
(1)由题意，联立直线方程，求交点，再将点代入含参直线方程，求得答案；
(2)由(1)明确直线方程，根据平行，设出所求直线方程，利用点到直线距离公式，可得答案.
19.【答案】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意知8−2D−2E+F=040+6D+2E+F=052+4D+6E+F=0，解方程组得D=−2E=−4F=−20，
故所求圆的方程为x2+y2−2x−4y−20=0，即x−12+y−22=25;
(2)因为过点P(4,−4)的直线l被圆C截得的弦长为8，故圆心C1,2到直线的距离为
d= 25−(82)2=3，则
(i)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，满足题意；
(ii)当直线l的斜率存在时，可设直线方程为y+4=k(x−4)，即kx−y−4k−4=0，
则圆心C1,2到直线的距离d=−3k−6 k2+1=3，解得k=−34，此时直线方程为3x+4y+4=0.
综上，所求直线方程为x−4=0或3x+4y+4=0.
【解析】本题考查求圆的标准方程、直线与圆相交时的弦长，属于一般题.
(1)设圆的一般方程，应用待定系数法，根据点在圆上列方程组求参数，即可得方程；
(2)由(1)所得圆的方程及弦长易知圆心到所求直线的距离为3，讨论直线的斜率的存在性，再结合点线距离公式求直线方程.
20.【答案】解：(1)证明：作EF//AD交PA于点F，连接BF，
因为PD=3PE，所以AD=3EF，
又AD=3BC且BC//AD，
所以EF//BC且EF=BC，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE//BF，
又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，
所以CE//平面PAB；
(2)解：由题意可得，AP、AB、AD两两垂直，
如图，故可以点A为原点，以AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴、AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则B 2,0,0,C 2,1,0,D0,3,0,P0,0,3，
则PD=0,3,−3,CD=− 2,2,0,PB= 2,0,−3，
设平面PCD的法向量n=x,y,z，
则有n⋅PD=3y−3z=0n⋅CD=− 2x+2y=0，可取n=( 2,1,1)，
设直线PB与平面PCD所成的角为θ，
则sin θ=|cs ⟨n,PB⟩|=|n⋅PB||n||PB|=|2−3|2× 11= 1122，
所以点B到平面PCD的距离为PBsinθ=12.
【解析】本题考查线面平行的判定、点面距离的向量求法，属于一般题.
(1)作EF//AD交PA于点F，证明四边形BCEF为平行四边形，可得CE//BF，再根据线面平行的判定定理即可得证；
(2)以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
21.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，则a+c=3，而ca=12，则a=2c，
故a=2,c=1，故b2=4−1=3，故椭圆方程为：x24+y23=1.
(2)因为椭圆的右焦点坐标为1,0，则直线l:y= 2x−1，
由{y= 2(x−1)x24+y23=1，故11x2−16x−4=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则x1+x2=1611,x1x2=−411,
故|AB|= (x1−x2)2+(y1−y2)2= 1+2|x1−x2|= 3× (x1+x2)2−4x1x2= 3 162+16×1111=3611.
【解析】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的弦长、直线与椭圆的位置关系及其应用，属于基础题.
(1)根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可求椭圆的方程；
(2)联立直线方程和椭圆方程，利用公式可求弦长.
22.【答案】解：(1)设Px0,y0,Q(x,y)，
因为Q为PA的中点，A1,0，所以x0+1=2xy0=2y，即x0=2x−1y0=2y，
因为点P在圆M:(x+1)2+y2=36上，则x0+12+y02=36，整理得，x2+y2=9，
故动点Q的轨迹方程为x2+y2=9.
(2)设Sx′,y′，则|SA||SB|= x′−12+y′2 x′−b2+y′2=k(k>0且k≠1)，
整理得1−k2x′2+y′2+2k2b−1x′+1−b2k2=0，
因为S在Q的轨迹上，所以x′2+y′2=9，
故10−9k2−b2k2+2k2b−1x′=0，
当且仅当10−9k2−b2k2=0k2b−1=0时上式恒成立，此时，k2=1b，则10−9b−b=0，
解得b=1或9，
当b=1时，k=1，不合题意，舍去；
当b=9时，k=13，符合题意，
故b=9，k=13.
【解析】本题考查与圆相关的轨迹问题、求圆的标准方程，属于一般题.
(1)设Px0,y0,Q(x,y)，由中点公式可得x0=2x−1y0=2y，代入到圆的方程中，整理即可求解；
设S(x′,y′)，由两点间距离公式可得|SA||SB|= (x′−1)2+y′2 (x′−b)2+y′2=k，结合x′2+y′2=9，可得10−9k2−b2k2+2k2b−1x′=0，由式子恒成立，可知10−9k2−b2k2=0k2b−1=0，即可求解
A. y=1B. x=−2C. y=−2D. x=1
2.已知空间向量AB=3,−4,5，则AB=( )
A. 5B. 6C. 7D. 5 2
3.椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0
4.关于x，y的方程组2x−ay+1=0x+2y−1=0，没有实数解，则实数a的值是( )
A. 4B. 2C. −4D. −2
5.若圆C与圆(x+2)2+(y−1)2=1关于直线y=x−1对称，则圆C的方程是( )
A. (x−2)2+(y+3)2=1B. (x−2)2+(y−3)2=1
C. (x+2)2+(y+3)2=1D. (x+3)2+(y−2)2=1
6.在四棱锥P−ABCD中，底面 ABCD是正方形， E为 PD中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则BE=( )
A. 12a+32b+12cB. 12a−12b−12c
C. 12a−32b+12cD. 12a+32b−12c
7.已知直线x−2 2y+3m=0和圆x2+y2−6x+5=0相交，则实数m的取值范围为( )
A. −∞,−3B. −3,1C. −3,1D. 1,+∞
8.已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，A是C的上顶点，直线l：3x−4y=0与C交于M，N两点．若MF+NF=6，A到l的距离不小于85，则C的离心率的取值范围是( )
A. 53,1B. 0, 53C. 0, 32D. 32,1
9.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2−4k+m=0的两个根，则下列说法正确的是( )
A. 若l1⊥l2，则m=−2B. 若l1⊥l2，则m=2
C. 若l1//l2则m=−2D. 若l1//l2，则m=2
10.已知圆C：x+12+y2=9，则下列四个命题表述正确的是( )
A. 圆C上有且仅有3个点到直线l：x− 3y−1=0的距离都等于1
B. 过点A(3,4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为4x+4y−5=0
C. 一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有 3CP+CQ−PQ≥0，则∠PCQ的最大值为2π3
D. 若圆C与圆E：x2+y2−4x−8y+m2=0相外切，则m=4
11.已知两点M2,−3，N−3,−2，直线l过点P1,1且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. 34≤k≤4B. k≥34C. k≤−4D. −4≤k≤34
12.如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH和BCFG为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，AB=BG=3，FC=4，BC=1，下列说法不正确的是( )
A. 该几何体是四棱台B. 该几何体是棱柱，平面ABCD是底面
C. EG⊥HCD. 平面EFGH与平面ABCD的夹角为45∘
13.已知向量AB=−2,−1,3,AC=1,2,2则AB在AC上的投影向量的模为__________.
14.已知直线l:m+2x+2m−1y+m+5=0，则直线l恒过定点__________.
15.已知圆x2+y2=1与圆(x−2)2+y2=a2(a>0)相切，则a=__________.
16.已知圆C是以点M2,2 3和点N6,−2 3为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点A2,0，点B1,1，则2PA−PB的最大值为__________
17.已知：a=(x,4,1)，b=(−2,y,−1)，c=(3,−2,z)，a//b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a+c与b+c所成角的余弦值．
18.已知直线l1:3x−2y+4=0与直线l2:x−ay+a−2=0相交于点P，且点P在直线2x−y+3=0上．
(1)求点P的坐标和实数a的值；
(2)求与直线l2平行且与点P的距离为 5的直线方程．
19.已知圆C过点A(−2,−2)，B(6,2)，D(4,6).
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点P(4,−4)的直线l被圆C截得的弦长为8，求直线l的一般式方程.
20.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，BC//AD，AB⊥AD，PA=AD=3BC=3,AB= 2，点E在线段PD上，PD=3PE.
(1)求证：CE//平面PAB；
(2)求点B到平面PCD的距离．
21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为12.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)斜率为 2的直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点，求弦AB的长．
22.已知圆M:(x+1)2+y2=36，点A(1,0)，P为M上一动点，Q始终为PA的中点.
(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)若存在定点B(b,0)和常数k(k≠1)，对Q轨迹上的任意一点S，恒有|SA||SB|=k，求b与k的值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查倾斜角为90∘的直线的方程，属于基础题.
由倾斜角为90∘可知直线与x轴垂直，即可得到直线方程.
【解答】
解：由于过P−2,1的直线倾斜角为90∘，即直线垂直于x轴，所以其直线方程为x=−2.
故选：B.
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标表示，考查空间向量的模长，属于基础题.
利用空间向量模长公式进行求解即可.
【解答】
解：AB= 32+−42+52=5 2.
故选：D.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义，属于基础题.
根据已知分析25−9=25−k−9−k，从而得结论.
【解答】
解：∵0
故x225−k+y29−k=1(0
所以两椭圆具有相同焦距.
故选D.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的应用，属于基础题.
根据两直线平行的斜率关系，得到关于a的方程，解方程即可得到a的值.
【解答】
解：依题意，得直线2x−ay+1=0与直线x+2y−1=0平行，且a≠0.
所以2a=−12得a=−4.
故选：C.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆关于直线对称的圆的方程，属基础题.
【解答】
解：记点A(−2,1)，设圆心C的坐标为(a,b)，则kAC=b−1a+2=−1，可得a+b+1=0.线段AC的中点M(a−22,b+12)在直线y=x−1上，则b+12=a−22−1，即b=a−5，所以a+b+1=0,b=a−5,解得a=2,b=−3,即圆心C(2,−3)，因此，圆C的方程为(x−2)2+(y+3)2=1.故选A.
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.
根据向量线性运算法则计算即可.
【解答】
解：BE=12(BP+BD)=−12PB +12(BA+BC)
=−12PB+12BA+12BC=−12PB+12(PA−PB)+12(PC−PB)
=−32PB+12PA+ 12PC=12a−32b+12c.
故选：C.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，属于基础题.
求出圆心到直线的距离与半径比较，解不等式，即可求解.
【解答】
解：圆x2+y2−6x+5=0可化为(x−3)2+y2=4，圆心为(3,0)，半径为2，
圆心到直线x−2 2y+3m=0的距离d=3+3m3=1+m，
由直线与圆相交可知1+m<2，解得−3
故选：B.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查求椭圆离心率的取值范围，属于一般题.
据MF+NF=NF1+NF=2a=6，得到a=3，根据点A到直线l距离d，求出b≥2，从而求出c的范围，从而求出答案.
【解答】
解：设椭圆的左焦点为F1，A是C的上顶点，连接MF1,NF1，如下图所示：
由椭圆的对称性可知，M,N关于原点对称，则OM=ON，
又OF1=OF ，∴四边形MFNF1为平行四边形
∴MF=NF1 ，
又MF+NF=NF1+NF=2a=6，解得：a=3，
点A到l的距离为：d=−4b5≥85，
解得：b≥2，即 a2−c2= 9−c2≥2
∴0
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查平行直线与垂直直线间斜率的关系，属于基础题.
根据根与系数的关系得到k1⋅k2=m2，由两直线垂直斜率之积为−1可得结果；再根据两直线平行斜率相等，结合Δ=0可得结果.
【解答】
解：直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2−4k+m=0的两根，
由Δ=16−8m≥0得m≤2，
∴k1⋅k2=m2，
若l1⊥l2，则k1k2=m2=−1，得m=−2；
若l1//l2，则k1=k2，∴Δ=16−8m=0，得m=2.
故选AD.
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查的是直线与圆的位置关系，圆切线的性质、向量的加减法，属于中档题.
求出圆心到直线x− 3y−1=0的距离，可判断A;过点A3,4作圆C的两条切线，切点分别为M，N，进而求得MN的方程，判断B;利用向量的加减法的几何意义，结合向量的模，以及三角函数知识，求得∠POQ的最大值，判断C;根据圆C与圆E：x2+y2−4x−8y+m2=0相外切，求得m的值，判断D.
【解答】
解：圆心C(−1,0)到直线l：x− 3y−1=0的距离d=−1−1 12+− 32=1，
圆的半径r=3，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A不正确；
过点A3,4作圆C的两条切线，切点分别为M，N，
则A、C、M、N四点共圆，且为AC为直径，方程为x2+y2−2x−4y−3=0，
MN是其与圆C的公共弦，则直线MN为4x+4y−5=0，故B正确；
设PQ的中点为D，则CD⊥PQ.
因为 3CP+CQ−PQ≥0， 3⋅2CD≥2PD，
可得 3≥PDCD，则∠DCP≤π3，故∠PCQ的最大值为2π3，故C正确；
对于D，圆E：x2+y2−4x−8y+m2=0的圆心E(2,4)，半径为 20−m2，
又圆C与圆E：x2+y2−4x−8y+m2=0相外切，
所以 2+12+4−02=3+ 20−m2，
解得：m=±4，故D错误．
综上，选BC.
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查直线斜率公式的应用，属于基础题.
分别求出直线PM与直线PN的斜率，根据直线与线段MN相交即可得出结果.
【解答】
解：kPM=−3−12−1=−4，kPN=−2−1−3−1=34，
直线l过点P1,1且与线段MN相交，则k≤kPM或k≥kPN，
则直线l的斜率k的取值范围是：k≤−4或k≥34.
故选：BC.
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了棱台的结构特征，也考查了线线垂直的向量表示及平面与平面所成角的向量求法，属于拔高题.
根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答】
解：
因为四边形ADEH和BCFG为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，
所以这个六面体是四棱柱，平面ADEH和平面BCFG是底面，故A，B错误；
由题意可知DA，DC，DE两两垂直，如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则E(0,0,4),G(1,3,3),C(0,3,0),H(1,0,3),EG=(1,3,−1),CH=(1,−3,3)，
则EG⋅CH=1−9−3=−11≠0，所以EG，HC不垂直，故C错误；
根据题意可知DE⊥平面ABCD，所以DE=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量，
EH=(1,0,−1),HG=(0,3,0)，
设n=(x,y,z)为平面EFGH的法向量，
则有n⋅EH=x−z=0,n⋅HG=3y=0,则可取n=(1,0,1)，
则cs⟨n,DE⟩=n⋅DE|n|⋅|DE|=44× 2= 22，
所以平面EFGH与平面ABCD的夹角为45∘，故D正确．
故选：ABC.
13.【答案】23
【解析】【分析】
本题考查空间向量的投影向量，属于基础题.
直接利用向量的夹角运算的应用求出结果．
【解答】
解：因为AB=−2,−1,3,AC=1,2,2，
所以cs
所以向量AB在向量AC上的投影向量的模|AB|cs
故答案为：23.
14.【答案】−115,35
【解析】【分析】
本题考查直线过定点问题，属于基础题.
将直线l的方程变形为mx+2y+1+2x−y+5=0，解方程组x+2y+1=02x−y+5=0，可得出直线l所过定点的坐标.
【解答】
解：直线l的方程可化为mx+2y+1+2x−y+5=0，
由x+2y+1=02x−y+5=0，解得x=−115y=35，
故直线l恒过定点−115,35.
故答案为：−115,35.
15.【答案】1或3
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.
由已知可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分两圆内切和外切两种情况讨论，求出a的值即可．
【解答】
解：圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径r1=1，
圆x−22+y2=a2a>0的圆心为(2,0)，半径r2=a，
两圆的圆心距d=2.
若两圆内切，则有d=r1−r2=a−1，即a−1=2，可得a=3或a=−1(舍)；
若两圆外切，则有d=a+1，即a+1=2，解可得a=1.
故答案为：1或3.
16.【答案】 26
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程，考查与圆有关的距离的最值问题，考查计算能力，属于基础题.
求出圆C的方程，设D−4,0，得到PAPD=12，2PA−PB=PD−PB，然后根据几何知识求最值即可.
【解答】
解：根据题意得C4,0，MN= 6−22+−2 3−2 32=8，
所以圆C的半径为4，圆C的方程为x−42+y2=16，
如图，设D−4,0，
则OD=2AC=CP=OC=4，
所以ACCP=PCDC=12，即△ACP∽△PCD，故PAPD=12，
所以2PA−PB=PD−PB，
在△PBD中，PD−PB
故答案为： 26.
17.【答案】解：(1)∵a//b，
∴x−2=4y=1−1，
解得x=2，y=−4，
故a=(2,4,1)，b=(−2,−4,−1)，
又因为b⊥c，所以b⋅c=0，即−6+8−z=0，解得z=2，
故c=(3,−2,2)
(2)由(1)可得a+c=(5,2,3)，b+c=(1,−6,1)，
设向量a+c与b+c所成的角为θ，
则csθ=5−12+3 38⋅ 38=−219
【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题.
(1)由向量的平行和垂直可求出x，y，z的值，即可得向量坐标；
(2)由(1)可得向量a+c与b+c的坐标，进而由夹角公式可得结论.
18.【答案】解：(1)联立3x−2y+4=02x−y+3=0，解得：P(−2,−1).
将P的坐标(−2,−1)代入直线l2:x−ay+a−2=0中，解得a=2.
(2)由(1)知直线l2:x−2y=0，设所求直线为l:x−2y+c=0.
因此点P到直线l的距离d=c 5= 5，解方程可得c=5或−5，
所以直线的方程为x−2y+5=0或x−2y−5=0.
【解析】本题考查两条直线的交点坐标、两条平行直线间的距离，属于基础题.
(1)由题意，联立直线方程，求交点，再将点代入含参直线方程，求得答案；
(2)由(1)明确直线方程，根据平行，设出所求直线方程，利用点到直线距离公式，可得答案.
19.【答案】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意知8−2D−2E+F=040+6D+2E+F=052+4D+6E+F=0，解方程组得D=−2E=−4F=−20，
故所求圆的方程为x2+y2−2x−4y−20=0，即x−12+y−22=25;
(2)因为过点P(4,−4)的直线l被圆C截得的弦长为8，故圆心C1,2到直线的距离为
d= 25−(82)2=3，则
(i)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，满足题意；
(ii)当直线l的斜率存在时，可设直线方程为y+4=k(x−4)，即kx−y−4k−4=0，
则圆心C1,2到直线的距离d=−3k−6 k2+1=3，解得k=−34，此时直线方程为3x+4y+4=0.
综上，所求直线方程为x−4=0或3x+4y+4=0.
【解析】本题考查求圆的标准方程、直线与圆相交时的弦长，属于一般题.
(1)设圆的一般方程，应用待定系数法，根据点在圆上列方程组求参数，即可得方程；
(2)由(1)所得圆的方程及弦长易知圆心到所求直线的距离为3，讨论直线的斜率的存在性，再结合点线距离公式求直线方程.
20.【答案】解：(1)证明：作EF//AD交PA于点F，连接BF，
因为PD=3PE，所以AD=3EF，
又AD=3BC且BC//AD，
所以EF//BC且EF=BC，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE//BF，
又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，
所以CE//平面PAB；
(2)解：由题意可得，AP、AB、AD两两垂直，
如图，故可以点A为原点，以AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴、AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则B 2,0,0,C 2,1,0,D0,3,0,P0,0,3，
则PD=0,3,−3,CD=− 2,2,0,PB= 2,0,−3，
设平面PCD的法向量n=x,y,z，
则有n⋅PD=3y−3z=0n⋅CD=− 2x+2y=0，可取n=( 2,1,1)，
设直线PB与平面PCD所成的角为θ，
则sin θ=|cs ⟨n,PB⟩|=|n⋅PB||n||PB|=|2−3|2× 11= 1122，
所以点B到平面PCD的距离为PBsinθ=12.
【解析】本题考查线面平行的判定、点面距离的向量求法，属于一般题.
(1)作EF//AD交PA于点F，证明四边形BCEF为平行四边形，可得CE//BF，再根据线面平行的判定定理即可得证；
(2)以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
21.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，则a+c=3，而ca=12，则a=2c，
故a=2,c=1，故b2=4−1=3，故椭圆方程为：x24+y23=1.
(2)因为椭圆的右焦点坐标为1,0，则直线l:y= 2x−1，
由{y= 2(x−1)x24+y23=1，故11x2−16x−4=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则x1+x2=1611,x1x2=−411,
故|AB|= (x1−x2)2+(y1−y2)2= 1+2|x1−x2|= 3× (x1+x2)2−4x1x2= 3 162+16×1111=3611.
【解析】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的弦长、直线与椭圆的位置关系及其应用，属于基础题.
(1)根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可求椭圆的方程；
(2)联立直线方程和椭圆方程，利用公式可求弦长.
22.【答案】解：(1)设Px0,y0,Q(x,y)，
因为Q为PA的中点，A1,0，所以x0+1=2xy0=2y，即x0=2x−1y0=2y，
因为点P在圆M:(x+1)2+y2=36上，则x0+12+y02=36，整理得，x2+y2=9，
故动点Q的轨迹方程为x2+y2=9.
(2)设Sx′,y′，则|SA||SB|= x′−12+y′2 x′−b2+y′2=k(k>0且k≠1)，
整理得1−k2x′2+y′2+2k2b−1x′+1−b2k2=0，
因为S在Q的轨迹上，所以x′2+y′2=9，
故10−9k2−b2k2+2k2b−1x′=0，
当且仅当10−9k2−b2k2=0k2b−1=0时上式恒成立，此时，k2=1b，则10−9b−b=0，
解得b=1或9，
当b=1时，k=1，不合题意，舍去；
当b=9时，k=13，符合题意，
故b=9，k=13.
【解析】本题考查与圆相关的轨迹问题、求圆的标准方程，属于一般题.
(1)设Px0,y0,Q(x,y)，由中点公式可得x0=2x−1y0=2y，代入到圆的方程中，整理即可求解；
设S(x′,y′)，由两点间距离公式可得|SA||SB|= (x′−1)2+y′2 (x′−b)2+y′2=k，结合x′2+y′2=9，可得10−9k2−b2k2+2k2b−1x′=0，由式子恒成立，可知10−9k2−b2k2=0k2b−1=0，即可求解
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